资源简介

模型58 “海盗埋宝”模型
模型故事
海盗埋宝
海盗头领弗林特带着一群海盗匆匆忙忙来到一个孤岛上，打算将刚抢来的财宝藏在这个孤岛上.岛上有三棵树，构成一个三角形，其中山毛榉树离海边最近，两颗橡树在山毛榉树的两侧.他们从山毛榉树到1号橡树拉一根绳子，然后从1号橡树出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度，把这一地点记为1号地点；再从山毛榉树到2号橡树拉一根绳子，然后从2号橡树出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度，把这一地点记为2号地点，最后他们把财宝埋藏在1号地点与2号地点的正中间，由于匆忙，离开的时候他们忘记了绘制藏宝图.半年后有个小海盗瞒着海盗头领偷偷潜回该岛，企图盗走财宝，他知道找财宝的诀窍，但令他失望的是，作为标记的山毛榉树被台风刮走了，没有留下一点痕迹，只有两棵橡树还在.但他并不放弃，在没有山毛榉树做标记的情况下，还是凭着智慧找到了财宝，你知道这个小海盗是怎样找到的吗
模型展现
图示
特点 △ACD和△BEC是等腰直角三角形,A,B为直角顶点,且C点为公共点,连接DE,F为DE的中点,连接FA,FB,AB
作法 延长AF至点P,使得FP=AF,连接PE,PB,延长PE交AC 于点 Q
结论 1. △FAB 是等腰直角三角形; 2. △DAF≌△EPF(SAS); 3. △ACB≌△PEB(SAS); 4. △ABP是等腰直角三角形
基础模型
怎么用
两等腰直角三角形一组底角共顶点，另一组底角连线取中点，即可考虑“海盗埋宝”模型
应用倍长中线或轴对称构造全等三角形，用等腰直角三角形、全等三角形的性质解决复杂图形中边角之间的关系问题
结论分析
结论：1. △FAB是等腰直角三角形；
2. △DAF≌△EPF(SAS);
3. △ACB≌△PEB(SAS);
4. △ABP 是等腰直角三角形
证明：如图，延长AF 至点 P，使得. ,连接PE,PB,延长PE交AC 于点 Q.
∵ F为DE的中点,∴DF=EF.
在△DAF和△EPF中,
∴△DAF≌△EPF(SAS)(结论2),
∴DA=EP,∠DAF=∠EPF,
∴DA∥PQ.
∴∠EQC=∠DAQ=90°.
在四边形 EQCB中,
∴∠QEB+∠QCB=180°.
又∵∠QEB+∠PEB=180°,
∴∠QCB=∠PEB.
∵ △ACD和△BEC 为等腰直角三角形,
在△ACB和△PEB中,
∴△ACB≌△PEB(SAS)(结论3),
∴AB=PB,∠ABC=∠PBE,
∴∠ABC+∠ABE=∠PBE+∠ABE,即∠CBE=∠ABP=90°,
∴△ABP 是等腰直角三角形(结论4).
又∵ F是AP 的中点,
∴BF⊥AP,BF=AF,
∴△FAB是等腰直角三角形(结论1).
模型拓展
拓展方向:当∠ACE=0°,45°,135°时的特殊情况
类型 ∠ACE=0° ∠ACE=45° ∠ACE=135°
图示
结论 A,C,E 三点共线,B,C,D三点共线 C,D,E,F四点共线,∠ACB=90° A,B,C三点共线,D,E,F三点共线,∠EBA = ∠ECD =∠BAD=90°
模型典例
例 如图,在△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰Rt△AEC 和等腰Rt△ADB,F是BC的中点,连接FD,FE,DE,若FD=4,则线段 DE 的长为 .
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针对训练
1. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC,在等腰直角△BDE 中,∠BDE=90°,若 F 是AE的中点，则∠DFC的度数为 ( )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
2. 如图,在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB,AC 为斜边向△ABC的外侧作等腰 Rt△ADB和等腰 Rt△AEC,分别过点 D,E作 DF⊥AB于点 F,EG⊥AC 于点 G,若 M 是 BC 的中点,连接MD,ME,FM,GM,则下列结论不正确的是 ( )
A. BF=CG
B. MD=ME
C. △DFM和△EGM都是等腰三角形
D. 四边形 AFMG 不是菱形
3. 如图,等腰 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,延长BC到点 E,以 CE 为斜边,在 CE 下方作等腰Rt△CDE,连接BD,AE,F为 AE 的中点,连接BF,DF.若AB=2,CD=3 ,则△BFD的面积为 .
4. 已知,四边形 ABCD 是正方形,O 为对角线AC的中点.
(1)如图①,连接 BO,分别取BC,BO 的中点P,Q,连接PQ,试判断PQ 与 BO 的数量关系和位置关系；
(2)如图②，将△AOB绕点A沿顺时针方向旋转45°得到△AO'E,连接CE,F,Q分别为CE,BO'的中点,连接FQ,FB.求 的值.
5. 模型叠加如图①,等腰Rt△ABC 和等腰Rt△BDE 有公共顶点 B,∠BAC=∠BDE=90°,连接CE,F是CE的中点,连接FA,FD.
(1)若D,A,B三点共线,求证:AF∥BE;
(2)如图②,当∠ABD=45°,DF=4时,求AF长度.
6. 选做 如图①，△ABC 是等腰直角三角形,四边形 BEDF 是正方形,连接 CD,M是CD的中点,连接AM,EM.
(1)当点 E 在线段 BC上时,求线段 MA,ME的数量关系和位置关系；
(2)如图②,将图①中的△ABC 绕点 B顺时针旋转，使点 C 落在 FD 的延长线上，其余条件都不变，则MA，ME的数量关系和位置关系仍然成立吗 请说明理由.
58 “海盗埋宝”模型
模型典例
例 4 【解析】如解图，分别取AB，AC 的中点M,N,连接FM,DM,FN,EN,设DM和FN交于点 H,∵ △ADB和△AEC都是等腰直角三角形,∴∠DMA=∠ENA=90°,DM=AM= F 是 BC的中点,∴MF和FN都是△ABC的中位线,∴AM∥FN,DM=AM=FN,MF=AN=NE,∴四边形AMFN是平行四边形,∴∠AMF=∠ANF,∴∠DMF=∠FNE.在△DMF和△FNE中, ∴△DMF≌ △FNE ( SAS),∴ FD = EF,∠MDF=∠NFE.∵ DM⊥AB,∴DM⊥NF,即∠MHF=90°.∵∠MHF=∠HFD+∠MDF,∴∠MHF=∠HFD+∠NFE=∠DFE=90°,∴△DFE是等腰直角三角形,∴FD=FE=4,在 Rt△DFE中,
针对训练
1. B 【解析】∵∠ACB=90°,BC=AC,∴△ABC是等腰直角三角形，∵ △BDE 是等腰直角三角形,F是AE的中点,∴DF⊥CF,∴∠DFC=90°.
2. D 【解析】∵ △ADB 和△AEC 是等腰直角三角形,∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°,∠ADB = ∠AEC = 90°, 在 △ADB 和△AEC 中,△AEC(AAS),∴BD=CE,AD=AE,∵ DF⊥AB 于点 F,EG⊥AC 于点 G,∴ DF=BF =故 A 选项正确，不符合题意；∵M是BC的中点,∴BM=CM.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴ ∠ABC + ∠ABD = ∠ACB + ∠ACE, 即∠DBM=∠ECM. 在 △DBM 和△ECM 中,
∴ MD = ME,故 B 选项正确,不符合题意;∵ F,M,G分别是 AB,BC,AC 的中点,∴MF,MG是△ABC的中位线,. MG=EG,∴△DFM 和△EGM都是等腰三角形，故C选项正确，不符合题意；如解图，连接AM,∵AB=AC,M 是 BC 的中点,∴AM⊥BC,∴∠AMB=∠AMC=90°,又∵ AF=BF, AG,∴AF=FM=GM=AG,∴四边形AFMG是菱形，故D选项错误，符合题意.
【解析】 2,CE= CD=6,∴BE=BC+CE=8,∴AE= ∵ F 为 AE 的中点， 由“海盗埋宝”模型结论可知，△BFD 是等腰直 角 三角形,
4. 解:(1)∵P和Q分别为BC,BO的中点,
∴PQ为△BOC的中位线,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴CO=BO,CO⊥BO,
(2)如解图,连接 O'F并延长交 BC 于点 G.由正方形的性质及旋转可得AB=BC，∠ABC=90°,△AO'E 是等腰直角三角形,
∴O'E∥BC,O'E=O'A,
∴∠O'EF=∠GCF,∠FO'E=∠FGC.
又∵ F 是CE 的中点,
∴EF=CF,
∴△O'FE≌△GFC(AAS),
∴O'E=GC=O'A,O'F=GF,
∴BO'=BG,
∴△O'BG是等腰直角三角形.
∴BF⊥O'G,O'F=BF,
∴△BFO'是等腰直角三角形.
又∵Q为O'B 的中点,
∴FQ⊥O'B,且FQ=BQ,
5. (1)证明:如解图①,延长AF交DE于点M,
∵∠CAD=∠BAC=∠BDE=90°,
∴AC∥DE,
∴∠ACF=∠MEF,且CF=EF,∠CFA=∠EFM,
∴△ACF≌△MEF(ASA),
∴AC=EM,AF=MF,
∵△ABC和△BDE 是等腰直角三角形,
∴AB=AC,BD=DE,∠DEB=45°,
∵EM=AC=BA,
∴BD-AB=DE-EM,
∴AD=DM,
又∵∠ADM=90°,
∴AF∥BE;
(2)解:如解图②,延长CA交 BD 于点 P,连接PE，延长ED 与BA的延长线交于点 G，连接CG,
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°,∠BAC=90°,
∵∠ABD=45°,
∴∠APB=45°=∠ABD=∠ACB,
∴AB=AP,BC=BP,
∴AC=AP(等腰三角形“三线合一”),
∵ F 为CE的中点,
(中位线的性质).
同理可得
在△BCG与△BPE中,
∴△BCG≌△BPE(SAS),
∴CG=PE,
∴AF=DF=4.
6. 解:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=90°,
∵M是CD 的中点,∴MA=MC,
∴∠MAC=∠MCA.
∵ 四边形BEDF是正方形,
∴∠DEC=90°.
∵M 是 CD的中点,
∴ME=MC,∠MCE=∠MEC,
∴MA=ME,
∵∠MCA+∠MCE=∠ACB=45°,
∴∠AME=∠MAC+∠MCA+∠MCE+∠MEC=2∠ACB=90°,∴MA⊥ME;
(2)成立，理由如下：
如解图，设AB与CF交于点N，在BF 上截取BG=CM,连接AG,EG,MG,
∵∠BAC=∠F=90°,∠ANC=∠BNF,
∴∠ACM=∠FBA(三角形的内角和为180°),在△ABG和△ACM中,
∴△ABG≌△ACM(SAS),
∴AG=AM,∠BAG=∠CAM,
∵∠BAC=90°,∴∠GAM=90°,
∵BG=CM,DM=CM,∴BG=DM,
在△EBG和△EDM中,
∴△EBG≌△EDM(SAS),
∴EG=EM,∠BEG=∠DEM,
∵∠BED=90°,
∴∠GEM=90°,
∴∠EGM=∠EMG=∠AGM=∠AMG=45°,
∴∠AGE=∠AME=90°,
∴四边形 AMEG为矩形,
又∵EG=EM,
∴四边形AMEG是正方形，
∴MA=ME,MA⊥ME.

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