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模型 43 定弦定角
模型展现
基础模型
图示
特点 在△ABC 中,AB =a为定长,∠C=α为定角度
结论 当α<90°时,点 C在优弧 ACB 上运动(不与点 A,B重合),∠ACB = ∠AO 当α=90°时,点C在⊙O上运动(不与点A,B重合),弦AB为直径 当α>90°时,点 C在劣弧AB上运动(不与点 A,B 重合) ∠AOB ∠ACB=180°
推论 构成等腰三角形(AC=BC)时,点C到AB的距离最大,且此时△ABC 的面积最大
结论分析
推论：构成等腰三角形(AC=BC)时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大
证明:如图,作△ABC 的外接圆⊙O,连接OA,OB,OC,过点O作OD⊥AB于点D,过点C作CE⊥AB于点E,设AB=a,∠ACB=α.
∴∠AOB=2∠ACB=2α,
∴∠AOD=∠ACB=α,
∵OC+OD≥CE,
∴当且仅当C，O，D三点共线时，CE的值最大，即(CE=OC+OD=
此时
∴点 C到 AB 的距离最大为 此时△ABC 面积的最大值为
模型典例
例1 模型叠加 如图，在矩形ABCD 中， ，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段 CE的最小值为 ( )
D. 4
例2 如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为△ABC内的一个动点,且∠PBC=∠PCA,则△PBC面积的最大值为 .
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针对训练
1. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC=4,则矩形ABCD周长的最大值为 ( )
A. 4 B. 8 C. 8 D. 16
2. ()创新题型-填空双空题)如图，在菱形ABCD中,AB=2 ,∠A=60°,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF,连接DE,BF交于点G，则∠BGD的度数为 ，四边形BCDG面积的最大值为 .
3. 如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BCD=75°,BC=20 ,CD=20,点P为四边形ABCD内一点,且∠BPC=135°,E为AD边上一点，则PE的最小值为 .
拔高问题提出
问题探究
(1)如图①,已知△ABC 是边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为 ；
(2)如图②,在△ABC 中,已知∠BAC=120°, 求△ABC面积的最大值；
问题解决
(3)如图③，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD,其宽AB=20米,长BC=24米,为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面 CD 上安装一台摄像头 M 进行观测，并且要求恰好能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点 M 出发的观测角∠AMB=45°.请你通过所学知识进行分析，在墙面 CD区域上是否存在点 M 满足要求 若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由.
模型典例
例1 B 【解析】∵AE⊥BE,∴点E在以AB为直径的⊙O上，如解图，连接CO交⊙O于点E',当点 E 位于点 E'位置时,线段CE 取得最小值.∵AB=4,∴OA=OB=OE′=2.∵ BC=
例 【解析】∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,即∠PCA+∠PCB=60°,∵∠PBC=∠PCA,∴∠PBC+∠PCB=60°,∴∠BPC= ,如解图,作△PBC 的外接圆⊙O,连接BO,CO,PO,设 OP 与 BC交于点Q,当点P 运动到点 P'(即点 A,P',O 三点共线)时，△PBC的面积最大，由题易得 ∴∠BOC=120°,∵△ABC为等边三角形,∴OQ⊥BC,∵∠BOQ=60°,∴∠OBQ=30°,
针对训练
1. C 【解析】如解图,延长AD至点 E,使DE=CD,连接CE,则∠AEC=45°[定角],矩形ABCD的周长为2(AD+CD)=2AE,作△ACE 的外接圆⊙O,连接OA,OC,则∠AOC=90°,∴当AE 为⊙O 的直径,即点 O 与点 D 重合时,AE取得最大值,此时∠ACE =90°,∵ ∠AEC =45°,∴∠CAE=45°,∴AE= AC=4 [定弦]，∴矩形ABCD 周长的最大值为
2. 120°,4 【解析】如解图，连接BD，∵ 四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴△ABD 为等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形),∴AD=BD,∠A=∠BDF=60°.∵AE=DF,∴ △ADE≌△DBF(SAS),∴ ∠ADE =∠DBF.∵∠ADE+∠BDE=60°,∴ ∠BDE+∠DBF=60°,∴ ∠DGB= 120°[定角],作△BDG的外接圆⊙O,连接OB,OD,OG,过点G作GH⊥BD 于点 H,连接 OH,则∠BOD=120°.∵BD=AB=2 [定弦],∴OD=OB=OG=2.∵GH≥OG-OH,∴当O,G,H三点共线时,GH取得最大值,此时OG⊥BD,∠ODB= 等边三角形的面积公式为 ∴四边形 BCDG面积的最大值为
3. 10 【解析】如解图,作△BPC的外接圆⊙O,连接OB,OC,OP,在圆上任取一点 Q,连接BQ,CQ.∵∠BPC=135°[定角],∴∠BQC=45°,∴∠BOC =90°,∴△BOC 为等腰直角三角形.∵ BC=20 [定弦],∴OP=OB= 连接OD,过点 O作 OH⊥AD 于点 H,在△OCD 中,∠OCD= 20=CD,∴∠COD=∠ODC = 30°(△OCD 为等腰三角形)， 在Rt△ODH 中, ∠ODH = ∠ADC - ∠ODC = 过点 P 作 PE⊥AD 于点 E,则有 OP+PE≥OH,∴PE≥OH-OP=30-20=10,∴PE的最小值为 10.
4. 解:(1) ;
【解法提示】如解图①,过点 A 作AD⊥BC 于点D,∵ △ABC为等边三角形,∴∠B=60°,∠BAD=30°,∵ AB = BC=2,∴ AD=AB·
(2)如解图②,作△ABC的外接圆,
∵∠BAC=120°,
∴点A在劣弧BC 上,
当点 A 与 的中点A'重合时,S△ABC 最大,过点 A'作A'D⊥BC 于点 D,
∵∠BA'C=120°,
(3)存在.
如解图③,以 AB 为斜边在矩形 ABCD 内作等腰 Rt△AOB,使得∠AOB=90°,再以点 O为圆心，OA长为半径作圆，并过点 O 作 AB的垂线，记垂足为点 E，延长EO与⊙O交于点N，连接AN，BN，则根据圆周角与圆心角的关系可知
∵在等腰Rt△AOB中,AB=20米,OE⊥AB,
米,
米,
米>24米,
则此时∠ANB 的顶点 N 在矩形ABCD 的外侧,∵⊙O 与CD有2个交点,
∴在CD上存在点M,满足∠AMB=45°.
记⊙O 与 CD 的交点分别为 M ,M ,连接AM ,BM ,过点 M 作AB 的垂线,记垂足为点G,并过点O 作 OF⊥M G于点 F,连接M,F.故可得OE=FG,又∵ 在 Rt△M OF 中, 米,M F=M G-FG=BC-OE=24-10=14米,
米,
∴M C=EB-OF=10-2=8米,

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