资源简介

模型28 蚂蚁爬行(最短路径问题)
模型展现
基础模型1
图示
已知 在一个长、宽、高分别为 a,b,c 的长方体中,一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行,求蚂蚁从点 P 到点 Q 的最短路径
展开图
最短路径 PQ= = PQ= = PQ= =
结论 长 方 体 中, 蚂 蚁 爬 行 的 最 短 路 径 为 PQ =
基础模型2
类型 同侧全周长 异侧半周长
图示
已知 在底面半径为r,高为h圆柱中,求蚂蚁从点 P沿圆柱表面螺旋爬行到点 Q 的最短路径
结论 最 短 路 径 为 PQ = 最短路径为PQ=
怎么用
1. 找模型
满足条件：①存在立体图形；②立体图形上有两点；③求两点间的最短路径
2. 用模型
长方体中，蚂蚁爬行问题考查的实质是两点之间线段最短，由于两点之间的路径可归为3 种情况，最短路径需通过比较取得
满 分 技 法
蚂蚁从点 P 到点 Q 的路径根据经过不同的平面可分为三种情况，三种情况的长度如表所示，展开可知，当两边之积最小时，路径最短.
满 分 技 法
我们通常是展开立体图形，化立体为平面，化曲线或折线为直线，通过“展平面→连两点→勾股算”解决问题，如果到达方式不止一种，还需进行比较，选出最短路径.
模型拓展
拓展方向：蚂蚁爬行问题结合将军饮马问题考查
图示
已知 一个底面半径为r,高为h的圆柱形木桶,外壁点 P 处有一只蚂蚁,内壁点Q 处有一滴蜂蜜,求蚂蚁先沿外壁爬行,再沿内壁爬行到点 Q 的最短路径
结论 最短路径为P'Q=
模型典例
例1 如图，在棱长为2的正方体中，蚂蚁从正方体下方一边AB的中点 P 出发爬到顶点 C'处，若蚂蚁选择的路径是最短的，则最短路径长为 .
例2 模型叠加 如图，有一个高为8cm，底面周长为6cm的圆柱形容器，在外壁距下沿3cm的点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的内壁距上沿处4 cm的点 B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从A 处到蜂蜜 B 处所走的最短路径的长为 .
针对训练
1.如图，长方体盒子的长、宽、高分别为2，2，4，若一只蚂蚁想从盒底的点 A 处沿盒子的表面爬行一周到达点 B处，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .
2.如图，已知圆锥的母线长为8，底面圆的半径为2，若一只蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 .
3. 模型叠加 如图，圆柱形容器高为0.9m，底面周长为1.6m，在容器内壁距底部0.2m的点 Q处有一块食物，此时在与食物相对的内壁点 P 处上有一只蚂蚁,PB'=0. 1m ,蚂蚁沿圆柱体侧面爬到点 Q 处吃食物，则蚂蚁爬行的最短距离为 m.
4.如图,一只蚂蚁在长、宽、高分别是 18 cm,12 cm,10 cm的长方体台面上寻找食物,已知点 N 是 FG的中点,蚂蚁先从点 A 沿 AB向前爬行 6 cm到达点 M，发现点 N处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点 M 爬行到点 N 处吃到，它需要爬行的最短距离为 cm.
5.如图，在长方体容器的内壁点 P处有一滴糖浆，一只蚂蚁在长方体容器的外壁点 B处，已知长方体容器的长AB=5，宽AD=4，高AE=4,AP=1,则蚂蚁爬到点 P处吃到糖浆的最短路径长为 .
6.如图，是一个四级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5,1.5 和1.5,A和B是这个台阶的两个相对的端点，B点上有一只蚂蚁，想到A点去觅食，则蚂蚁从B点出发，沿着台阶面爬到A点，最短路径长为 .
模型 28 蚂蚁爬行(最短路径问题)
模型典例
例1 【解析】把点 P 和点 C'所在的两个平面展开到一个平面内，如解图①，根据勾股定理得 如解图②，根据勾股定理得 ∴沿着正方体的表面爬到顶点 C'处的最短路径长为
例 【解析】如解图，作点A 关于CD 的对称点A'，连接A'B，∵ 圆柱底面周长为6cm,∴CD=3cm,此时A'B 为最短的路径,
针对训练
1. 4 【解析】如解图，展开长方体侧面可得，最短路径长为
2. 8 【解析】∵圆锥的底面周长为2π×2=4π，设侧面展开图的圆心角的度数为 解得n=90,∴如解图,连接AA'，该圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形,在Rt△AOA'中, 蚂蚁爬行的最短距离为
3.1 【解析】如解图，∵ 圆柱底面周长为1.6m,∴AB=0.8 m,连接 PQ,过点 Q 作QE⊥BB'于点E,∵QA=0.2m,∴BE=QA=0.2m,∵ 圆 柱 体 高为 0. 9 m, PB' =0. 1m ,∴ PE=0.9-0.2-0.1=0. 6m ,在Rt△PQE 中,∵ QE = AB = 0. 8 m,PE = 1m，∴蚂蚁爬行的最短距离为 1 m.
4. 20 【解析】如解图①,∵AB=18 cm,GF=12 cm,BF=10 cm,∴BM=18-6=12 cm,BN= 如解图②,过点N作NP⊥BC于点P,∵AB=18cm,BC=12cm,BF=10cm,∴PM=18-6+6=18 cm,NP=10 cm,∴MN=√ 8 +10 = ∴蚂蚁爬行的最短路程为20cm.
【解析】如解图，作点 B 关于 EF 的对称点 B',过点 P 作 PQ⊥BF 于点 Q,连接PB'，则 PB'为蚂蚁爬行时的最短路径.在Rt△B'PQ 中,B' Q = 7, PQ= 5,∴ B' P = 最短路径长为
6. 13 【解析】如解图,将台阶展开,∴AC=4×1.5+4×1.5=12,BC=5,∴AB=√AC +BC = 蚂蚁爬行的最短路径长为13.
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