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模型 27 赵爽弦图
模型故事
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理( 而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为(b-a)，则面积为((b-a) .于是便可得如下的式子： 化简后便可得： 亦即：
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.
模型展现
基础模型
图示
已知 在正方形ABCD中,分别在边AB,BC,CD,DA 上取点 E,F,G,H,使得BE=CF=GD=AH,将点E,F,G,H 顺次相连,过点E,F,G,H作EJ∥AD,FK∥AB,GL∥BC,HI∥CD
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1. 四边形EFGH是正方形;
2.四边形IJKL 是正方形;
结论 3. 正方形 IJKL 的边长为 HI-EI;
5. 2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形 IJKL
结论分析
结论1：四边形 EFGH 是正方形
证明:在正方形ABCD中,BE=CF=DG=AH,
∴BF=CG=DH=AE,
又∵∠B=∠C=∠D=90°,∠A=90°,
∴△BEF≌△CFG≌△DGH≌△AHE,
∵∠AEH+∠AHE=90°,
∴∠AEH+∠BEF=90°,
∴∠FEH=90°,
∴四边形 EFGH是正方形.
结论2：四边形IJKL 是正方形
证明:. 且
∴ 四边形 EBFJ、四边形 FCGK均是矩形,
同理可得.
且
∴ 四边形 IJKL 是正方形.
模型典例
例1 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的真角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为9，设直角三角形较长直角边长为x，较短直角边长为y，下列四个说法：①x +y =25,②x-y=3,③2xy+9=25,④x+y=7.其中正确的是 ( )
A. ②③④ B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
例2 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形IJKL的面积分别为 若 则 的值为 ( )
A. 16 B. 12 C. 8 D. 6
例3 如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的.如果大正方形的面积是25，小正方形面积是1，则cosθ的值为 .
针对训练
1. ( 创新题型-数学文化)我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》(也称《赵爽弦图》)是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示，如果大正方形的面积是24，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b,那么(a+b) 的值为 ( )
A. 20 B. 40 C. 44 D. 48
2.勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图(它是由四个全等的直角三角形围成的)，证明了商高结论的正确性.若AB=15,BC=12,将四个直角三角形中的短直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的面积(即图②阴影部分)是 .
3. ( 创新题型-阅读理解试题)【材料阅读】赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”证明勾股定理的准确性.如图①所示，四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形.证明方法如下：
设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b，斜边为c，朱实面积=2ab，黄实面积： 朱实面积+黄实面积： 大正方形面积：
【实际应用】
若较短的直角边的长为6，另一条直角边为8，求小正方形与大正方形的面积比；
【拓展延伸】
如图②，将边长为1的正方形ABCD的四边BA,CB,DC,AD分别延长至E,F,G,H,使得AE=CG,BF=DH,且∠FEB=45°,tan∠AEH=2,连接EF,FG,GH,HE,求AE的长.
模型 27
模型典例
例1 B 【解析】①∵△ABC为直角三角形,∴根据勾股定理得 故该说法正确；②由图中直角三角形的线段关系可知x- 故该说法正确；③由题图可知，四个全等的直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式 即 2xy+9=25,故该说法正确;④由2xy+9=25 可得2xy=16,又∵x + (完全平方和公式)，故该说法错误.∴说法正确的有①②③.
例2 C 【解析】题图中正方形ABCD，正方形EFGH,正方形IJKL 的面积分别为S ,S ,S ,八个三角形全等，设AH=x,HD=y,∴S = 的值是 8.
例3 【解析】∵大正方形的面积是25，小
5.解：由题意得可知
如解图,连接 AC,在 Rt△ADC 与 Rt△ABC
中,
即
正方形面积是1，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，设直角三角形中θ所对的直角边为x，则 解得：x = (舍),
针对训练
1. C 【解析】∵大正方形的面积是24，小正方形的面积是4，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，： .大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积和， 即
2. 432 【解析】如解图,根据题意， ∴这个风车的面积为4×108=432.
3.解：【实际应用】∵直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，
∴小正方形的边长为2，根据勾股定理得：大正方形的边长为
【拓展延伸】在正方形ABCD 中,AB=AD=1,设AE=x,则BE=x+1,
在 Rt△BEF 中,∠BEF=45°,
∴BE=BF,
∵BF=DH,
∴DH=BE=x+1,∴AH=AD+DH=x+2,在 Rt△AEH中,tan∠AEH=2,
∴AH=2AE,
∴2+x=2x,解得x=2,
∴AE=2.

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