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模型38 垂径定理
模型展现
基础模型
图示
特点 在⊙O中,AB为⊙O的直径,CD为弦,且AB⊥CD 于点E
结论 CE=DE,BC=BD,AC=AD
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
结论分析
结论：
证明:如图,连接OC,OD,则OC=OD.
∵AB⊥CD,
∴∠OEC=∠OED=90°,
在 Rt△OEC和Rt△OED中,
∴Rt△OEC≌Rt△OED(HL),
∴CE=DE,∠BOC=∠BOD,
∵AB 为⊙O的直径,
怎么用
1.找模型
已知直径和一条弦(非直径)，且直径与弦垂直
2.用模型
作圆心到弦的垂线或连接过弦端点的半径，构造以半径、弦的一半、圆心到弦的距离为边的直角三角形
满 分 技 法
这里的弦和直径垂直于圆内一点，根据题中条件也可考虑用相交弦定理解题.
从题中找①过圆心；②垂直弦；③平分弦(不是直径)；④平分优弧；⑤平分劣弧，若已知其中的两个，就能推出其余三个，即“知二推三”.
模型典例
例1 如图，分别以线段AB 两端点为圆心作⊙A和⊙B，两圆交于C,D两点,连接CD交AB于点P,若AB=7,CD=6,⊙A的半径为5，则⊙B的半径为 ( )
A. 4 B. 3
例2 模型构造 如图，A，B，C是半径为2的⊙O上的点，连接AB，AC,BC,若 ,则∠BAC的度数是 ( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
例3 ( 创新题型-数学文化)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，图①是筒车的实景图，图②是筒车抽象成的平面示意图.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB长为6米，若运行轨道的最低点C 到弦AB的距离是1米，则⊙O
的半径为 米.
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针对训练
1. 如图,点 P为⊙O半径OA上一点,弦BC过点P且垂直于 OA,若BC=8,AP=2,则⊙O的半径为 ( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
2. 如图,AB是⊙O的直径,∠BOC=120°,D为弦BC的中点，连接OD 并延长，交⊙O 于点E,连接AE 交OC 于点 F,若OB=2,则AF的长为 ( )
3. 如图,四边形ABCD 内接于⊙O,AB 为⊙O的直径,OD∥BC,若AB=10,CD=4,则sinB的值为 .
4. 如图，在半径为7的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为 2，则在⊙O 中与弦AB 距离为 3的弦长为 .
5. 如图,AB为⊙O的直径,BC是弦,∠ABC的平分线 BD交⊙O 于点 D,过点 D 作 DE⊥BC交BC的延长线于点E,BC=5,DE=6.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求⊙O的直径.
模型38
模型典例
例1 C 【解析】∵ 以线段AB 两端点为圆心作⊙A 和⊙B,两圆交于 C,D两点,∴CP=DP,AB⊥CD(因为两个圆心都在公共弦的垂直平分线上，所以连接两圆心垂直平分公共弦),如解图,连接AC,BC,∵ CD=6,∴CP=DP=3,∵⊙A 的半径为5,∴AC=5,∴在Rt△APC 中, 4,∵AB=7,∴BP=AB-AP=7-4=3,∴在Rt△BPC 中, 3 ,∴⊙B的半径为
(2)如解图,连接CE,
由(1)知⊙O的半径为12,∴DE=24.
设AE=x,则AD=DE+AE=24+x,
由切割线定理可得
∴81=x(24+x),
解得 (舍去),
∴AE=3,
由弦切角定理可得∠ACE=∠D,
∵ ∠A=∠A,∴△ACE∽△ADC(“A字”模型,见 P134 模型47),
∵ DE是⊙O 的直径,∴∠DCE=90°,
垂径定理
例2 C 【解析】如解图,连接OB,OC,过点 O作OE⊥BC于点 E,则 ∴∠BOE=60°,∴∠BOC=120°,∴∠BAC=
例3 5 【解析】如解图，设⊙O半径为R，分别连接OA,OC交AB于点D,则OD=R-1,∵点C 是 的最低点,∴OC 垂直平分AB,∴AD= 在 Rt△AOD 中, 解得R=5.
针对训练
1. C 【解析】如解图,连接 BO,∵ BC⊥OA, ∴在 Rt△OPB 中, 设 OB=OA=x,则OP=x- 解得x=5,∴OB=5,即⊙O 的半径为5.
2. A 【解析】∵ ∠BOC = 120°,∴ ∠AOC =60°.∵ 点 D 为 BC 的中点,∴ ∠COE =∠BOE = 60°,∴ ∠AOC = ∠COE = 60°,∴OC⊥AE,∴ ∠AFO =90°,∴ AF=AO·
【解析】如解图，连接AC 交OD于点E,∵ AB 为 ⊙O 的直径,∴ ∠ACB = 90°,∵OD∥BC,∴ ∠AEO=∠ACB=90°,∴AE=CE,∵AB=10,∴OA=OD=5,设DE=x,则OE=5-x,在Rt△CDE 中, 在 Rt△AEO 中, ( 由AE=CE 可列出等式)，解得 在Rt△CDE 中,
4. 4 或8 【解析】①如解图①，当所求弦在弦AB下方时，CD 即为所求弦，过点 O 作OQ⊥CD 交AB 于点 P,交CD 于点 Q,连接 由题可知,OC=7,OP=2,PQ=3,∴OQ=5,在 Rt△OQC 中, ；②如解图②，当所求弦在弦AB上方时,CD即为所求弦,过点 O 作 OP⊥AB于点 P,反向延长 OP 交 CD 于点 Q,连接 由题可知,OC=7,OP=2,PQ=3,∴OQ=1,在Rt△OQC中,CQ= 8 .综上所述，CD的长为4 或8 .
5. (1)证明:如解图①,连接OD,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∵ BD 平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD,
∴∠ODB=∠CBD,
∴OD∥BE,
∵ DE⊥BC,∴OD⊥DE,
∵OD 是⊙O 的半径,
∴DE是⊙O 的切线;
(2)解:如解图②,连接AC,交OD 于点 F,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵∠ODE=∠DEC=90°,
∴四边形 CEDF 为矩形,
∴CF=DE=6,OD⊥AC,
∴AF=CF=6,AC=12,
∵BC=5,
在Rt△ABC中,

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