资源简介

模型 30 垂美四边形
模型展现
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基础模型
定义 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形
图示
特点 在四边形ABCD 中,AC⊥BD
结论 AB +CD =AD +BC
结论分析
结论：
证明:∵AC⊥BD,
∴ 根据勾股定理得
①+③得,
②+④得,.
怎么用
1.找模型
若四边形对角线互相垂直，则考虑垂美四边形
2.用模型
勾股定理及等量代换是解决垂美四边形中线段长度和角度问题的重要手段
满 分 技 法
我们常见的特殊四边形中，菱形和正方形也是垂美四边形.
模型典例
例 如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD交于点O,∠AOD=对角线垂直90°,若 则
思 路 点 拨
分析题干得出该四边形是垂美四边形，利用勾股定理及线段之间的转化即可求解.
针对训练
1.定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)写出一种你学过的垂美四边形 ；
(2)如图①,点O 是垂美四边形ABCD 对角线的交点,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,连接OE,OF,OG,OH,分别记四边形AEOH,四边形BEOF,四边形CGOF,四边形 DHOG 的面积为 S ,S ,S ,S ,用等式表示 S ,S ,S ,S 的关系;
(3)如图②，四边形ABCD是垂美四边形，若AB=4,BC=2,CD=5,求AD的长.
2. 模型构造【问题发现】
(1)如图①,△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,F 是AC 边上的一个动点(不与点A,C重合),以CF为边在△ABC外作等腰直角△FCD,∠FCD=90°,连接BF,AD,猜想BF 与AD 之间的数量关系及位置关系；
【类比迁移】
(2)如图②,△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AC边上的一个动点(不与点A,C重合),以CF为边在△ABC外作正方形CDEF,连接AD,BF交AD于点G,猜想BF 与AD 之间的数量关系及位置关系；
【拓展延伸】
(3)如图③,△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,以 C 为顶点向右作正方形CDEF,连接AF,AD,BD,连接BF交AC于点H,已知 求 的值.
模型30 垂美四边形
模型典例
例 13 【解析】∵ ∠AOD =90°,∴ ∠BOC =
针对训练
1.解:(1)正方形(或菱形);
(2)如解图①，连接AC，BD，由垂美四边形的定义可知,AC⊥BD,
则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°,
又∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,
(3)如解图②,连接AC,BD交于点 O,由垂美四边形的定义可知AC⊥BD，
在 Rt△AOB 中,
Rt△BOC中,
Rt△DOC 中,
∵AB=4,BC=2,CD=5,
即
2. 解:(1)BF=AD,BF⊥AD,理由如下:
∵△ABC和△FCD都是等腰直角三角形,
∴BC=AC,CF=CD,∠BCF=∠ACD=90°,
∴△BCF≌△ACD(SAS),
∴BF=AD,∠CFB=∠CDA,
∵∠CBF+∠CFB=90°,
∴∠CBF+∠CDA=90°,
∴BF⊥AD;
(2)BF=AD,BF⊥AD,理由如下:
∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴AC=BC,
∵四边形 CDEF是正方形,
∴CF=CD,
∵∠ACB=∠ACD=90°,
∴△BCF≌△ACD(SAS),
∴BF=AD,∠CBG=∠CAD,
∴∠CAD+∠AFG=∠CBG+∠BFC=90°,
∴∠AGF=90°,
∴BF⊥AD;
(3)如解图,连接DF,
∵ 四边形CDEF 是正方形,
∴∠FCD=90°,
又∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠FCD,
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,
即∠BCF=∠ACD,
在△BCF和△ACD中,
∴△BCF≌△ACD(SAS),
∴∠CBF=∠CAD,
∵∠CBF+∠BHC=90°,∠BHC=∠AHF,
∴∠CAD+∠AHF=90°,∴BF⊥AD,
∴ 四边形ABDF 为垂美四边形，
∵△ABC 为等腰直角三角形,四边形 CDEF为正方形，

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