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专题一　运动图像与追及、相遇问题
素养目标　1.掌握x t图像，v t图像，a t图像及v x图像．(物理观念) 2.会应用图像的特点分析x t、v t图像的物理意义．(科学思维) 3.运用物理图像对物体的运动进行描述和分析．根据运动学的规律，对追及、相遇问题进行分析、推理．(科学思维)
考点　运动学常规图像的理解和应用
1．x t图像与v t图像的比较
项目 x t图像 v t图像
坐标轴 纵轴表示位移x，横轴表示时间t 纵轴表示速度v，横轴表示时间t
图线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率 表示速度 表示加速度
截距 纵轴截距表示初位置 纵轴截距表示初速度
面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移大小
交点 表示物体相遇 表示速度相等
拐点 表示速度方向改变 表示加速度方向改变
2.对运动图像的两点提醒
(1)x t图像和v t图像只能描述直线运动，图像不是物体运动的轨迹．
(2)x t图像和v t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定，图像中各点的坐标值x、v与t一一对应．
典例1　(2023·全国甲卷)一小车沿直线运动，从t＝0开始由静止匀加速至t＝t1时刻，此后做匀减速运动，到t＝t2时刻速度降为零．在下列小车位移x与时间t的关系曲线中，可能正确的是(　　)
1．[x t图像与v t图像的比较]甲、乙两物体从同一点开始沿一直线同向运动，甲的x t图像和乙的v t图像如图甲、乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．0～6 s内，甲物体做单向直线运动
B．第3 s内，甲、乙两物体速度方向相反
C．0～3 s内，甲、乙两物体位移大小都为零
D．第2 s末到第4 s末甲的位移大小为8 m，乙的位移大小为4 m
2．[对a t图像的理解](多选)t＝0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0.在0～3t0时间内，下列说法正确的是(　　)
A．t＝2t0时，P回到原点
B．t＝2t0时，P的运动速度最小
C．t＝t0时，P到原点的距离最远
D．t＝t0时，P的运动速度与t＝t0时相同
考点　运动学非常规图像的理解和应用
图像类型 图像 重要信息
t图像 由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图像的斜率为a，纵截距为初速度v0
v2 x图像 由v2－v＝2ax得v2＝v＋2ax，图像斜率为2a，纵截距为v
a x图像 根据v2－v＝2ax知，图像与横轴所围面积表示
v x图像 对匀变速直线运动，由v2－v＝2ax可得v＝或x＝v2－v
典例2　一质点沿直线运动，如图所示是从t＝0时刻开始的质点的 t图像(x为位移)，可以推知(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A．质点做匀减速运动
B．加速度的大小是1 m/s2
C．t＝2 s时的速度是1 m/s
D．t＝2 s时位移是3 m
1．[对v x图像的理解]汽车中的ABS系统在汽车制动时，能防止车轮抱死，可以减小刹车距离，增强刹车效果．实验小组通过实验，研究有ABS系统和无ABS系统两种情况下的匀减速制动距离，测试的初速度均为60 km/h.根据如图所示的图线及数据，可以推断出两种情况下汽车刹车的加速度大小之比a有∶a无等于(　　)
A．4∶3 B．3∶4
C．3∶2 D．2∶3
2．[对v2 x图像的理解]a、b两物体从同一地点同时出发，沿相同方向运动．图甲是a做匀加速直线运动的x t图像，图乙是b做匀减速直线运动的x v2图像．则下列说法正确的是(　　)
A．t＝1.25 s时两物体速度相等
B．前1 s内两物体间距离一直在变大
C．t＝0时刻，a的速度为2 m/s，b的速度为8 m/s
D．a的加速度大小为4 m/s2，b的加速度大小为8 m/s2
考点　追及、相遇问题
1．分析思路
可概括为“一个临界条件”和“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点．
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
2．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．
(2)二次函数法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，说明追不上或不能相遇．
(3)极值法：设经过时间t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差Δx与时间的二次函数，再利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值．
(4)图像法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一图像中画出，然后利用图像分析、求解相关问题．
典例3　如图所示为某轿车在行驶过程中试图借用逆向车道超越客车的示意图，图中当两车相距L＝4 m时，客车正以v1＝6 m/s的速度匀速行驶，轿车正以v2＝10 m/s的速度借道超车．客车长L1＝10 m，轿车长L2＝4 m，不考虑变道过程中车速的变化和位移的侧向变化．
(1)若轿车开始加速并在3 s内成功超越客车L3＝12 m后，才能驶回正常行驶车道，其加速度为多大？
(2)若轿车放弃超车并立即驶回正常行驶车道，则至少要以多大的加速度做匀减速运动，才能避免与客车追尾？
1．[速度大追速度小者]甲、乙两车在一条平直的公路上同向行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图(a)所示，以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点O，以甲车速度方向为正方向建立x轴，乙车的位置坐标随时间变化的图像如图(b)所示．下列说法正确的是(　　)
A．甲车做匀变速直线运动的加速度大小为2 m/s2
B．乙车做匀速直线运动，速度大小为5 m/s
C．t＝6 s时甲车追上乙车
D．甲、乙两车相距最近为2 m
2．[速度小追速度大者]A、B两个物体(可以看作质点)沿x轴正方向运动，其中A物体从坐标原点由静止开始运动，它的位置坐标随时间的变化关系如图1所示(曲线为抛物线，原点为抛物线的顶点)，B物体从x0＝12 m处开始运动，速度—时间图像如图2所示．下列说法中正确是(　　)
A．B的加速度大于A的加速度
B．相遇前A、B距离最大时，A的速度为8 m/s
C．在t＝6 s时，A、B相遇
D．A、B可能相遇两次
题型Ⅰ.通过图像分析物体的运动规律
解决这类问题的关键是通过分析图像，判断物体的速度、位移和加速度如何变化，由此构建物体运动的情境．
典例1　(2024·吉林调研)关于甲、乙、丙、丁图中做直线运动的四个物体的运动图像，说法正确的是(　　)
A．甲图中x1～2x1过程物体的加速度大小为
B．乙图中所描述的物体在0～t1时间段通过的位移为x1
C．丙图中所描述的物体在t1～t2时间段速度的变化量为a0(t2－t1)
D．若丁图中所描述的物体正在做匀加速直线运动，则该物体的加速度为2 m/s2
题型Ⅱ.根据题目情境选择运动图像
解决这类问题时，首先要将题目给出的情境分析透彻，然后根据情境分析图像中物理量之间的关系，或者直接将图像与题目所描述的情境相对照，看是否吻合．
典例2　(2021·广东卷)(多选)赛龙舟是端午节的传统活动．下列v t和s t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(　　)
典例3　一质点的位移—时间图像如图所示，能正确表示该质点的速度v与时间t关系的图像是下列图中的(　　)
典例4　如图所示，甲、乙两车同时由静止从A点出发，沿直线AC运动．甲以加速度a3做初速度为零的匀加速运动，到达C点时的速度为v.乙以加速度a1做初速度为零的匀加速运动，到达B点后做加速度为a2的匀加速运动，到达C点时的速度亦为v.若a1≠a2≠a3，则(　　)
A．甲、乙不可能同时由A到达C
B．甲一定先由A到达C
C．乙一定先由A到达C
D．若a1>a3，则甲一定先由A到达C
答案及解析
考点　运动学常规图像的理解和应用
典例1　(2023·全国甲卷)一小车沿直线运动，从t＝0开始由静止匀加速至t＝t1时刻，此后做匀减速运动，到t＝t2时刻速度降为零．在下列小车位移x与时间t的关系曲线中，可能正确的是(　　)
解析：x－t图像的斜率表示速度，小车先做匀加速直线运动，因此速度变大，即0～t1时间内图像斜率逐渐变大；t1～t2时间内做匀减速直线运动，则图像的斜率逐渐变小；在t2时刻速度降为零，图像的斜率变为零．综上所述，D符合题意，故选D.
1．[x t图像与v t图像的比较]甲、乙两物体从同一点开始沿一直线同向运动，甲的x t图像和乙的v t图像如图甲、乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．0～6 s内，甲物体做单向直线运动
B．第3 s内，甲、乙两物体速度方向相反
C．0～3 s内，甲、乙两物体位移大小都为零
D．第2 s末到第4 s末甲的位移大小为8 m，乙的位移大小为4 m
解析：对甲物体，题图甲中0～2 s内物体沿正方向做匀速直线运动，2～4 s内物体沿负方向做匀速直线运动，4～6 s内物体沿正方向做匀速直线运动，A错误；甲物体在2～3 s内沿负方向运动，乙物体在2～3 s内速度为正，沿正方向运动，则第3 s内两物体的速度方向相反，B正确；0～3 s内，根据题图甲可知甲的位移x甲＝0，根据题图乙中v t图像与时间轴围成的面积表示位移大小可知，0～3 s内乙物体的位移为x乙＝×3×4 m＝6 m，C错误；在x t图像中，根据位移等于纵坐标的变化量可知，2～4 s内甲的位移为x甲＝－4 m－4 m＝－8 m，即第2 s末到第4 s末甲的位移大小为8 m，由v t图像面积的物理意义可知，第2 s末到第4 s末乙的位移大小为零，D错误．
答案：B
2．[对a t图像的理解](多选)t＝0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0.在0～3t0时间内，下列说法正确的是(　　)
A．t＝2t0时，P回到原点
B．t＝2t0时，P的运动速度最小
C．t＝t0时，P到原点的距离最远
D．t＝t0时，P的运动速度与t＝t0时相同
解析：质点在0～t0时间内由静止开始，先做加速度增大的加速运动，再做加速度减小的加速运动，此过程一直向前做加速运动；t0～2t0时间内加速度和速度反向，先做加速度增大的减速运动，再做加速度减小的减速运动，2t0时刻速度减为零，此过程一直向前做减速运动；2t0～4t0时间内重复此过程的运动，即质点一直向前运动，A、C错误，B正确．a－t图像的面积表示速度变化量的大小，～t0时间内速度的变化量为零，因此t0时刻的运动速度与t0时刻相同，D正确．
答案：BD
考点　运动学非常规图像的理解和应用
典例2　一质点沿直线运动，如图所示是从t＝0时刻开始的质点的 t图像(x为位移)，可以推知(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A．质点做匀减速运动
B．加速度的大小是1 m/s2
C．t＝2 s时的速度是1 m/s
D．t＝2 s时位移是3 m
解析：由题意可得图线的函数表达式为＝1＋t，即x＝t＋t2，又因为匀变速直线运动中位移公式为x＝v0t＋at2，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2>0，因此质点做匀加速直线运动，故A项错误，B项正确；当t＝2 s时，根据公式v＝v0＋at，代入数据得v2＝3 m/s，故C项错误；当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋t2，可得位移x2＝4 m，故D项错误．故选B.
1．[对v x图像的理解]汽车中的ABS系统在汽车制动时，能防止车轮抱死，可以减小刹车距离，增强刹车效果．实验小组通过实验，研究有ABS系统和无ABS系统两种情况下的匀减速制动距离，测试的初速度均为60 km/h.根据如图所示的图线及数据，可以推断出两种情况下汽车刹车的加速度大小之比a有∶a无等于(　　)
A．4∶3 B．3∶4
C．3∶2 D．2∶3
解析：根据v2＝2ax得a＝，因为初速度相等时，刹车的距离之比为3∶4，则平均加速度之比a有：a无＝4∶3，故A正确．
答案：A
2．[对v2 x图像的理解]a、b两物体从同一地点同时出发，沿相同方向运动．图甲是a做匀加速直线运动的x t图像，图乙是b做匀减速直线运动的x v2图像．则下列说法正确的是(　　)
A．t＝1.25 s时两物体速度相等
B．前1 s内两物体间距离一直在变大
C．t＝0时刻，a的速度为2 m/s，b的速度为8 m/s
D．a的加速度大小为4 m/s2，b的加速度大小为8 m/s2
解析：a做匀加速直线运动，由位移时间公式可知xa＝v0at＋a1t2，将题图甲中数据代入公式可得v0a＝0，a1＝4 m/s2，b做匀减速直线运动，由速度位移公式v2－v＝2ax，可得x＝v2－v，则乙中图像斜率为，纵轴的截距为－v，由此可得v0b＝8 m/s，a2＝－4 m/s2.t＝1.25 s时，va＝a1t＝5 m/s，vb＝v0b＋a2t＝3 m/s，A错误；代入公式可得t＝1 s时，va1＝vb1＝4 m/s，由于a加速，b减速，且0～1 s内，a的速度始终小于b的速度，故两物体间距离一直在变大，B正确；由以上分析可知，t＝0时刻，a的速度为0，加速度大小为4 m/s2，b的速度为8 m/s，加速度大小为4 m/s2，C、D错误．
答案：B
考点　追及、相遇问题
典例3　如图所示为某轿车在行驶过程中试图借用逆向车道超越客车的示意图，图中当两车相距L＝4 m时，客车正以v1＝6 m/s的速度匀速行驶，轿车正以v2＝10 m/s的速度借道超车．客车长L1＝10 m，轿车长L2＝4 m，不考虑变道过程中车速的变化和位移的侧向变化．
(1)若轿车开始加速并在3 s内成功超越客车L3＝12 m后，才能驶回正常行驶车道，其加速度为多大？
(2)若轿车放弃超车并立即驶回正常行驶车道，则至少要以多大的加速度做匀减速运动，才能避免与客车追尾？
解析：(1)设轿车的加速度大小为a，经过t1＝3 s，客车和轿车的位移分别为s1、s2，则
s1＝v1t1，s2＝v2t1＋at
由位移关系有s2＝s1＋L1＋L2＋L＋L3
得a＝4 m/s2.
(2)设轿车减速的加速度大小为a′，经过时间t2，轿车、客车达到共同速度，则
v2－a′t2＝v1
设客车和轿车的位移分别为s′1、s′2，则
s′2＝v2t2－a′t，s′1＝v1t2
恰好不追尾时位移关系为
s′2＝s′1＋L
得a′＝2 m/s2
即轿车至少以大小为2 m/s2的加速度做匀减速运动，才能避免与客车追尾．
答案：(1)4 m/s2　(2)2 m/s2
1．[速度大追速度小者]甲、乙两车在一条平直的公路上同向行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图(a)所示，以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点O，以甲车速度方向为正方向建立x轴，乙车的位置坐标随时间变化的图像如图(b)所示．下列说法正确的是(　　)
A．甲车做匀变速直线运动的加速度大小为2 m/s2
B．乙车做匀速直线运动，速度大小为5 m/s
C．t＝6 s时甲车追上乙车
D．甲、乙两车相距最近为2 m
解析：v t图像的斜率的绝对值表示加速度大小，所以甲车做匀变速直线运动的加速度大小为a＝ m/s2＝1 m/s2，选项A错误；x t图像的斜率的绝对值表示速度大小，所以乙车做匀速直线运动，速度大小为v＝ m/s＝4 m/s，选项B错误；由于甲车做匀减速直线运动，乙车做匀速直线运动，且甲在后面追乙，所以当两车速度相等时距离最小，若此时甲车未追上乙车，则之后也不可能追上乙车，设经过时间t甲、乙速度相等，则有v＝v0－at，解得t＝6 s，此时两车之间的距离为Δx＝vt＋x0－＝2 m，故C错误，D正确．
答案：D
2．[速度小追速度大者]A、B两个物体(可以看作质点)沿x轴正方向运动，其中A物体从坐标原点由静止开始运动，它的位置坐标随时间的变化关系如图1所示(曲线为抛物线，原点为抛物线的顶点)，B物体从x0＝12 m处开始运动，速度—时间图像如图2所示．下列说法中正确是(　　)
A．B的加速度大于A的加速度
B．相遇前A、B距离最大时，A的速度为8 m/s
C．在t＝6 s时，A、B相遇
D．A、B可能相遇两次
解析：设A的加速度为a1，由题图1可知，A做初速度为零的匀加速直线运动，由x＝a1t2，解得a1＝3 m/s2，设B的加速度为a2，由题图2可知，v＝v0＋a2t，v0＝4 m/s，解得a2＝1 m/s2，所以a1>a2，A错误；当A、B速度相等时，A、B距离最大，即vA＝a1t1＝v0＋a2t1，解得t1＝2 s，vA＝6 m/s，B错误；当A、B相遇时，位移关系为xA＝xB＋x0，xA＝a1t，xB＝v0t2＋a2t，联立解得t2＝6 s，C正确；A追上B时A的速度大于B的速度，且A的加速度大于B的加速度，所以A、B只能相遇一次，D错误．
答案：C
题型Ⅰ.通过图像分析物体的运动规律
解决这类问题的关键是通过分析图像，判断物体的速度、位移和加速度如何变化，由此构建物体运动的情境．
典例1　(2024·吉林调研)关于甲、乙、丙、丁图中做直线运动的四个物体的运动图像，说法正确的是(　　)
A．甲图中x1～2x1过程物体的加速度大小为
B．乙图中所描述的物体在0～t1时间段通过的位移为x1
C．丙图中所描述的物体在t1～t2时间段速度的变化量为a0(t2－t1)
D．若丁图中所描述的物体正在做匀加速直线运动，则该物体的加速度为2 m/s2
解析：由v2－v＝2ax得v2＝2ax＋v，可知题图甲中物体在x1～2x1段的斜率为k＝2a，则题图甲中x1～2x1段物体的加速度大小为a＝＝＝，A错误；题图乙中所描述的物体在0～t1时间段通过的位移为x1－x0，B错误；a t图线与t轴所围的面积表示速度的变化量大小，题图丙所描述的物体在t1～t2时间段速度变化量为a0(t2－t1)，C正确；由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，故 t图像的斜率k＝，则题图丁所描述的物体的加速度为a＝2k＝2× m/s2＝4 m/s2，D错误．
答案：C
题型Ⅱ.根据题目情境选择运动图像
解决这类问题时，首先要将题目给出的情境分析透彻，然后根据情境分析图像中物理量之间的关系，或者直接将图像与题目所描述的情境相对照，看是否吻合．
典例2　(2021·广东卷)(多选)赛龙舟是端午节的传统活动．下列v t和s t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(　　)
图像的交点即代表两龙舟船头并齐，故D正确，C错误．
答案：BD
题型Ⅲ.图像间的转换
图像转换问题的三个关键点：
(1)注意合理划分运动阶段，分阶段进行图像转换．
(2)注意相邻运动阶段的衔接，尤其是运动参量的衔接．
(3)注意图像转换前后核心物理量间的定量关系，这是图像转换的依据．
典例3　一质点的位移—时间图像如图所示，能正确表示该质点的速度v与时间t关系的图像是下列图中的(　　)
解析：质点在开始一段时间内的x t图像是一条直线，其斜率不变且为负值，表示质点做匀速直线运动，速度方向与规定的正方向相反；在第二段时间内，质点处于静止状态，速度为零；在第三段时间内，图线的斜率不变且为正值，即速度不变且为正值；在第四段时间内，质点静止在出发点．综上可知，选项A正确．
答案：A
题型Ⅳ.应用图像巧解物理问题
根据题目的条件正确画出物理图像，由于图像能从整体上把物理过程的动态特征展现得更清楚，当用其他方法较难解决时，常能从图像上找到灵感，另辟蹊径．
典例4　如图所示，甲、乙两车同时由静止从A点出发，沿直线AC运动．甲以加速度a3做初速度为零的匀加速运动，到达C点时的速度为v.乙以加速度a1做初速度为零的匀加速运动，到达B点后做加速度为a2的匀加速运动，到达C点时的速度亦为v.若a1≠a2≠a3，则(　　)
A．甲、乙不可能同时由A到达C
B．甲一定先由A到达C
C．乙一定先由A到达C
D．若a1>a3，则甲一定先由A到达C
解析：如图所示，根据v t图线得，若a1>a3，如图1所示，因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则t乙a1，如图2所示，因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则t乙>t甲．通过图线作不出位移相等、速度相等，时间又相等的图线，所以甲、乙不可能同时到达．故A选项正确，B、C、D选项错误．(共44张PPT)
专题一　运动图像与追及、相遇问题
第一章　运动的描述　匀变速直线运动的研究
答案
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答案
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答案
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答案
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答案
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答案
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答案
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答案
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答案
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