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第3讲　圆周运动
素养目标　1.描述圆周运动的物理量以及它们之间的关系．(物理观念) 2.圆周运动的动力学特征．(物理观念) 3.离心运动、近心运动以及形成条件．(物理观念) 4.水平面上的圆周运动的分析与研究．(科学思维) 5.竖直面上的圆周运动的分析与研究．(科学思维)
一、匀速圆周运动
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．描述匀速圆周运动的物理量
项目 定义、意义 公式、单位
线速度(v) 描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量 (1)v＝＝. (2)单位：m/s
角速度(ω) 描述物体绕圆心转动快慢的物理量 (1)ω＝＝. (2)单位：rad/s
周期(T) 物体沿圆周运动一圈的时间 (1)T＝＝， 单位：s. (2)f＝，单位：Hz
向心加速度(an) (1)描述线速度方向变化快慢的物理量． (2)方向指向圆心 (1)an＝＝ω2r. (2)单位：m/s2
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．
2．大小：Fn＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝m·4π2f2r.
3．方向：始终沿半径指向圆心．
4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
三、离心现象
1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动现象．
2．受力特点
(1)当Fn＝mω2r时，物体做匀速圆周运动．
(2)当Fn＝0时，物体沿切线方向飞出．
(3)当Fn(4)当Fn>mω2r时，物体逐渐靠近圆心，做近心运动.
直 观 情 境
3.本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力．
1．思维辨析
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动．( )
(2)做匀速圆周运动的物体所受合力是保持不变的．( )
(3)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比．( )
(4)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比．( )
(5)随水平圆盘一起匀速转动的物块受重力、支持力和向心力的作用．( )
2．自行车的大齿轮A、小齿轮B、后轮C的半径之比为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，关于A、C轮缘的角速度、线速度和向心加速度的说法正确的是(　　)
A．vA∶vC＝1∶4
B．vA∶vC＝1∶16
C．ωA∶ωC＝4∶1
D．aA∶aC＝1∶4
3．现在有一种叫作“魔盘”的娱乐设施，如图所示．当“魔盘”转动很慢时，人会随着“魔盘”一起转动，当盘的速度逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越明显，当“魔盘”转动到一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上而不会滑下．则下列说法正确的有(　　)
A．人随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，其角速度是不变的
B．人随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，其合外力是不变的
C．人随“魔盘”一起做匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比
D．“魔盘”的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，这是人受沿半径向外的离心力作用的缘故
考点　圆周运动中的运动学问题
1．圆周运动各物理量间的关系
2．常见的三种传动方式及特点
传动类型 图示 结论
共轴传动 A、B两点转动的周期、角速度相同，线速度大小与其半径成正比
皮带传动 A、B两点的线速度大小相同，角速度与其半径成反比，周期与其半径成正比
齿轮传动 vA＝vB，＝＝，＝＝(n1、n2分别表示两齿轮的齿数)
典例1　(2024·浙江嘉兴二模)洗手后我们往往都有“甩水”的动作，如图所示是摄像机拍摄甩水视频后制作的频闪画面，A、B、C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置．最后3帧照片中，指尖先以肘关节M为圆心做圆周运动，到接近B的最后时刻，指尖以腕关节N为圆心做圆周运动．测得A、B之间的距离约为24 cm，相邻两帧之间的时间间隔为0.04 s，则指尖(　　)
A．在B点的速度约为3 m/s
B．在B点的角速度约为10 rad/s
C．在AB段的向心加速度约为36 m/s2
D．在BC段的向心加速度约为300 m/s2
1. [描述圆周运动物理量的计算]如图所示，A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们(　　)
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
2．[传动问题的计算](多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的．其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接如图乙所示．现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是(　　)
A．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
B．P、Q的线速度相同
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
考点　水平面内圆周运动的动力学分析
1．圆周运动实例分析
实例分析 图例 动力学方程
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 FN＝mω2r＝m＝m2r
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 FT＝mω2r＝m＝m2r
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 Ff＝mω2r＝m＝m2r
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动(火车转弯类问题受力情况相似) F2＝mg＝Fcos θ，F1＝Fsin θ＝mgtan θ＝mω2r＝m＝m2r
2.解答圆周运动的“四步曲”
典例2　(2024·北京等级考)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量．如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O点做匀速圆周运动．用力传感器测得绳上的拉力为F，用停表测得小球转过n圈所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R.下列说法正确的是(　　)
A．圆周运动轨道可处于任意平面内
B．小球的质量为
C．若误将n－1圈记作n圈，则所得质量偏大
D．若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小
1．[火车转弯问题]列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为 tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B．列车过转弯处的速度v＝，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C．列车过转弯处的速度v<时，列车轮缘会挤压外轨
D．若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度
2．[圆锥摆模型](多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)．设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则(　　)
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2∶m1
D．球A、B到P的距离之比等于m1∶m2
考点　竖直平面内圆周运动的动力学分析
1．竖直平面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳”模型；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“轻杆”模型．
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
项目 “轻绳”模型 “轻杆”模型
图示 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力特征 物体受到的弹力方向为向下或等于零 物体受到的弹力方向为向下、等于零或向上
临界特征 F弹＝0，mg＝m，即vmin＝ v＝0，即F向＝0，F弹＝mg(方向向上)
讨论分析 (1)最高点，若v>，F弹＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力F弹． (2)若v＝，则刚好能到达最高点， mg＝m，绳、轨道对球没有弹力． (3)若0时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大
典例3　(2024·广东佛山一模)(多选)如图甲所示为我国运动员在体操比赛中完成“单臂大回环”的高难度动作：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动，运动员运动到最高点时，运动员与单杠间弹力大小为F，运动员在最高点的速度大小为v，其F v2图像如图乙所示，则下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2)(　　)
A．此运动员的质量为55 kg
B．此运动员的重心到单杠的距离为0.9 m
C．在最高点速度为4 m/s时，运动员受单杆的弹力方向向上
D．在完成“单臂大回环”的过程中，他的单臂至少要承受的力为2 750 N
1．[竖直平面内“轻绳”模型的应用]在游乐园乘坐如图所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动．下列说法正确的是(　　)
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
2．[竖直平面内“轻杆”模型的应用]如图所示，质量为m的小球在竖直固定放置的光滑圆形管道内做完整的圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道的外径为R(管道内径远小于R)，不计小球大小．下列说法正确的是(　　)
A．小球通过管道最高点的最小速度为
B．小球通过管道最低点的最小速度为
C．小球在过圆心的水平线ab以下运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在过圆心的水平线ab以上运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
答案及解析
1．思维辨析
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动．(×)
(2)做匀速圆周运动的物体所受合力是保持不变的．(×)
(3)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比．(×)
(4)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比．(√)
(5)随水平圆盘一起匀速转动的物块受重力、支持力和向心力的作用．(×)
2．自行车的大齿轮A、小齿轮B、后轮C的半径之比为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，关于A、C轮缘的角速度、线速度和向心加速度的说法正确的是(　　)
A．vA∶vC＝1∶4
B．vA∶vC＝1∶16
C．ωA∶ωC＝4∶1
D．aA∶aC＝1∶4
解析：小齿轮和后轮共轴，角速度相等，根据v＝ωr可知，线速度之比等于半径之比，即vB∶vC＝1∶16，大齿轮与小齿轮线速度大小相等，即vA∶vB＝1∶1，所以vA∶vC＝1∶16，A错误，B正确；大齿轮和小齿轮为链条传动，线速度大小相等，根据v＝ωr可知，大齿轮和小齿轮的角速度大小之比ωA∶ωB＝1∶4，小齿轮和后轮为共轴传动，角速度相等，即ωB∶ωC＝1∶1，所以ωA∶ωC＝1∶4，C错误；根据a＝ωv可知，向心加速度大小之比为1∶64，D错误．
答案：B
3．现在有一种叫作“魔盘”的娱乐设施，如图所示．当“魔盘”转动很慢时，人会随着“魔盘”一起转动，当盘的速度逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越明显，当“魔盘”转动到一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上而不会滑下．则下列说法正确的有(　　)
A．人随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，其角速度是不变的
B．人随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，其合外力是不变的
C．人随“魔盘”一起做匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比
D．“魔盘”的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，这是人受沿半径向外的离心力作用的缘故
答案：A
考点　圆周运动中的运动学问题
典例1　(2024·浙江嘉兴二模)洗手后我们往往都有“甩水”的动作，如图所示是摄像机拍摄甩水视频后制作的频闪画面，A、B、C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置．最后3帧照片中，指尖先以肘关节M为圆心做圆周运动，到接近B的最后时刻，指尖以腕关节N为圆心做圆周运动．测得A、B之间的距离约为24 cm，相邻两帧之间的时间间隔为0.04 s，则指尖(　　)
A．在B点的速度约为3 m/s
B．在B点的角速度约为10 rad/s
C．在AB段的向心加速度约为36 m/s2
D．在BC段的向心加速度约为300 m/s2
解析：指尖在 A、B 间运动的平均速度约为v＝＝ m/s＝6 m/s，选项A错误；指尖在AB间做圆周运动的半径约为r1＝40 cm，v1＝v，则向心加速度大小约为a1＝＝90 m/s，选项C错误；指尖在接近 B点之后到C点时做圆周运动的半径约r2＝12 cm，在B点时，角速度大小约为ω＝＝150 rad/s，v2＝v，向心加速度大小约为a2＝＝300 m/s2，选项B错误，D正确．故选D．
1. [描述圆周运动物理量的计算]如图所示，A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们(　　)
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
解析：圆周运动中线速度的定义为单位时间内通过的弧长，即v＝，所以线速度大小之比为4∶3，A正确；角速度的定义为单位时间内转过的角度，即ω＝，所以角速度大小之比为3∶2，B错误；圆周运动的半径R＝，则半径之比为8∶9，C错误；向心加速度a＝vω，则向心加速度大小之比为2∶1，D错误．
答案：A
2．[传动问题的计算](多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的．其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接如图乙所示．现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是(　　)
A．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
B．P、Q的线速度相同
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
解析：由于两轮通过皮带以“8”形方式连接，所以若主动轮做顺时针转动，则从动轮做逆时针转动，玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，A正确；线速度有方向，由于线速度的方向沿曲线的切线方向，由题图乙可知，P、Q两点的线速度的方向一定不同，B错误；玻璃盘的直径是30 cm，转速是100 r/min，所以线速度：v＝ωr＝2nπr，代入数据得v≈1.6 m/s，C正确；从动轮边缘的线速度：v2＝ωr2＝2××π×0.02 m/s＝π m/s，由于主动轮边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即v1＝v2，所以主动轮的转速：n1＝＝ r/s＝25 r/min，D错误．
答案：AC
考点　水平面内圆周运动的动力学分析
典例2　(2024·北京等级考)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量．如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O点做匀速圆周运动．用力传感器测得绳上的拉力为F，用停表测得小球转过n圈所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R.下列说法正确的是(　　)
A．圆周运动轨道可处于任意平面内
B．小球的质量为
C．若误将n－1圈记作n圈，则所得质量偏大
D．若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小
解析：空间站内的物体都处于完全失重状态，可知圆周运动的轨道可处于任意平面内，故A正确；根据F＝mω2R，ω＝，解得小球质量m＝，故B错误；若误将n－1圈记作n圈，则得到的质量偏小，故C错误；若测R时未计入小球的半径，则R偏小，所测质量偏大，故D错误．故选A.
1．[火车转弯问题]列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为 tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B．列车过转弯处的速度v＝，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C．列车过转弯处的速度v<时，列车轮缘会挤压外轨
D．若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度
解析：列车以规定速度转弯时受到重力、支持力，重力和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，有mgtan α＝mg＝m，解得v＝，列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车过转弯处的速度v＜时，转弯所需的合力F＜mgtan α，故此时列车内轨受挤压，C错误；若要提高列车速度，则列车所需的向心力增大，故需要增大α，D错误．
答案：B
2．[圆锥摆模型](多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)．设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则(　　)
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2∶m1
D．球A、B到P的距离之比等于m1∶m2
解析：对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力FT，绳中拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有FTcos θ＝mg，拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到P的距离为l，则有FTsin θ＝mgtan θ＝mlsin θ，解得周期T＝2π＝2π，因为任意时刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，选项A正确；连接两球的轻绳的张力FT相等，由于向心力为Fn＝FTsin θ＝m2lsin θ，故m与l成反比，由m1≠m2可得l1≠l2，又小球的向心加速度an＝2lsin θ，故向心加速度大小不相等，选项C正确，B、D错误．
答案：AC
考点　竖直平面内圆周运动的动力学分析
典例3　(2024·广东佛山一模)(多选)如图甲所示为我国运动员在体操比赛中完成“单臂大回环”的高难度动作：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动，运动员运动到最高点时，运动员与单杠间弹力大小为F，运动员在最高点的速度大小为v，其F v2图像如图乙所示，则下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2)(　　)
A．此运动员的质量为55 kg
B．此运动员的重心到单杠的距离为0.9 m
C．在最高点速度为4 m/s时，运动员受单杆的弹力方向向上
D．在完成“单臂大回环”的过程中，他的单臂至少要承受的力为2 750 N
解析：当运动员速度为0时，运动员所受弹力与重力大小相等，可知运动员的质量m＝55 kg，A正确；当运动员在最高点的速度为3 m/s时，受单杠的弹力为0，重力提供向心力有mg＝m，解得R＝0.9 m，即运动员的重心到单杠的距离为0.9 m，B正确；在最高点速度为4 m/s>3 m/s时，运动员受单杆的拉力，C错误；运动员经过最低点时，手臂受力最大，当运动员在最高点速度为0时，其在最低点受力最小，设其在最低点速度为v′，有2mgR＝mv′2，由牛顿第二定律有F－mg＝m，解得F＝2 750 N，即运动员的单臂至少要承受的力为2 750 N，D正确．故选ABD．
1．[竖直平面内“轻绳”模型的应用]在游乐园乘坐如图所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动．下列说法正确的是(　　)
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
解析：车在最高点时，当人与保险带间恰好没有作用力时，由重力提供向心力，临界速度为v0＝，即速度v≥时，没有保险带人也不会掉下来，A错误；当人在最高点的速度v>时，人对座位就产生压力，根据mg＋F＝m可知，当速度增大到一定值时，压力可能大于mg，B错误；在最高点和最低点速度大小不等，根据向心加速度公式a＝可知，人在最高点和最低点时的向心加速度大小不相等，C错误；人在最低点时，加速度方向竖直向上，根据牛顿第二定律分析可知，人对座位的压力大于mg，D正确．
答案：D
2．[竖直平面内“轻杆”模型的应用]如图所示，质量为m的小球在竖直固定放置的光滑圆形管道内做完整的圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道的外径为R(管道内径远小于R)，不计小球大小．下列说法正确的是(　　)
A．小球通过管道最高点的最小速度为
B．小球通过管道最低点的最小速度为
C．小球在过圆心的水平线ab以下运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在过圆心的水平线ab以上运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：因为小球在光滑圆形管道内运动(【关键】建构轻杆模型，轻杆模型中小球做圆周运动过最高点的临界条件为速度等于0)，在最高点时管道可以为小球提供竖直向上的支持力，所以小球通过管道最高点的最小速度为0，故A错误；小球从管道最高点到最低点的过程中，根据动能定理，有mv2－0＝2mgR，可得小球过管道最低点时的最小速度为2，故B错误；小球在过圆心的水平线ab以下运动时，靠小球的重力的分力和外侧管壁的支持力的合力提供向心力，内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；小球运动到最高点时，若速度大小为，则管壁对小球没有作用力，故D错误．
答案：C(共43张PPT)
第3讲　圆周运动
第四章　曲线运动　万有引力与航天
理清教材 强基固本
答案
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答案
重难考点 全线突破
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