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江西省稳派上进联考2023-2024学年高二下学期7月期末调研测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·江西期末）数列，，，，的一个通项公式为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意知，数列可改写为，
数列的奇数项为正，偶数项为负，
分母为，分子为，
所以通项公式为.
故答案为：B
【分析】由观察法直接得出结果.
2．（2024高二下·江西期末）已知集合，，则的真子集个数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】子集与真子集；并集及其运算
【解析】【解答】解：，
则，
所以的真子集个数为.
故答案为：A.
【分析】由已知根据交集的定义求得集合元素个数，利用真子集的定义即可得解.
3．（2024高二下·江西期末）某物体走过的路程单位：与时间单位：的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】解：由已知可得：，
当时，，
利用导数的几何意义可知瞬时速度为，
故答案为：A.
【分析】利用导数的意义求导即可得出结果.
4．（2024高二下·江西期末）已知在等差数列中，，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意知，，所以，
又，所以公差为，
所以.
故答案为：D
【分析】根据已知条件得到等差数列的公差，计算即可求解.
5．（2024高二下·江西期末）设为函数的极值点，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由已知，则，
设，则，
因为是函数的极值点，
所以是方程的零点，
又，，
所以，
由零点存在性定理可知：故.
故答案为：B
【分析】根据极值点的特征结合零点的存在性定理计算即可求解.
6．（2024高二下·江西期末）已知实数，满足，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由已知得，
令，
则，
因为都是增函数，
所以函数是增函数，
又因为
所以，所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件构造函数，再判断函数的单调性即可得解.
7．（2024高二下·江西期末）若首项为的数列满足，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】解：由，得：，
同理：，，，，，
因为，所以数列的周期为，
所以，则，
故答案为：C.
【分析】通过计算数列前几项可以判断周期，从而利用周期性来得到结果.
8．（2024高二下·江西期末）在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由已知设，则，
令，则，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
又，所以此时最大，
此时，
所以的最大值为.
故答案为：B.
【分析】利用角的正切构造函数，借助导数求出函数取得最大值时点的坐标，进而得到结果.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·江西期末）“，”成立的一个充分条件是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为
所以恒成立，
因为，当取等号，所以，
易知，所以和是的充分条件.
又都不能推出，所以CD错误，
故答案为：AB.
【分析】分离参数求得范围，再结合充分条件判断即可.
10．（2024高二下·江西期末）已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对A，因为为定义在上的奇函数，所以，
为定义在上的偶函数，所以
所以，故A正确；
所以，故B正确；
所以，即，故C正确；
所以，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用奇偶性的定义直接判断即可.
11．（2024高二下·江西期末）设数列满足，且当时则(　　)
A． B．，
C．， D．，
【答案】A,B,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：已知 ，
对于A选项：当，为偶数，代入上式可得
当，为奇数，故A正确；
对于B选项：当为偶数时，则为奇数，可得且，
则，即，所以，
即，
因为，所以，
又因为，所以，所以B正确；
对于C选项：由，
，猜想，
当时，成立，假设，
由，
则，即时，也成立，
所以，故不存在，所以C错误；
对于D选项：由成立，假设，
则
由，知，
所以，
即时，也成立，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意，逐项计算可判定A正确；求得的表达式，可判定B正确；利用数学归纳法，可判定C错误；结合数学归纳法，可判定D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·江西期末）已知命题，，则为　 　．
【答案】，
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：特称命题的否定为：.
故答案为：.
【分析】根据特称命题的否定直接得出结果.
13．（2024高二下·江西期末）方程的唯一正根为　 　．
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
设，则，得，
令，则函数在R上单调递减，
由，又因为，所以，
即，解得.
即方程的唯一正根为.
故答案为：
【分析】利用换元法构造函数，结合单调性判断函数值，即可求解.
14．（2024高二下·江西期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分如图所示阴影部分，记为一次裁剪操作重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为　 　．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设的半径为，的半径为，
则有，，
根据题意，由等比数列的通项公式可知，
的面积为，
又第次裁剪操作的正方形边长为，
故第次裁剪操作裁剪掉的面积为
，
所以第次裁剪操作后，裁剪掉的面积之和为
，
所以第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为.
故答案为：.
【分析】设出圆，的半径，分析正方形边长与半径的关系，进而可得的面积，再分析每次操作减去的面积，再求和即可.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·江西期末）已知函数．
（1）判断的奇偶性，并说明理由
（2）求时，的值域．
【答案】（1）解：由题意可知的定义域为，关于原点对称，
且，即，可知为奇函数．
（2）解：因为，令，则函数，
易知在上单调递增，
所以的值域为
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用奇偶函数的定义判断即可；
（2）根据函数的性质即可判断函数在时的单调性，根据区间的左右端点代值进而求出值域.
16．（2024高二下·江西期末）已知函数记为的导函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）解：当时，，，
，
则，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）解：由，得，
令，则，，
若，则，从而，在上单调递增，
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程；
（2）构造函数分类讨论对应的单调性即可.
17．（2024高二下·江西期末）已知数列的前项和满足．
（1）求的通项公式
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为，
当时，，
当时，，
而不满足上式，所以
（2）解：设，可知
当时，
当时，，
．
两式相减得
，
所以，且满足该式，所以．
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据与的关系即可得到通项公式；
（2）分类讨论利用错位相减法计算即可求解.
18．（2024高二下·江西期末）已知函数，，证明：
（1）
（2）
（3），
【答案】（1）解：由题意可得，
所以函数在上单调递增，
所以，即，故不等式得证．
（2）解：令，则，
所以在上单调递增，
所以，
故当时，，所以．
由中不等式，
用替换得，
所以当时，，
所以．
（3）解：令，其中，，，，，，
则，
所以，
，
，
，
，
以上个式子相加得
，
即时，
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）利用导数判断单调性得到函数的最小值即可得证；
（2）根据第一问的结论构造函数，利用导数证明，即可得证；
（3）根据第二问的结论，再结合对数的运算性质即可得证.
19．（2024高二下·江西期末）若数列满足，，且，则称数列为“正余弦错位数列”已知数列为“正余弦错位数列”．
（1）若，求，，
（2）证明：数列为等差数列．
【答案】（1）解：当时，由，知．
又由，知，所以，
又，符合题意．
同理，由，，
得或．
又或，所以．
由，，得，
又，符合题意．
（2）证明：由，得，
所以或，
即或．
因为，
所以，，
所以，，
所以或或．
又，所以，
，
所以，
所以数列是公差为的等差数列．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列与三角函数的综合；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据定义可知 解得，同理可求 ；
（2）根据已知条件结合诱导公式可得或，结合条件与等差数列定义证明结论.
1 / 1江西省稳派上进联考2023-2024学年高二下学期7月期末调研测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·江西期末）数列，，，，的一个通项公式为(　　)
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·江西期末）已知集合，，则的真子集个数为(　　)
A． B． C． D．
3．（2024高二下·江西期末）某物体走过的路程单位：与时间单位：的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为(　　)
A． B． C． D．
4．（2024高二下·江西期末）已知在等差数列中，，，则(　　)
A． B． C． D．
5．（2024高二下·江西期末）设为函数的极值点，则(　　)
A． B． C． D．
6．（2024高二下·江西期末）已知实数，满足，则(　　)
A． B． C． D．
7．（2024高二下·江西期末）若首项为的数列满足，则(　　)
A． B． C． D．
8．（2024高二下·江西期末）在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为(　　)
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·江西期末）“，”成立的一个充分条件是(　　)
A． B． C． D．
10．（2024高二下·江西期末）已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则(　　)
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·江西期末）设数列满足，且当时则(　　)
A． B．，
C．， D．，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·江西期末）已知命题，，则为　 　．
13．（2024高二下·江西期末）方程的唯一正根为　 　．
14．（2024高二下·江西期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分如图所示阴影部分，记为一次裁剪操作重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·江西期末）已知函数．
（1）判断的奇偶性，并说明理由
（2）求时，的值域．
16．（2024高二下·江西期末）已知函数记为的导函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程
（2）讨论的单调性．
17．（2024高二下·江西期末）已知数列的前项和满足．
（1）求的通项公式
（2）求数列的前项和．
18．（2024高二下·江西期末）已知函数，，证明：
（1）
（2）
（3），
19．（2024高二下·江西期末）若数列满足，，且，则称数列为“正余弦错位数列”已知数列为“正余弦错位数列”．
（1）若，求，，
（2）证明：数列为等差数列．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意知，数列可改写为，
数列的奇数项为正，偶数项为负，
分母为，分子为，
所以通项公式为.
故答案为：B
【分析】由观察法直接得出结果.
2．【答案】A
【知识点】子集与真子集；并集及其运算
【解析】【解答】解：，
则，
所以的真子集个数为.
故答案为：A.
【分析】由已知根据交集的定义求得集合元素个数，利用真子集的定义即可得解.
3．【答案】A
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】解：由已知可得：，
当时，，
利用导数的几何意义可知瞬时速度为，
故答案为：A.
【分析】利用导数的意义求导即可得出结果.
4．【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意知，，所以，
又，所以公差为，
所以.
故答案为：D
【分析】根据已知条件得到等差数列的公差，计算即可求解.
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由已知，则，
设，则，
因为是函数的极值点，
所以是方程的零点，
又，，
所以，
由零点存在性定理可知：故.
故答案为：B
【分析】根据极值点的特征结合零点的存在性定理计算即可求解.
6．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由已知得，
令，
则，
因为都是增函数，
所以函数是增函数，
又因为
所以，所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件构造函数，再判断函数的单调性即可得解.
7．【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】解：由，得：，
同理：，，，，，
因为，所以数列的周期为，
所以，则，
故答案为：C.
【分析】通过计算数列前几项可以判断周期，从而利用周期性来得到结果.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由已知设，则，
令，则，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
又，所以此时最大，
此时，
所以的最大值为.
故答案为：B.
【分析】利用角的正切构造函数，借助导数求出函数取得最大值时点的坐标，进而得到结果.
9．【答案】A,B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为
所以恒成立，
因为，当取等号，所以，
易知，所以和是的充分条件.
又都不能推出，所以CD错误，
故答案为：AB.
【分析】分离参数求得范围，再结合充分条件判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对A，因为为定义在上的奇函数，所以，
为定义在上的偶函数，所以
所以，故A正确；
所以，故B正确；
所以，即，故C正确；
所以，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用奇偶性的定义直接判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：已知 ，
对于A选项：当，为偶数，代入上式可得
当，为奇数，故A正确；
对于B选项：当为偶数时，则为奇数，可得且，
则，即，所以，
即，
因为，所以，
又因为，所以，所以B正确；
对于C选项：由，
，猜想，
当时，成立，假设，
由，
则，即时，也成立，
所以，故不存在，所以C错误；
对于D选项：由成立，假设，
则
由，知，
所以，
即时，也成立，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意，逐项计算可判定A正确；求得的表达式，可判定B正确；利用数学归纳法，可判定C错误；结合数学归纳法，可判定D正确.
12．【答案】，
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：特称命题的否定为：.
故答案为：.
【分析】根据特称命题的否定直接得出结果.
13．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
设，则，得，
令，则函数在R上单调递减，
由，又因为，所以，
即，解得.
即方程的唯一正根为.
故答案为：
【分析】利用换元法构造函数，结合单调性判断函数值，即可求解.
14．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设的半径为，的半径为，
则有，，
根据题意，由等比数列的通项公式可知，
的面积为，
又第次裁剪操作的正方形边长为，
故第次裁剪操作裁剪掉的面积为
，
所以第次裁剪操作后，裁剪掉的面积之和为
，
所以第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为.
故答案为：.
【分析】设出圆，的半径，分析正方形边长与半径的关系，进而可得的面积，再分析每次操作减去的面积，再求和即可.
15．【答案】（1）解：由题意可知的定义域为，关于原点对称，
且，即，可知为奇函数．
（2）解：因为，令，则函数，
易知在上单调递增，
所以的值域为
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用奇偶函数的定义判断即可；
（2）根据函数的性质即可判断函数在时的单调性，根据区间的左右端点代值进而求出值域.
16．【答案】（1）解：当时，，，
，
则，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）解：由，得，
令，则，，
若，则，从而，在上单调递增，
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程；
（2）构造函数分类讨论对应的单调性即可.
17．【答案】（1）解：因为，
当时，，
当时，，
而不满足上式，所以
（2）解：设，可知
当时，
当时，，
．
两式相减得
，
所以，且满足该式，所以．
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据与的关系即可得到通项公式；
（2）分类讨论利用错位相减法计算即可求解.
18．【答案】（1）解：由题意可得，
所以函数在上单调递增，
所以，即，故不等式得证．
（2）解：令，则，
所以在上单调递增，
所以，
故当时，，所以．
由中不等式，
用替换得，
所以当时，，
所以．
（3）解：令，其中，，，，，，
则，
所以，
，
，
，
，
以上个式子相加得
，
即时，
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）利用导数判断单调性得到函数的最小值即可得证；
（2）根据第一问的结论构造函数，利用导数证明，即可得证；
（3）根据第二问的结论，再结合对数的运算性质即可得证.
19．【答案】（1）解：当时，由，知．
又由，知，所以，
又，符合题意．
同理，由，，
得或．
又或，所以．
由，，得，
又，符合题意．
（2）证明：由，得，
所以或，
即或．
因为，
所以，，
所以，，
所以或或．
又，所以，
，
所以，
所以数列是公差为的等差数列．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列与三角函数的综合；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据定义可知 解得，同理可求 ；
（2）根据已知条件结合诱导公式可得或，结合条件与等差数列定义证明结论.
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