资源简介

(共32张PPT)
必备知识·逐点夯实
第五节　椭圆第1课时　椭圆的定义及标准方程
第九章　直线与圆、圆锥曲线
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.掌握椭圆的定义及标准方程.
2.会利用待定系数法确定椭圆的标准方程.
【核心素养】
数学运算、直观想象、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 椭圆是历年高考的重点内容,其中求椭圆的标准方程时常出现在解
答题的第一问中.
预测 预计2025年高考求椭圆的标准方程、直线与椭圆的交汇问题仍会
出题,一般以解答题出现,求椭圆的离心率,考查比较灵活,一般以选择
题、填空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的______,两焦点间的距离叫做椭圆的______.
微点拨
(1)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.
(2)当|PF1|+|PF2|<|F1F2|时,动点P不存在,无轨迹.
常数
焦点
焦距
2.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上:+=1(a>b>0).
(2)焦点在y轴上:+=1(a>b>0).
微思考 如何判断点P(x0,y0)与椭圆+=1的位置关系
提示:当+<1时,点P在椭圆内;当+=1时,点P在椭圆上;
当+>1时,点P在椭圆外.
微点拨
(1)椭圆的标准方程中
焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大;
焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大.
(2) a,b,c的关系:a2=b2+c2
常用结论
椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,
设∠F1PF2=θ.
(1)当P为短轴端点时,θ最大,最大.
(2)=|PF1||PF2|sin θ=b2tan =c|y0|.
(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.
(4)|PF1|·|PF2|≤()2=a2.
(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a+c).
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.
(　 　)
提示:(1)因为2a=|F1F2|=8,动点的轨迹是线段F1F2,不是椭圆;
×
(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.
(　 　)
提示:(2)由于2a<|F1F2|,动点不存在,因此轨迹不存在;
(3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的
点的轨迹是椭圆.(　 　)
提示:(3)由于2a=|MF1|+|MF2|>|F1F2|,符合椭圆的定义;
(4)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是一条直线.(　 　)
提示:(4)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
×
√
√
2.(选择性必修第一册P109练习T3变条件)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则△ABF2的周长为(　　)
A.10　 B.15　 C.20　 D.25
【解析】选C.由题意椭圆的长轴长为2a=2=10,
由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10,
|BF1|+|BF2|=2a=10,
所以△ABF2的周长是20.
3.(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|=(　　)
A.1　 B. 2　 C. 4　 D. 5
【解析】选B.方法一:因为·=0,所以∠F1PF2=90°,
从而=b2tan 45°=1=×|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=2.
方法二:因为·=0,所以∠F1PF2=90°,由椭圆方程可知,c2=5-1=4 c=2,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=42=16,
又|PF1|+|PF2|=2a=2,平方得:|PF1|2++2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2.
4.(忽略隐含条件)若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是____________.
【解析】由已知得解得3(3,4)∪(4,5)
核心考点·分类突破
考点一 椭圆的定义及应用
教考衔接 类题串串联
题号 类题说明
(1) 源自教材第108页例2.此题可知一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆
(2) 源自教材第108页例3.此题给出椭圆的另一种定义方式
(3) 源自教材第113页例6.此题给出椭圆的另一种定义方式
[例1](1)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在
圆上运动时,则线段PD的中点M的轨迹方程为______________.
【解析】(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
则点D的坐标为(x0,0),由点M是线段PD的中点,得x=x0,y=.
因为点P (x0,y0)在圆x2+y2=4上,
所以+=4　①
把x0=x,y0=2y代入方程①,得
x2+4y2=4,即+y2=1.
+y2=1
(2)如图,设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点 M,且它们的斜率
之积是-,则点M的轨迹方程为______________.
【解析】(2)设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0),
所以直线AM的斜率为kAM=(x≠-5),
同理,直线BM的斜率为kBM=(x≠5),
由已知,有·=-(x≠±5),
化简,得点M的轨迹方程为+=1(x≠±5).
+=1(x≠±5)
(3)动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比是常数,则动点M
的轨迹方程为___________.
【解析】(3)设d是点M到直线l:x=的距离,
根据题意,动点M的轨迹就是集合P=.
由此得,=.
将上式两边平方,并化简,得9x2+25y2=225,即+=1.
+=1
解题技法
(1)在圆x2+y2=a2(a>0)上取一点 P(不取x轴上的点),过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD上的点M满足=(a>b>0) ,则动点M的轨迹是椭圆(除去左、右两个端点).
(2)设A,B两点的坐标分别为(-a,0),(a,0)(a>0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-1(a>c>0) ,则动点M的轨迹是椭圆(除去左、右两个端点).
(3)动点M(x,y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x=(a>c)的距离的比是常数,则动点M的轨迹是椭圆.
对点训练
1.(2024·丽江模拟)一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A.椭圆　 B.双曲线
C.抛物线　 D.双曲线的一支
【解析】选A.设动圆P的半径为r,又圆A:(x+1)2+y2=1的半径为1,
圆B:(x-1)2+y2=64的半径为8,则|PA|=r+1,|PB|=8-r,
可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,
则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.
2.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与椭圆C的一个交点为A,若|AF2|=4,则△AF1F2的面积为(　　)
A.2　 B.　 C.4　 D.
【解析】选D.椭圆C:+=1中,|F1F2|=2=4,
由|AF2|=4及椭圆定义得|AF1|=2,
因此△AF1F2为等腰三角形,底边上的高h===,
所以=|AF1|·h=.
考点二 椭圆的标准方程
考情提示
高考对椭圆方程的考查常以解答题的形式出现,有关椭圆的几何性质的求解也常以选择题和填空题的形式出现.
角度1 定义法
[例2]已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A.-=1　 B.+=1
C.-=1　 D.+=1
【解析】选D.设动圆的圆心M(x,y),半径为r,
圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切,与圆C2:(x+4)2+y2=9外切,
所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.
|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由椭圆的定义,M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a=8,c=4,所以b2=82-42=48,动圆圆心M的轨迹方程为+=1.
角度2 待定系数法
[例3]已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点(-,),(,-),则椭圆
的方程为__________.
【解析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).
由解得
所以椭圆的方程为+=1.
+=1
解题技法
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.若焦点位置不确定,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求出m,n的值即可.
对点训练
1.(2024·潍坊模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且过
点P(1,),则椭圆的标准方程为__________.
【解析】由题知:c=1,①
又椭圆经过点P(1,),所以+=1,②
又a2-b2=c2,③
联立解得:a2=4,b2=3,故椭圆的标准方程为:+=1.
+=1
2.动圆M过定点A(-3,0),且内切于定圆B:(x-3)2+y2=100,动圆圆心M的轨迹方程为
__________.
【解析】由圆B方程知其圆心为B(3,0),
半径r1=10.设圆M半径为r2,则|MA|=r2,
由题意可知|MB|=r1-r2=10-r2,即|MA|+|MB|=10,
又|AB|=6,所以|MA|+|MB|>|AB|.
所以动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点且a=5,
c=3的椭圆,所以b2=a2-c2=16.
所以动圆圆心M的轨迹方程为+=1.
+=1
【加练备选】
　　1.F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,O为坐标原点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA====,因为2a=6,
所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5,所以椭圆方程为+=1;
同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.
2.已知点P为椭圆+=1上的任意一点,O为原点,M满足=,则点M的轨迹
方程为__________.
【解析】设点M(x,y),
由=得点P(2x,2y),而点P为椭圆+=1上的任意一点,
于是得+=1,整理得:+=1,
所以点M的轨迹方程是+=1.
+=1
谢谢观赏！！2025年高考数学一轮复习-9.5.1-椭圆的定义及标准方程
【课程标准】
1.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
2.通过椭圆与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
3.了解椭圆的简单应用.
　　　　　　　第1课时　椭圆的定义、标准方程及其几何性质
【必备知识 精归纳】
1.椭圆的定义
满足下列两个条件:
(1)在同一个平面内动点P和两个定点F1,F2;
(2)|PF1|+|PF2|为定值,且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,动点P的轨迹为椭圆.
点睛(1)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.
(2)当|PF1|+|PF2|<|F1F2|时,动点P不存在,无轨迹.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
范围 x∈[-a,a], y∈[-b,b] x∈[-b,b], y∈[-a,a]
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
离心 率 e=,且e∈(0,1)
a,b,c 的关系 c2=a2-b2
点睛(1)椭圆焦点位置与x2,y2的系数有关.
(2)离心率表示椭圆的扁平程度,e越接近0,椭圆越圆;e越接近1,椭圆越扁平.
【常用结论】
1.已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为4a.
2.过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为.
3.椭圆离心率e=.
4.若P是椭圆+=1(a>b>0)上的点,F1,F2为焦点,若∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tan.
5.设M(x0,y0)是椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则
|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是离心率).
|MF1|max=a+c,|MF1|min=a-c.
【基础小题 固根基】
教材改编 结论应用 易错易混
1,2,4 3,5 6
1.(教材变式)点P为椭圆4x2+y2=16上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点,若=3,则= (　　)
A.13 B.1 C.7 D.5
【解析】选D.椭圆方程为+=1,
由椭圆定义可知,+=2a=8,
又|PF1|=3,故=5.
2.(教材变式)椭圆+=1的长半轴长a= (　　)
A.11 B.7 C.5 D.2
【解析】选C.由椭圆标准方程知,长半轴长a=5.
3.(结论1)椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆C于A,B两点,则△F1AB的周长为 (　　)
A.12 B.16 C.20 D.24
【解析】选C.△F1AB的周长为|F1A|+|F1B|+|AB|=|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=2a+2a=4a.
因为在椭圆+=1中,a2=25,即a=5,
所以△F1AB的周长为4a=20.
4.(教材提升)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,+=10,且离心率为,则椭圆C的标准方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选B.根据椭圆定义可得
+=2a=10,所以a=5,
由离心率e==,所以c=,
所以b2=a2-c2=25-5=20,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
5.(结论3)已知椭圆C:+y2=λ(λ>0),则该椭圆的离心率e= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.e====.
6.(忽略隐含条件)若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是　　　　　.
【解析】由已知得
解得3答案:(3,4)∪(4,5)
题型一 椭圆定义的应用
[典例1](1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12 C.9 D.6
【解析】选C.设M(x,y),则|MF1|·|MF2|==9-x2≤9,当x=0时取等号,故所求最大值为9.
(2)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,若|MF1|=4,则∠F1MF2= (　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选C.由题意,椭圆方程+=1,
可得a=3,b=,c==,
所以焦点F1(-,0),F2(,0),
又由椭圆的定义,可得+=2a=6,
因为|MF1|=4,所以=2,
在△F1MF2中,由余弦定理可得=
+-2cos∠F1MF2,
所以=42+22-2×4×2cos∠F1MF2,
解得cos∠F1MF2=-,
又由∠F1MF2∈(0,π),所以∠F1MF2=120°.
【方法提炼】
　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【对点训练】
1.已知F1(0,-),F2(0,)分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,椭圆C上的一点P满足·=0,且sin∠PF2F1=2sin∠PF1F2,则a的值为 (　　)
A.3 B.2 C.1 D.
【解析】选A.由·=0,得PF1⊥PF2,
由正弦定理得=.
又sin∠PF2F1=2sin∠PF1F2,则PF1=2PF2,
所以椭圆C的离心率
e=====.
又c=,所以a=3.
2.(2023·滨州模拟) 短轴长为2,离心率e=的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为　　　　.
【解析】因为短轴长为2,离心率e=,
所以b=,e==,
又a2=b2+c2,解得a=3,
所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=12.
答案:12
【加练备选】
　　(多选题)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F,E,直线x=m(-1A.椭圆C的离心率为
B.存在m,使△FAB为直角三角形
C.存在m,使△FAB的周长最大
D.当m=0时,四边形FBEA的面积最大
【解析】选BD.如图,
　对于A,由椭圆方程可得,a=2,b=,则c=1,椭圆C的离心率为e=,故错误;
对于B,当m=0时,可以得出∠AFE=,
当m=1时,得tan∠AFE=<1=tan,
根据椭圆的对称性可知存在m,
使△FAB为直角三角形,故正确;
对于C,由椭圆的定义得,
△FAB的周长为|AB|+|AF|+|BF|
=4a+|AB|-|AE|-|BE|,
因为|AE|+|BE|≥|AB|,
所以|AB|-|AE|-|BE|≤0,
当AB过点E时取等号,
所以|AB|+|AF|+|BF|
=4a+|AB|-|AE|-|BE|≤4a,
即直线x=m过椭圆的右焦点E时,
△FAB的周长最大,
此时直线AB的方程为x=m=1,
但是-1使△FAB的周长最大,故错误;
对于D,|FE|为定值2,
根据椭圆的对称性可知,
当m=0时,|AB|最大,
则四边形FBEA的面积最大,故正确.
题型二　椭圆的标准方程
角度1　定义法求椭圆的标准方程
[典例2](1)在△ABC中,A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是 (　　)
A.+=1(y≠0) B.+=1(y≠0)
C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
【解析】选A.由|AC|+|BC|=18-8=10>8知,顶点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(A,B,C不共线).设其方程为+=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b=3.由A,B,C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是+=1(y≠0).
(2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是 (　　)
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
【解析】选D.设动圆的圆心M(x,y),半径为r.因为圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切,与C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.
|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由椭圆的定义,点M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a=8,c=4,所以b2=82-42=48,
所以动圆的圆心M的轨迹方程为+=1.
角度2　待定系数法求椭圆的方程
[典例3]过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为　　　　.
【解析】方法一:(待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(k<9),将点(,-)的坐标代入可得+=1,
解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为+=1.
方法二:(定义法)椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.
由椭圆的定义知,2a=+,解得a=2.
由c2=a2-b2可得b2=4.
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
答案: +=1
【一题多变】
　本例改为:已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点(-,),(,-),则椭圆的方程为　　　　　　　.
【解析】设椭圆的方程为
mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).
由解得
所以椭圆的方程为+=1.
答案:+=1.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
根据条件求椭圆方程的主要方法
　(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.若焦点位置不确定,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求出m,n的值即可.
(3)椭圆系方程:①与+=1共焦点的椭圆系为+=1(k②与+=1有共同的离心率的椭圆系为+=λ或+=λ(λ>0).
【对点训练】
1.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点.若△AF2B是边长为4的等边三角形,则椭圆C的方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选B.如图所示,因为△ABF2是边长为4的等边三角形,
所以|AF2|=4,|AF1|=|AB|=2,
所以2a=|AF1|+|AF2|=6,所以a=3.
又因为|F1F2|=2c==2,
所以c=,则b2=a2-c2=6,
故椭圆C的方程为+=1.
2.(多选题)点F1,F2为椭圆C的两个焦点,若椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,则椭圆C的方程可以是 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选AC.设椭圆方程为+=1,
设椭圆上顶点为B,椭圆C上存在点P,
使得∠F1PF2=90°,则需∠F1BF2≥90°,
所以+≤,
即a2+a2≤4c2,因为c2=a2-b2,
所以2a2≤4a2-4b2,
则a2≥2b2,所以选项AC满足.
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),其关于直线y=bx的对称点Q在椭圆上,则离心率e=　　　　,S△F O Q=　　　　.
【解析】设点Q(x,y),则由点Q与椭圆的右焦点
F(1,0)关于直线y=bx对称得
解得代入椭圆C的方程得
+=1,
结合a2=b2+1,解得
则椭圆的离心率e==,
S△F O Q=|OF|·||=×1×=.
答案:　
4.已知A,B是圆C:+y2=8上一动点,线段AB的垂直平分线交BC于P,则动点P的轨迹方程为　　　　　　.
【解析】如图所示,圆C:+y2=8的圆心坐标为C(1,0),半径r==2,
因为P是线段AB的垂直平分线上的点,
所以=,
则+==2>2,
根据椭圆的定义可知,
点P的轨迹为以A,C为焦点的椭圆,
其中a=,c=1,则有b==1,
故点P的轨迹方程为+y2=1.
答案:+y2=1
【加练备选】
　　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则椭圆C的方程为 (　　)
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选A.若△AF1B的周长为4,
由椭圆的定义可知,4a=4,所以a=.
因为e==,所以c=1,
所以b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.
题型三 椭圆的几何性质
角度1　椭圆的离心率
[典例4](1)2022年10月7日21时10分,中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭,采用“一箭双星”方式,成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统S5/S6试验卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功,其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,长轴长为2天文单位,其左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,点P在椭圆上且满足|OP|=|OF1|=|OF2|=c,直线PF2与椭圆交于另一个点Q,若cos∠F1QF2=,则地球同步转移轨道的离心率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.因为|OP|=|OF1|=|OF2|=c,
所以PF1⊥PF2,
因为cos∠F1QF2=,设|PQ|=4m,|F1Q|=5m,
则|PF1|=3m,又|PQ|+|F1Q|+|PF1|=4a,
即12m=4,即3m=,
则|PF1|=,|PF2|=2-=,
则|F1F2|=2,即c=1,即e==.
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 (　　)
A.[,1] B.[,1]
C.(0,] D.(0,]
【解析】选C.B点坐标为(0,b),
设P(x0,y0),因为+=1,a2=b2+c2,
所以|PB|2=+(y0-b)2=a2(1-)+(y0-b)2=-(y0+)2++a2+b2,
因为-b≤y0≤b,所以当-≤-b,
即b2≥c2时,|PB=4b2,
即|PB|max=2b,
符合题意,由b2≥c2可得a2≥2c2,
即0-b,即b2|PB=+a2+b2≤4b2,化简得|c2-b2|≤0,显然不成立.
角度2　与椭圆有关的最值(范围)问题
[典例5](1)(2023·广州模拟)已知P为椭圆+=1(a>b>0)上一动点,F1,F2分别为该椭圆的左、右焦点,B为短轴一端点,如果|PB|长度的最大值为2b,则使△PF1F2为直角三角形的点P共有 (　　)
A.8个 B.4个或6个
C.6个或8个 D.4个或8个
【解析】选B.当F1为直角顶点时,根据椭圆的对称性,可得满足的点P有2个;
当F2为直角顶点时,根据椭圆的对称性,可得满足的点P有2个;
因为B为短轴一端点,令B(0,b),|PB|长度的最大值为2b,
椭圆+=1(a>b>0),所以说明椭圆与圆x2+(y-b)2=4b2有且仅有下顶点这唯一交点,
设P(x0,y0),所以|PB|≤2b ,即|PB|2≤4b2,
所以+≤4b2 ,
因为+=1,
所以=a2（1-）代入+≤4b2中得,（1-）-2by0+a2-3b2≤0,
因为-b≤y0≤b,所以y0+b≥0,
所以(y0+b)≤0,
所以（）y0+≤0,
因为<0,将y0=-b代入（）y0+≤0得,（）(-b)+≤0,
所以≤0,所以a2≤2b2,
所以b2+c2≤2b2即c≤b ,
当c=b 时,P 为下顶点,此时∠F1PF2 最大为直角,根据对称满足的点P有2个,
当c所以使△PF1F2为直角三角形的点P共有4个或6个.
(2)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(,1)在椭圆内部,则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　.
【解析】由题意可知,a=2,
所以椭圆的标准方程为+=1,
因为点P(,1)在椭圆内部,所以+<1,
可得b2>2,又b2所以e2=1-=1-∈,
所以椭圆C的离心率的取值范围是.
答案:
【方法提炼】
1.求解椭圆离心率或离心率范围的常用方法
(1)根据椭圆方程直接求解出a,c的值,从而求解出离心率;
(2)根据已知条件构造关于a,c的齐次方程,求解出的值,从而求解出离心率;
(3)根据椭圆和几何图形的几何性质构建关于e的等式或不等式,从而求解出离心率或离心率的范围.
2.求解与椭圆有关的范围、最值问题的常用思路
(1)充分利用椭圆的几何性质,结合图形进行分析.
(2)注意利用椭圆的范围如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0(3)列出所求目标的解析式,构造函数利用单调性,或者利用基本不等式求最值或范围.
【对点训练】
1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为M,倾斜角为的直线过点,直线上存在一点N满足=,则椭圆离心率的最小值为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.由=可得
·=0,M(0,b),F1(-c,0).
设N,则+=+(c,b)=,
=-,m-b,所以由·=0,
可得·=0,整理得+(m+b)(m-b)=0,
即-2a2-b2=-m2≤0,
设椭圆的离心率为e,则e4-3e2+1≤0,
解得≤e≤.
又因为0所以椭圆的离心率的最小值为.
2.(多选题)(2023·海口模拟)已知a,b,c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长,若关于x的方程ax2+2bx+c=0有实根,则椭圆E的离心率e可能是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选AB.由题意有Δ=4b2-4ac≥0,
由b2=a2-c2,可得a2-c2-ac≥0,
故e2+e-1≤0,解得≤e≤,
而03.(2023·汕尾模拟)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右两个焦点,若椭圆C上存在四个不同的点P,使得△PF1F2的面积为,则正实数m的取值范围为　　　　　.
【解析】当点P在椭圆C上运动时,0<≤×2c×b,
故只需×2c×b>,即×2×>,
m2-6m+5=(m-1)(m-5)<0,解得:1答案:(1,5)
【加练备选】
　　(多选题)(2022·盐城模拟)若椭圆C:+=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,则下列b的值,能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有 (　　)
A.b= B.b=
C.b=2 D.b=
【解析】选ABC.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,因为圆x2+y2=c2与椭圆C有公共点,所以c2≥b2,即9-b2≥b2,所以b2≤,
即04.2022年12月4日20时09分,神舟十四号返回舱成功着陆,返回舱是航天员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图,在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则下列说法正确的有 　　　　.(填序号)
①椭圆的长轴长为4;
②线段AB长度的取值范围是[4,2+2];
③△ABF面积的最小值是4;
④△AFG的周长为4+4.
【解析】由题知,椭圆中的几何量b=c=2,
所以a==2,
则2a=4,故①正确;
因为|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,
由椭圆性质可知2≤|OA|≤2,
所以4≤|AB|≤2+2,故②正确;
记∠AOF=θ,则
S△ABF=S△AOF+S△OBF=OA·OFsin θ+OB·OFsin(π-θ)=OAsin θ+2sin θ=(OA+2)sin θ,
取θ=,则S△ABF=1+OA≤1+×2<4,故③错误;
由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=4,
所以C△AFG=|FG|+4=4+4,故④正确.
答案:①②④
【思维导图·构网络】

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