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专题三　应用牛顿运动定律解决三类常见问题
素养目标　1.知道牛顿运动定律在动力学图像中的应用．(科学思维) 2.知道整体法、隔离法在连接体问题中的应用．(科学思维) 3.知道临界法在临界、极值问题中的应用．(科学思维)
考点　动力学图像的应用
1．图像类问题的实质是力与运动的关系问题，以牛顿第二定律为纽带，理解图像的类型，图像的轴、点、线、截距、斜率、面积所表示的意义．运用图像解决问题一般包含两个角度：
(1)用给定的图像解答问题．
(2)据题意作图，用图像解答问题．
在实际的应用中要建立物理情景与函数图像的相互转换关系．
2．常见的图像
v t图像 根据图像的斜率判断加速度的大小和方向，进而根据牛顿第二定律求解合外力
F a图像 首先要根据具体的物理情景，对物体进行受力分析，然后根据牛顿第二定律推导出两个量间的函数关系式，根据函数关系式结合图像，明确图像的斜率、截距或面积的意义，从而由图像给出的信息求出未知量
F t图像 要结合物体受到的力，根据牛顿第二定律求出加速度，分析每一时间段的运动性质
a t图像 要注意加速度的正、负，正确分析每一段的运动情况，然后结合物体受力情况根据牛顿第二定律列方程
典例1　(2021·全国乙卷)(多选)水平地面上有一质量为m1的长木板，木板的左端上有一质量m2的物块，如图(a)所示．用水平向右的拉力F作用在物块上，F随时间t的变化关系如图(b)所示，其中F1、F2分别为t1、t2时刻F的大小．木板的加速度a1随时间t的变化关系如图(c)所示．已知木板与地面间的动摩擦因数为μ1，物块与木板间的动摩擦因数为μ2，假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度大小为g.则(　　)
A．F1＝μ1m1g
B．F2＝(μ2－μ1)g
C．μ2>μ1
D．在0～t2时间段物块与木板加速度相等
1．[根据物理情境选择图像]在地面将一小球竖直向上抛出，经时间t0到达最高点，然后又落回原处，若空气阻力大小恒定，则如图所示的图像能正确反映小球的速度v、加速度a、位移x、速率u随时间t变化关系的是(竖直向上为正方向)(　　)
2. [根据图像分析物体的运动情况]公共汽车进站时，刹车过程的加速度—时间图像如图所示，若它在6 s时恰好停在站台处，已知汽车质量约为5 000 kg，重力加速度取g＝10 m/s2，则汽车在(　　)
A．0到6 s内的位移约等于30 m
B．0时刻的速度约为28 km/h
C．4 s时的加速度约为0.5 m/s2
D．4 s时受到外力的合力约为2 500 N
考点　连接体问题的分析方法
1．常见连接体模型
类型 图例
接触连接 　　
轻绳连接 　　
轻杆连接
轻弹簧连接
2.整体法与隔离法的选取原则
(1)整体法的选取原则：若连接体内各物体具有相同的加速度，且不需要求物体之间的作用力，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的合外力，应用牛顿第二定律求出加速度(或其他未知量)．
(2)隔离法的选取原则：若连接体内各物体的加速度不相同，或者要求出系统内各物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解．
(3)整体法、隔离法的交替运用：若连接体内各物体具有相同的加速度，且要求出物体之间的作用力时，一般采用“先整体求加速度，后隔离求内力”的步骤．
典例2　(2024·安徽阜阳一中等联考)如甲、乙两图所示，水平光滑的桌面足够长，不计滑轮的摩擦力，质量分别为m、M的两个木块用轻质细线连接．甲图中，对右侧木块施加的拉力水平向右、大小为F，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A．甲图中，若F＝Mg，则整体的加速度为
B．甲图中，若m M，则细线的拉力为0
C．乙图中，细线的拉力为
D．乙图中，若m M，则整体的加速度大小约为g
1．[水平方向上的连接体模型](多选)如图所示，置于粗糙水平面上的物块A和B用轻质弹簧连接，在水平恒力F的作用下，A、B以相同的加速度向右运动，A、B的质量关系为mB>mA，它们与地面间的动摩擦因数相同．为使弹簧稳定时的伸长量减小，下列操作可行的是(　　)
A．仅减小水平恒力F的大小
B．仅减小A的质量
C．仅将A、B的位置互换
D．仅减小水平面的粗糙程度
2．[竖直方向的连接体模型]如图所示，轻质定滑轮与固定在天花板上的拉力传感器相连，跨过定滑轮的轻绳两端分别与质量不等的A、B两物体相连．用挡板托住物体B使A、B保持静止，此时拉力传感器的示数为10 N；撤去挡板，物体A上升、B下降，此时拉力传感器的示数为15 N．重力加速度取g＝10 m/s2，则物体B的质量为(　　)
A．0.75 kg B．1 kg
C．1.25 kg D．1.5 kg
考点　动力学临界、极值问题
1．分析临界问题的三种方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
2.“四种”典型临界条件
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力N＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛与拉紧的临界条件是T＝0.
(4)速度达到最值的临界条件：加速度变化时，速度达到最值的临界条件是加速度变为0.
典例3　(2024·湖北部分重点中学联考)如图所示，质量为m＝1.5 kg的托盘放在竖直放置的轻质弹簧上方，质量为M＝10.5 kg的物块放在托盘里处于静止状态，已知弹簧劲度系数k＝800 N/m.现对物块施加一向上的力F作用，使它向上做匀加速直线运动，已知F的最大值为168 N(取g＝10 m/s2)，求：
(1)F的最小值是多大？
(2)从开始运动，物块和托盘经多长时间分离？
1．[临界问题的分析与计算]A、B两物体质量均为m＝1 kg，静止叠放在光滑的水平地面上，A、B间的动摩擦因数为μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2.现对B施加一水平拉力F，下列说法正确的是(　　)
A．只有当F>2 N，B才会运动
B．当F＝3 N时，B的加速度大小为1 m/s2
C．当F>4 N时，A相对B滑动
D．当F＝5 N时，A的加速度大小为2.5 m/s2
2．[极值问题的分析与计算]如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑．如图乙所示，若让该小物块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g.
(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值．
答案及解析
考点　动力学图像的应用
典例1　(2021·全国乙卷)(多选)水平地面上有一质量为m1的长木板，木板的左端上有一质量m2的物块，如图(a)所示．用水平向右的拉力F作用在物块上，F随时间t的变化关系如图(b)所示，其中F1、F2分别为t1、t2时刻F的大小．木板的加速度a1随时间t的变化关系如图(c)所示．已知木板与地面间的动摩擦因数为μ1，物块与木板间的动摩擦因数为μ2，假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度大小为g.则(　　)
A．F1＝μ1m1g
B．F2＝(μ2－μ1)g
C．μ2>μ1
D．在0～t2时间段物块与木板加速度相等
解析：由题图(c)可知，t1时刻物块与木板刚要一起滑动，此时物块与木板相对静止，此时以整体为研究对象有F1＝μ1(m1＋m2)g，故A错误；由图(c)可知，t2时刻物块与木板刚要发生相对滑动，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律，有F2－μ1(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，以木板为研究对象，根据牛顿第二定律，有μ2m2g－μ1(m1＋m2)g＝m1a>0，解得F2＝(μ2－μ1)g，μ2>μ1，故B、C正确；由图(c)可知，在0～t2这段时间物块与木板相对静止，所以有相同的加速度，故D正确．故选BCD．
/高/分/技/法
解决图像综合问题的三点提醒
1．分清图像的类别：即分清横、纵坐标所代表的物理量，明确其物理意义，掌握物理图像所反映的物理过程，会分析临界点．
2．注意图线中特殊点的物理意义：图线与横纵坐标的交点、图线的转折点、两图线的交点等．
3．明确能从图像中获得的信息：把图像与具体的题意、情境结合起来，再结合斜率、特殊点、面积等的物理意义，确定从图像中提取出来的有用信息，这些信息往往是解题的突破口或关键点．
1．[根据物理情境选择图像]在地面将一小球竖直向上抛出，经时间t0到达最高点，然后又落回原处，若空气阻力大小恒定，则如图所示的图像能正确反映小球的速度v、加速度a、位移x、速率u随时间t变化关系的是(竖直向上为正方向)(　　)
解析：由牛顿第二定律得，上升过程有mg＋f＝ma1，下降过程有mg－f＝ma2，上升和下降过程加速度大小不同，则两过程v t图像的斜率不同，A错误；上升过程加速度大小a1大于下降过程加速度大小a2，且方向均竖直向下，故两过程加速度均为负值，B错误；上、下过程分别为加速度不同的匀变速运动，x t图像不是直线，C错误；上升过程加速度大小a1大于下降过程加速度大小a2，则在速率u随时间t变化的图像中，0～t0时间内图线斜率的绝对值更大，且小球落回原处时的速率小于抛出时的速率，下降过程时间大于上升过程时间，D正确．
答案：D
2. [根据图像分析物体的运动情况]公共汽车进站时，刹车过程的加速度—时间图像如图所示，若它在6 s时恰好停在站台处，已知汽车质量约为5 000 kg，重力加速度取g＝10 m/s2，则汽车在(　　)
A．0到6 s内的位移约等于30 m
B．0时刻的速度约为28 km/h
C．4 s时的加速度约为0.5 m/s2
D．4 s时受到外力的合力约为2 500 N
解析：由a t图像中图线与t轴所围的面积表示速度的变化量，及题图可知，速度的变化量大小约为Δv＝2×1 m/s＋×(1.5＋2)×2 m/s＋×3×1.5 m/s＝7.75 m/s，所以0时刻的速度约为v0＝Δv＝7.75 m/s≈28 km/h，又因为公共汽车做加速度逐渐减小的减速运动，故0～6 s内的位移满足x答案：B
考点　连接体问题的分析方法
典例2　(2024·安徽阜阳一中等联考)如甲、乙两图所示，水平光滑的桌面足够长，不计滑轮的摩擦力，质量分别为m、M的两个木块用轻质细线连接．甲图中，对右侧木块施加的拉力水平向右、大小为F，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A．甲图中，若F＝Mg，则整体的加速度为
B．甲图中，若m M，则细线的拉力为0
C．乙图中，细线的拉力为
D．乙图中，若m M，则整体的加速度大小约为g
解析：甲图，若F＝Mg，对整体根据牛顿第二定律有F＝Mg＝(m＋M)a，解得a＝，A错误；隔离质量为m的木块，根据牛顿第二定律有T＝ma＝＝，若m M，则细线的拉力T≈F，B错误；乙图，对整体根据牛顿第二定律有Mg＝(m＋M)a，解得a＝＝，若m M，则整体的加速度大小约为g，D正确；隔离质量为m的木块，根据牛顿第二定律可得细线的拉力大小为T＝ma＝，C错误．故选D．
1．[水平方向上的连接体模型](多选)如图所示，置于粗糙水平面上的物块A和B用轻质弹簧连接，在水平恒力F的作用下，A、B以相同的加速度向右运动，A、B的质量关系为mB>mA，它们与地面间的动摩擦因数相同．为使弹簧稳定时的伸长量减小，下列操作可行的是(　　)
A．仅减小水平恒力F的大小
B．仅减小A的质量
C．仅将A、B的位置互换
D．仅减小水平面的粗糙程度
解析：设弹簧的弹力大小为T，对A、B整体受力分析，由牛顿第二定律得F－μ(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a，对B受力分析有T－μmBg＝mBa，联立解得T＝，则可知T与动摩擦因数μ无关，因此仅减小水平面的粗糙程度，不影响弹簧弹力的大小，弹簧稳定时的伸长量不变，D错误；仅减小水平恒力F的大小，T减小，弹簧稳定时的伸长量减小，A正确；仅减小A的质量，T增大，弹簧稳定时的伸长量增加，B错误；仅A、B位置互换，同理可得弹力T′＝，因为mA答案：AC
2．[竖直方向的连接体模型]如图所示，轻质定滑轮与固定在天花板上的拉力传感器相连，跨过定滑轮的轻绳两端分别与质量不等的A、B两物体相连．用挡板托住物体B使A、B保持静止，此时拉力传感器的示数为10 N；撤去挡板，物体A上升、B下降，此时拉力传感器的示数为15 N．重力加速度取g＝10 m/s2，则物体B的质量为(　　)
A．0.75 kg B．1 kg
C．1.25 kg D．1.5 kg
解析：用挡板托住物体B使A、B保持静止，此时拉力传感器的示数为10 N，分析滑轮受力，由平衡条件得，绳子上的拉力为5 N．对A分析，由平衡条件得，A的重力为mAg＝5 N，质量为mA＝0.5 kg.撤去挡板后，分析滑轮受力，由平衡条件得，绳子上的拉力为T＝ N＝7.5 N，分析物体A受力，由牛顿第二定律得，A的加速度为a＝＝5 m/s2；对物体B，加速度大小与A加速度大小相同，为5 m/s2，方向向下，由牛顿第二定律得，mBg－T＝mBa，解得B的质量为mB＝1.5 kg，D正确．
答案：D
考点　动力学临界、极值问题
典例3　(2024·湖北部分重点中学联考)如图所示，质量为m＝1.5 kg的托盘放在竖直放置的轻质弹簧上方，质量为M＝10.5 kg的物块放在托盘里处于静止状态，已知弹簧劲度系数k＝800 N/m.现对物块施加一向上的力F作用，使它向上做匀加速直线运动，已知F的最大值为168 N(取g＝10 m/s2)，求：
(1)F的最小值是多大？
(2)从开始运动，物块和托盘经多长时间分离？
解析：(1)施加力F前，根据平衡条件有弹簧的弹力T＝(M＋m)g，
物块和托盘分离后，力F最大，根据牛顿第二定律有Fmax－Mg＝Ma，解得a＝6 m/s2，
刚施加力F的瞬间，力F最小，对整体根据牛顿第二定律有Fmin＋T－(M＋m)g＝(M＋m)a，解得Fmin＝72 N.
(2)开始时弹簧的压缩量为x1＝＝0.15 m，
分离时，设弹簧的压缩量为x2，分析托盘，则
有kx2－mg＝ma，解得x2＝0.03 m，
则分离时物块和托盘的位移为Δx＝x1－x2＝0.12 m，
设经时间t物块和托盘分离，由位移公式有Δx＝at2，
解得t＝0.2 s.
答案：(1)72 N　(2)0.2 s
1．[临界问题的分析与计算]A、B两物体质量均为m＝1 kg，静止叠放在光滑的水平地面上，A、B间的动摩擦因数为μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2.现对B施加一水平拉力F，下列说法正确的是(　　)
A．只有当F>2 N，B才会运动
B．当F＝3 N时，B的加速度大小为1 m/s2
C．当F>4 N时，A相对B滑动
D．当F＝5 N时，A的加速度大小为2.5 m/s2
解析：水平拉力F较小时，A、B两物体一起向右加速，因为水平地面光滑，所以只要F>0，B就会运动，A错误；A、B两物体刚好相对滑动时F＝2ma，μmg＝ma，解得F＝4 N，当F＝3 N时，A、B两物体一起向右加速，B的加速度大小为a＝，解得a＝1.5 m/s2，当F>4 N时，A相对B滑动，B错误，C正确；当F＝5 N时，A相对B滑动，A的加速度大小为μmg＝ma′，解得a′＝2 m/s2，D错误．
答案：C
2．[极值问题的分析与计算]如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑．如图乙所示，若让该小物块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g.
(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值．
解析：(1)当θ＝30°时，小物块处于平衡状态，对小物块受力分析并根据平衡条件有
mgsin θ＝μmgcos θ
解得：μ＝tan θ＝.
(2)当θ角变化时，设沿斜面向上为正方向，小物块的加速度为a，则
－mgsin θ－μmgcos θ＝ma
小物块的位移x满足：0－v＝2ax
则：x＝
＝
当θ＋＝，即θ＝时，x有最小值
将μ＝代入得，x的最小值为xmin＝.
答案：(1)　(2)θ＝60°　(共30张PPT)
专题三　应用牛顿运动定律解决三类常见问题
第三章　牛顿运动定律
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