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模型26 “勾股树”
模型故事
毕达哥拉斯树(如图)，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树.重复的次数越多，毕达哥拉斯树的“枝干”就越茂密.
模型展现
基础模型
原理 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a +b =c
作图 作 正 方 形(毕达哥拉斯树的起始图形) 作半圆 作等腰直角三角形 作等边三角形
图示 (在直角 三角形外 分别以三 边作形状 相同的 图形)
结论 S +S =S
怎么用
1.找模型
满足条件：①直角三角形；②以直角三角形三边向外作形状相同的图形
2.用模型
根据勾股定理及在直角三角形外分别以三边作形状相同图形，利用面积公式解决面积关系、线段长度的问题结论分析
结论：
以作等边三角形为例.
证明：如图，过点D作. 于点 M,
是等边三角形，
在 Rt△ADM中,
同理可得，
∵ 在 Rt△ABC 中满足
模型典例
例 如图，分别以 Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若图中阴影部分的面积为100，则AB的长为( )
A. 10
C. 20
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针对训练
1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若图中阴影正方形的边长分别是8，4，4，2，则图中最大的正方形的面积为
( )
A. 18 B. 36
C. 50 D. 100
2.如图，以AC为直径画半圆，在半圆上取一点B,连接AB,BC,分别以AB,BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积与△ABC的面积关系为 ( )
3. 如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若b,c的面积分别为8和5，则a的面积为( )
A. 2 B.
C. 3 D. 4
4.创新题型-填空双空题)某数学课上老师和学生一起探究勾股定理和面积的拓展问题时，分别以直角三角形的三条边为边向外作等边三角形，如图①，图中的S ，S ，S 满足的数量关系是 ，如图②，若将△ABF沿着AB 翻折得到△ABF',若 S =4,S =6,,则△ABC的面积是 .
5. 模型构造 如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠CDA=90°,分别以它的四条边为斜边，向外作等腰直角三角形，若 14,S =2,求S 的值.
模型 26 “勾股树”
模型典例
例 B 【解析】∵ △ADC,△CEB,△AFB 都是等腰直角三角形，△ABC 为直角三角形， 100,即S△ABF=50,∵△ABF为等腰直角三角形,. 解得AF=10(负值已舍),
针对训练
1.D 【解析】如解图，阴影正方形的面积分别记为S ，S ，S ，S ，记另外两个正方形的面积分别记为S ，S ，∵阴影正方形的边长分别是8,4,4,2, 4，∵所有的三角形都是直角三角形，∴S =
2. C 【解析】以AB,BC,AC为直径的半圆面积分别记为S ,S ,S .则
3. C 【解析】如解图,以 BC 为边作正方形, ∵∠ACB+∠ECD = 90°,∠CED+∠ECD =90°,∴ ∠ACB=∠CED,在△ABC 和△CDE
中
∴BC=DE,根据勾股定理得
10 【解析】根据“勾股树”模型得 如解图，设△ABC的面积为S，令 2 个空白小三角形的面积分别为a，

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