资源简介

模型 46 四点共圆
模型展现
基础模型
图示 点C,D在AB的同侧 点C,D在AB的异侧
特点 在由点A,B,C,D 构成的四边形中,且∠ADB=∠ACB=90°
结论 1. 点A,B,C,D在同一个圆上,AB为⊙O的直径; 2. 圆内接四边形的对角互补
模型拓展
拓展方向：直径不确定的情况下，四点共圆的判定
图示
特点 AB为△ABC和△ABD的公共边,点 C,D 在 AB 的同侧,且∠C=∠D 在四边形 ABCD 中,∠D+∠B=180°(四边形对角互补)
结论 点A,B,C,D在同一个圆上
模型典例
例1 如图,△ABC和△ABD均为直角三角形,∠ADB=∠ACB=90°,连接CD,若∠ABC=55°,则∠CDB的度数为 ( )
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
例2 如图,点 D,E 分别是等边△ABC 的边 BC,AB 上的点,∠ADE=60°,点M在AC上,且∠ADM=60°.若BE=3,则 CM的长为 ( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
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根据已知角度得出四边形对角互补，证明四点共圆，进一步利用“同弦(等弦)所对的圆周角相等"进行求解.
针对训练
1. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点 P为对角线 BD上一动点,过点 P 作 PE⊥PF分别交AB,BC于点E,F,则 的值为
( )
A. B. C. D.
2. 模型构造 如图,已知AC=BC=4,点D是AB下方一点,且∠C=∠D=90°,则四边形ACBD面积的最大值为 .
3. 如图,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=6，点P是BA延长线上的一个动点，过点P分别作PE⊥BC于点 E,PF⊥AC于点F,连接EF,则EF的最小值为 .
4. 模型叠加 如图,BE,CF 为△ABC的高,且交于点 H，连接AH并延长交 BC于点 D，求证:AD⊥BC.
模型 46
模型典例
例1 A 【解析】∵∠ADB=∠ACB=90°,∴A,B,C,D 四点共圆.如解图,取AB 的中点 O,以点O 为圆心,AB 长为直径作圆,∴∠CDB=∠CAB(同弧所对的圆周角相等).∵ ∠ABC=55°,∴∠CAB=90°-∠ABC=35°,∴∠CDB=35°.
例2 C 【解析】如解图,连接EM,∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=60°,∵∠ADE=60°,∠ADM=60°,∠EAM+∠EDM=60°+120°=180°,∴E,D,M,A四点共圆(对角互补,则四点共圆).∴ ∠AEM=∠ADM=60°,∠AME=∠ADE=60°,∴△AEM为等边三角形,∴AE=AM,∵AB=AC,∴CM=BE=3.
针对训练
1. A 【解析】如解图,连接EF,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AD=BC=8(矩形的四个角为90°,对边相等).∵PE⊥PF,∴B,F,P,E 四点共圆,∴∠PFE=∠ABD(同弧所对的圆周角相等).
∴∠AEH=30°,即∠AMB=30°.
∴线段 OD 上存在一点 M,使得∠AMB 最大.此时 OM的长为( )米,∠AMB的度数为30°.
四点共圆
2. 16 【解析】如解图,过点 C 作 CE⊥AB 于点E,过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,∵ ∠ACB =∠ADB=90°,∴A,C,B,D 四点共圆且AB 是圆的直径,∵ AC = BC = 4,∴ AB = 4 , DF),∴当CE 与 DF 的和等于圆的直径时,四边形 ACBD 的面积最大,即当 CE+DF=4 时, ∴四边形ACBD 面积的最大值为16.
【解析】如解图,过点 A 作AG⊥BC 于点G,∵在等腰△ABC中,∠BAC=120°,AB= 连接PC,取PC的中点 O,连接OE,OF,∵ PE⊥BC 于点 E,PF⊥AC 于点F,∴∠PEC=∠CFP=90°∴C,P,E,F 四点共圆,∴ ∠EOF=2∠ECF =2×30°= 60°,∴△OEF 是等边三角形,. 要求EF的最小值,即求 PC 的最小值.∵ ∠B=∠ECF=30°,∴当CP⊥BP 时, 3 最小，此时EF的值最小，∴EF的最小值为
4. 证明:如解图,∵BE,CF为△ABC的高,
∴∠AEB=∠AFC=90°,
∴A,E,H,F四点共圆.
连接EF,则∠FAD=∠FEB,∠AHF=∠AEF,
∵∠CFB=∠CEB=90°,
∴B,C,E,F 四点共圆,
∴∠ACF=∠ABE,∠CFE=∠CBE.
∵∠BAD+∠AHF=90°,
∴∠BAD+∠AEF=90°,
∴∠BAD+∠ACF+∠CFE=90°,
∴∠BAD+∠ABE+∠CBE=90°,
即∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.

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