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模型32 “十字架”模型
模型展现
基础模型
类型 过顶点型 不过顶点型
已知 在正方形ABCD中,点E,F分别在 CD,AD上,AE⊥BF 在正方形ABCD 中,点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD上,EF⊥GH
图示
结论 △ABF≌△DAE,BF=AE EF=GH
结论分析
结论:△ABF≌△DAE,BF=AE
证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=DA,∠BAF=∠ADE=90°,
∵AE⊥BF,
∴∠AGB=90°,
∴∠ABF+∠BAG=90°,
∵∠BAG+∠DAE=90°,
∴∠ABF=∠DAE.
在△ABF和△DAE中,
∴△ABF≌△DAE(ASA),
∴BF=AE.
怎么用
1.找模型
在正方形中存在互相垂直的线段，且端点在正方形的边上，看起来像“十字架”
2.用模型
根据等角(同角)的余角相等及正方形的性质证明两条线段所在三角形全等，根据全等三角形的性质进行线段数量关系判断
思 考 延 伸
正方形中不过顶点型“十字架”模型结论的证明方法通过作垂线或者平移线段(AD，DC)构造全等三角形.
模型拓展
拓展方向：由正方形向矩形拓展
类型 过顶点型 不过顶点型
已知 在矩形 ABCD 中,点 E 在AD上,CE⊥BD 在矩形ABCD中,点E,F,G,H 分别在 AD,BC,AB,DC上,EF⊥GH
图示
结论 △BCD∽△CDE,CE=CD/AD EF=CD
模型典例
例1 如图,正方形ABCD中,点E为BC边上一点,连接AE,作AE的垂直平分线交AB于点G，交CD 于点F，若 则AE的长为 .
例2 模型叠加，模型构造 如图，在 中, ,点 D 为AC的中点,连接BD,过点 C 作( 交AB于点E:交BD于点F,则CE的长为 .
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针对训练
1. 如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别是AD,CD边上的点,且AE=DF,连接BE,AF交于点M,连接BF,N是BF的中点,连接MN,若AB=10,AE=4,则MN的长为 .
2. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过点A作BD的垂线分别交 BC,BD于点E,F,则EF 的长为 .
3. 如图,已知正方形ABCD,E是边BC上一点,过点 B作AE 的垂线,垂足为 F,G是BF 延长线上一点,且∠BGC=45°,连接 GC并延长,交AE的延长线于点H,连接BH,DG,若CG=CH,DG= ,则BH的长为 .
4. 模型构造如图,在四边形ABCD中,BC=CD=5,∠B=∠ADC=90°,AB=10,点E,F分别在边BC,AB上,AE⊥DF于点 G,则 的值为 .
5. 拔高已知,在矩形 ABCD 中,E 为 BC边的中点,DG⊥AE 交 AE 于 F,交AB 于 G,AB:BC=k.
(1)如图①,当k=1时,求证:AG=BE;
(2)如图②,若
①求EF的长;
②连接FC,若∠EFC=∠BAE,求 FC的长.
模型32 “十字架”模型
模型典例
例1 3 【解析】如解图，连接GE(由垂直平分线可想到作此辅助线)，过点 D 作DH∥GF交AB于点 H,则四边形 DFGH为平行四边形,∴GH=DF=2(平行四边形的性质),∵ AE ⊥ GF,∴ AE ⊥ HD,易 证 △ADH ≌△BAE,∴AH=BE,∵ GF 是AE 的垂直平分线，∴AG=GE(垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),在 Rt△BEG中,∵ BG=4,GE=AG=GH+AH=2+BE,∴16+BE =(2+BE) ,解得 BE=3,∴AH=BE=3,∴AB=AH+GH+BG=3+2+4=9,在 Rt△ABE 中,
例2 【解析】如解图，过点A作AC的垂线，过点 B 作BC 的垂线，两垂线交于点G，延长CE交AG于点H(作垂线构造矩形很关键),∵∠ACB=90°,∴四边形AGBC 为矩形.∵ D 是 AC 的中点,∴ CD=AD =2, 易证△CAH∽△BCD(利用同角的余角相等可证), 即 易证△AEH∽△BEC(由平行可得“8 字型”相似)， 即 解得
针对训练
【解析】∵四边形 ABCD 为 正方形,∴AB=DA,∠BAE=∠ADF=90°,∵AE=DF,∴ △BAE≌△ADF(SAS),∴ ∠ABE =∠DAF,∵ ∠DAF+∠BAF=90°,∴ ∠ABE+∠BAF= 90°,∴ ∠AMB = 90°,∴ ∠BMF =90°,∵N是 BF的中点, (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).∵AB=10,AE=4,∴DF=4,CF=6,∴BF=
2. 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,AD = BC = 8,∴BD = √AB +AD =10, ∵ AE ⊥ BD,∴ ∠FAD +∠ADB = 90°.又∵∠BAE+∠FAD=90°,∴∠ADB=∠BAE.又∵∠BAD=∠EBA,∴△BAD∽△EBA. 即 解得 BC,∴ △ADF∽△EBF, 即 解得 在Rt△BEF中,EF=
3. 5 【解析】如解图,过点 C 作 CM⊥BG 于点M,连接CF.∵BG⊥AE,CG=CH,∴CM∥AH,CF= GH = CC,∵ ∠BCC = 45°, CF =CG,∴∠CFG=45°,∴∠FCG=90°,即 CF⊥GH,∵四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=BC=CD,∠BCD=90°,∴∠BCF+∠FCD=∠FCD+∠DCG,∴∠BCF=∠DCG,∴△BCF≌△DCG,∴BF=DG= .∵∠BAF+∠ABF=∠ABF+∠CBM=90°,∴∠BAF=∠CBM,∵AB=BC,∠AFB=∠BMC=90°,∴△ABF≌△BCM,∴CM=BF= ,∵ CM∥AH,CG=CH,∴MC=
4. 【解析】如解图,过点 D作DN⊥BC,交BC 的延长线于点 N,过点 A 作 AM⊥ND,交ND 的延长线于点 M,连接 AC,∵ ∠ABC =90°,DN⊥BC,AM⊥MN,∴四边形 ABNM 是矩形,∴∠M=∠N=90°,AM=BN,MN=AB=10,在 Rt△ACD 和Rt△ACB 中, ∴ Rt△ACD≌ Rt△ACB(HL),∴ AB = AD =10,∵∠B=∠ADC=90°,∴∠ADM+∠CDN=90°,且∠ADM +∠MAD = 90°,∴ ∠MAD =∠CDN,又∵ ∠M= ∠N = 90°,∴ △ADM∽ (10-2CN) ,∴CN=5(不符合题意,舍去)或CN=3,∴BN=BC+CN=8,由“十字架”模型可知， (过点 F 作 MN 的垂线，利用相似求解即可证明，赶快试试吧).
5. (1)证明:当k=1时,AB=BC,矩形ABCD为正方形,∴AB=AD,
∵ DG⊥AE,∴∠FAD+∠ADF=90°,
∵ ∠GAF+∠FAD=90°,∴∠GAF=∠ADF,
∵ ∠B=∠BAD=90°,∴△ABE≌△DAG,
∴AG=BE;
(2)解:①由(1)可知∠GAF=∠ADF,∠B=∠AFD=90°,
∴△AFD∽△EBA,
点 E 为 BC 的中点,
∴AE=20,∴EF=16;
②如解图,过点 F 作 FH⊥BC 于点 H,
∴∠HFE=∠BAE=∠EFC,
过点 E 作EM∥FH交 FC于点 M,
∴∠MEF=∠HFE=∠MFE,
∵ EM∥FH,
∴△CME∽△CFH,
∵ FH∥AB,∴△EFH∽△EAB,
又∵EB=EC,
∴FC=AB,
∵由①知

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