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1.2 集合间的基本关系
【人教A版2019】
·模块一 集合的子集
·模块二 集合相等与空集
·模块三 集合间关系的性质
·模块四 课后作业
1．子集的概念
定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集
记法
与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示 或
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即；
(2)对于集合A,B,C，若，且，则
2．真子集的概念
定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集
记法 记作(或)
图示
结论 (1)且，则；
(2)，且，则
【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.
(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若AB，且A≠B，则AB.
【考点1 子集、真子集的确定】
【例1.1】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023·陕西西安·模拟预测）在下列集合中，是其真子集的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.1】（2023·江西景德镇·模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【变式1.2】（23-24高一·全国·假期作业）已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
【考点2 集合的子集（真子集）的个数问题】
【例2.1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例2.2】（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合，则满足 的集合的个数为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【变式2.2】（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（ ）个．
A．16 B．15 C．14 D．13
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A B且B A，则A＝B.
2．空集的概念
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
(2)规定：空集是任何集合的子集.
3．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观.
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.
【考点1 集合相等问题】
【例1.1】（2022·辽宁·二模）已知集合，则与集合相等的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【例1.2】（23-24高二上·云南大理·期末）设集合，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③
【变式1.2】（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点2 空集的判断、性质及应用】
【例2.1】（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2.2】（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）下列四个命题：
①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；
③ ＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2.1】（23-24高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2.2】（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（ ）
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若，则；
④任何集合至少有两个子集．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点3 集合关系的Venn图表示】
【例3.1】（23-24高一上·北京·期末）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【例3.2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.1】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3.2】（2024高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　）
A． B．
C． D．
1．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.
(2)对于集合A，B，C，
①若AB，且BC，则AC；
②若AB，B=C，则AC.
(3)若AB，A≠B，则AB.
【考点1 判断集合间的关系】
【例1.1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知集合，，则可以为（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】（22-23高一上·湖南株洲·开学考试）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．A与B关系不确定
【变式1.2】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【考点2 根据集合的关系求参数】
【例2.1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
【例2.2】（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，
(1)若集合，求实数的值；
(2)若集合，求实数的取值范围.
【变式2.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
【变式2.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，.
（1）若集合，，求的值；
（2）是否存在实数，使得 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
一、单选题
1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（ ）
①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤ ；⑥.
A．1 B．2 C．3 D．5
5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．15
7．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．（2024高一上·全国·专题练习）关于下图说法正确的是（ ）
A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素
B．集合A、B、U中有相同的元素
C．集合U中有元素不在集合B中
D．集合A、B、U中的元素相同
10．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C．中有个元素 D．有个真子集
三、填空题
11．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是．
12．（2024高一上·全国·专题练习）设集合，集合，若且，则实数.
四、解答题
13．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各组中两个集合之间的关系：
(1)与是的正因数；
(2)与．
14．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合
(1)若，试判断集合与的关系；
(2)若 ，求的值组成的集合．
15．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合.
(1)写出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数;
(3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
16．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合．
(1)若，为常数，求实数m的取值范围．
(2)若，为常数，求实数m的取值范围．
(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【考点1 子集、真子集的确定】
【例1.1】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案.
【解答过程】，故A错误；
，故B错误；
因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；
是集合的真子集，故C正确.
故选：C.
【例1.2】（2023·陕西西安·模拟预测）在下列集合中，是其真子集的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据真子集定义判断已知集合与各项集合的包含关系即可.
【解答过程】是自身的子集，A错；
、与没有包含关系，B、D错；
，C对；
故选：C.
【变式1.1】（2023·江西景德镇·模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【解题思路】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可.
【解答过程】解：集合的非空子集有、、，
所以，
解得.
故选：D.
【变式1.2】（23-24高一·全国·假期作业）已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据真子集的定义一一判断即可.
【解答过程】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集，
对B，由真子集定义知，是集合A的真子集，
C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误，
故选：B.
【考点2 集合的子集（真子集）的个数问题】
【例2.1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】计算出集合的元素后可得其子集的个数.
【解答过程】，故其子集的个数为8，
故选：D.
【例2.2】（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据集合有7个真子集，由集合中包含3个元素求解.
【解答过程】解：因为集合有7个真子集，
所以集合中包含3个元素，
所以，
解得.
故选：A.
【变式2.1】（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合，则满足 的集合的个数为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【解题思路】确定集合的元素，根据A ，可判断集合等价于集合的非空子集，由此可得答案.
【解答过程】由题意得，
又A ，所以，所以集合等价于集合的非空子集，
所以集合的个数为，
故选：B.
【变式2.2】（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（ ）个．
A．16 B．15 C．14 D．13
【解题思路】
先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数.
【解答过程】根据题意，，
则集合的非空子集的个数是.
故选：B.
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A B且B A，则A＝B.
2．空集的概念
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
(2)规定：空集是任何集合的子集.
3．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观.
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.
【考点1 集合相等问题】
【例1.1】（2022·辽宁·二模）已知集合，则与集合相等的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出每个选项的集合，即可比较得出.
【解答过程】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：D.
【例1.2】（23-24高二上·云南大理·期末）设集合，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据集合即可求解.
【解答过程】由题意知，，
因为，所以，所以B正确.
故选：B.
【变式1.1】（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③
【解题思路】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案
【解答过程】对于①：集合，则，
解得，即，是一一对于，所以与集合相同.
对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同.
对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同.
对于④：，但方程无解，则，与不相同．
故选：D.
【变式1.2】（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为，
所以，解得或
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，.
故选：B.
【考点2 空集的判断、性质及应用】
【例2.1】（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可．
【解答过程】解：，，所以，A不是空集．
，，所以,B不是空集．
，，，；即C是空集．
，，，即，所以；D不是空集．
故选：C．
【例2.2】（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）下列四个命题：
①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；
③ ＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据空集的定义和性质判断即可.
【解答过程】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.
故选：A.
【变式2.1】（23-24高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.
【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系：
是的一个元素，故，①正确；
是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；
没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C.
【变式2.2】（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（ ）
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若，则；
④任何集合至少有两个子集．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解题思路】根据空集的性质判断即可.
【解答过程】①空集是任何集合的子集，所以①错；
②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；
③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错；
④空集只有自己本身一个子集，所以④错.
故选：A.
【考点3 集合关系的Venn图表示】
【例3.1】（23-24高一上·北京·期末）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由图可得，由选项即可判断.
【解答过程】解：由图可知：，
，
由选项可知：，
故选：D.
【例3.2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】化简集合，判断集合没有包含关系，即可得出答案.
【解答过程】，集合没有包含关系
故选：A.
【变式3.1】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可.
【解答过程】，又，
所以 ，选项B符合，
故选：B.
【变式3.2】（2024高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项.
【解答过程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N M，所以选B.
故选：B.
1．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.
(2)对于集合A，B，C，
①若AB，且BC，则AC；
②若AB，B=C，则AC.
(3)若AB，A≠B，则AB.
【考点1 判断集合间的关系】
【例1.1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知集合，，则可以为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据包含关系即可求解.
【解答过程】由，可知：B可以为，
故选：D.
【例1.2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出，即可得出两集合之间的关系.
【解答过程】由题意， 在中，，，
∴，∴ ，
故选：B.
【变式1.1】（22-23高一上·湖南株洲·开学考试）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．A与B关系不确定
【解题思路】将集合中的形式通分，再分析集合的包含情况即可.
【解答过程】，因为表示奇数，表示整数，故按子集的定义，必有.
故选：A.
【变式1.2】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可.
【解答过程】依题意，，，
，而，{偶数}，
因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，
所以.
故选：C.
【考点2 根据集合的关系求参数】
【例2.1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值；
（2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围；
【解答过程】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的两根为或，
利用韦达定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以时，则，即，解得或；
当时，
若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
【例2.2】（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，
(1)若集合，求实数的值；
(2)若集合，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值；
（2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可.
【解答过程】（1）易知集合，由得： 或，解得：.
（2）（1）当时满足；
（2）当时
①当即时，满足，.
②当即时，，不满足.
③当即时，满足，只能， 无解.
综上所述：或.
【变式2.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围；
（2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围．
【解答过程】（1）解：由题可知，，，
①若，则，即；
②若，则，解得：；
综合①②，得实数的取值范围是．
（2）解：已知，，，
则，解得：，
所以实数的取值范围是．
【变式2.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，.
（1）若集合，，求的值；
（2）是否存在实数，使得 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据，两个集合元素相同列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.
（2）根据是的子集，分别令和，解方程，然后根据集合元素的性质，判断出符合题意的不存在.
【解答过程】（1）由题可知所以所以.
（2）假设存在实数使得，
则或.
若，则，此时没有意义，舍去.
若，则，化简得，解得或（舍），
当时，不符合集合中元素的互异性，舍去.
故不存在实数，使得.
一、单选题
1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先化简集合，结合选项可得答案.
【解答过程】因为，所以的子集有，；
故选：D.
2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解.
【解答过程】,
所以，，，故ABD错误,C正确,
故选：C.
3．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可.
【解答过程】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误；
B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误；
C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确；
故选：C.
4．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（ ）
①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤ ；⑥.
A．1 B．2 C．3 D．5
【解题思路】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断.
【解答过程】易知，故①正确；
，故②错误；
著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误；
表示有一个元素的集合，不是空集，④错误；
空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误；
，故，故⑥正确.
故选：B.
5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可.
【解答过程】由题意，二次方程无解，故，解得.
故选：D.
6．（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．15
【解题思路】先求出集合B，再求真子集个数即可.
【解答过程】由题意得，
故集合B的真子集个数为.
故选：B.
7．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得.
【解答过程】集合，，由，得，
所以的取值范围是.
故选：A.
8．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【解题思路】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.
【解答过程】因为，
所以可以是，共8个，
故选：D.
二、多选题
9．（2024高一上·全国·专题练习）关于下图说法正确的是（ ）
A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素
B．集合A、B、U中有相同的元素
C．集合U中有元素不在集合B中
D．集合A、B、U中的元素相同
【解题思路】由图形可知集合间的包含关系，对选项中的结论进行判断.
【解答过程】由韦恩图可得，A B U，且，结合真子集的定义可知，
集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A选项正确；
集合A、B、U中有相同的元素，B选项正确；
集合U中有元素不在集合B中，C选项正确；
集合A、B、U不相等，D选项错误.
故选：ABC.
10．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C．中有个元素 D．有个真子集
【解题思路】解不等式可求得集合，由集合与元素关系、子集和真子集定义依次判断各个选项即可.
【解答过程】由得：，又，；
对于A，由知：，A正确；
对于B，，，，B正确；
对于C，由知：中有个元素，C错误；
对于D，中有个元素，有个，D错误.
故选：AB.
三、填空题
11．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是．
【解题思路】求出集合中元素个数，再利用子集个数公式求解.
【解答过程】,
集合中有个元素，
则的非空子集的个数是.
故答案为：.
12．（2024高一上·全国·专题练习）设集合，集合，若且，则实数0或或1.
【解题思路】且，关于x的方程的根只能是或，但要注意方程有两个相等根的条件是.
【解答过程】，且，
或或．
当时，
且，
解得.则；
当时，
且，
解得.则
当时，
有，
解得.则；
所以或或1.
故答案为：0或或1.
四、解答题
13．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各组中两个集合之间的关系：
(1)与是的正因数；
(2)与．
【解题思路】
（1）根据正因数的定义，结合子集的定义进行判断即可；
（2）根据集合元素属性特征进行判断即可.
【解答过程】（1）因为是的正因数，
所以是的正因数
（2）因为，
所以集合表示的整数倍数，
因为，
所以集合表示的偶数倍数，
因此.
14．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合
(1)若，试判断集合与的关系；
(2)若 ，求的值组成的集合．
【解题思路】（1）当时求出集合A与B，再判断关系；
（2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解．
【解答过程】（1）
当时，，
所以B是A的真子集．
（2）．
若，则，是真子集成立；
若，则，因为是A真子集，
或，所以或．
所以的值组成的集合．
15．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合.
(1)写出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数;
(3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
【解题思路】利用子集、真子集、非空真子集的定义计算即可.
【解答过程】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为；
（2）由题意可知，
所以其子集为：，共个，
真子集为：，共个，
非空真子集为：，共个；
（3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个，
非空真子集个数为个.
16．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合．
(1)若，为常数，求实数m的取值范围．
(2)若，为常数，求实数m的取值范围．
(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围；
（2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围；
（3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值.
【解答过程】（1）①若，满足，则，解得．
②若，满足，则解得．
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为．
（2）若，数轴表示如下：
依题意有即
此时m的取值范围是．
（3）假设存在满足题意的实数m．若，
则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m．

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