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专题五　卫星运动的四类热点问题
素养目标　1.卫星绕天体运动抽象为环绕模型，根据万有引力提供向心力求解未知量．(科学思维) 2.变轨问题按离心、向心运动理解．(科学思维)
考点　宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m，得v1＝＝7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝m，得v1＝＝7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度，也是人造地球卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝84.8 min.
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动．
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
典例1　科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径r应小于(　　)
A. B．
C． D．
1．[第一宇宙速度的计算]中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是(　　)
A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
2．[宇宙速度的理解与计算]航天员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R.求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝－G(G为引力常量)．
考点　卫星运动参量的比较与计算
1．人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系
2．三卫星一物体的比较
同步卫星 周期、轨道平面、高度、线速度、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星
极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖
近地卫星 在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s
赤道上的物体 随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等
典例2　(2024·广东四校联考)如图所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a到地心O的距离r1小于b到地心O的距离r2，则下列说法正确的是(　　)
A．地球对卫星a的万有引力大于地球对卫星b的万有引力
B．卫星a的周期大于卫星b的周期
C．卫星a和b的线速度都小于7.9 km/s
D．卫星a和地心的连线、卫星b和地心的连线在相等时间内扫过的面积相等
1．[近地卫星和同步卫星的比较](多选)中国空间站于2022年全面建成并转入应用与发展新阶段，2023年5月成功发射天舟六号货运飞船为中国航天员送去了新一轮补充物资，飞船对接“天和”核心舱，对接完成后，可认为空间站贴近地球表面运行，已知地球的半径为R，地球同步卫星离地面的高度约为6R，地面的重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．空间站的速度大于
B．空间站的周期约为2π
C．地球的自转周期约为14π
D．空间站与地球同步卫星的线速度之比约为7∶1
2．[卫星运行参量的理解与计算]2022年11月1日，梦天实验舱与天宫空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体，如图所示．已知组合体的运行轨道距地面高度为h(约为400 km)，地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A．组合体运行周期为2π
B．地球的平均密度可表示为
C．组合体轨道处的重力加速度为
D．组合体的运行速度介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
考点　卫星发射及变轨
1．人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道(如图所示)
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB．在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB．
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同，有aⅠA＝aⅡA＞aⅡB＞aⅢB．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k，可知T1＜T2＜T3.
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1典例3　(2024·江西景德镇模拟)如图所示为某一同步卫星的发射过程示意图，Ⅱ为椭圆轨道，与圆形轨道Ⅰ和同步轨道Ⅲ分别相切于P、Q点．已知地球同步卫星的轨道半径为r，卫星在Ⅰ、Ⅲ轨道上运行时，卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k，下列说法正确的是(　　)
A．轨道Ⅰ的半径为
B．轨道Ⅰ的半径为rk2
C．卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在Q点减速
D．卫星在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期
1．[卫星变轨的分析与计算](多选)最近几十年，人们对探测火星十分感兴趣，先后发射过许多探测器，且计划在火星建立人类聚居基地．登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ
B．飞船在轨道Ⅰ上的P点的加速度大于在轨道Ⅱ上的P点的加速度
C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度反方向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，则可以推知火星的密度
2．[卫星变轨各物理量的比较]“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号(　　)
A．发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B．从P点转移到Q点的时间小于6个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
考点　卫星的追及、相遇问题
1．问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远．
2．解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数.
角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1,2,3，…)，即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时再次相遇
相距最远 ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)，即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远
圈数关系 相距最近 －＝n(n＝1,2,3，…)
相距最远 －＝n－(n＝1,2,3，…)
典例4　(多选)A、B两颗地球卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，它们运动的轨道半径之比rA∶rB＝1∶4，A的周期为T0，则下列说法正确的是(　　)
A．A卫星加速一定能追上同轨道的另一颗卫星
B．A、B两颗卫星周期之比为8∶1
C．某一时刻A、B两卫星相距最近，则从此时刻开始到A、B再次相距最近经历的时间可能是T0
D．某一时刻A、B两卫星相距最近，则从此时刻开始到A、B相距最远经历的时间可能是T0
1．[人造卫星的追及问题]如图所示，在地球赤道上有一建筑物A，赤道所在的平面内有一颗卫星B绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，与地球自转方向相同，已知地球的质量为M，地球的自转周期为T0(TA．卫星B离地面的高度大于同步卫星离地面的高度
B．卫星B做匀速圆周运动的轨道半径r＝
C．至少经过时间，B仍在A的正上方
D．至少经过时间，A与B相距最远
2．[天体运动中的“冲日”现象]当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是(　　)
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
答案及解析
考点　宇宙速度的理解与计算
典例1　科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径r应小于(　　)
A. B．
C． D．
解析：地球的第一宇宙速度为v1＝，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝，并且有v2>c，联立解得r<，所以D正确，A、B、C错误．故选D．
1．[第一宇宙速度的计算]中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是(　　)
A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
解析：卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由G＝m，可得v＝，故v火∶v地＝1∶，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v火＝ km/s，故A错误，C正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s，故B错误；g地＝，g火＝，联立可得g地>g火，故D错误．
答案：C
2．[宇宙速度的理解与计算]航天员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R.求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝－G(G为引力常量)．
解析：(1)由题意可知星球表面重力加速度为g＝，由万有引力提供向心力知mg＝m
解得v1＝＝.
(2)由星球表面万有引力等于物体重力知G＝mg，又Ep＝－G，解得Ep＝－，由机械能守恒定律有mv－＝0，解得v2＝.
答案：(1)　(2)
考点　卫星运动参量的比较与计算
典例2　(2024·广东四校联考)如图所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a到地心O的距离r1小于b到地心O的距离r2，则下列说法正确的是(　　)
A．地球对卫星a的万有引力大于地球对卫星b的万有引力
B．卫星a的周期大于卫星b的周期
C．卫星a和b的线速度都小于7.9 km/s
D．卫星a和地心的连线、卫星b和地心的连线在相等时间内扫过的面积相等
解析：F引＝G，ma、mb大小未知，a、b受到的万有引力大小关系无法判断，A错误．G＝mr，T＝2π，由于r1＜r2，则Ta＜Tb，B错误．G＝m，v＝，第一宇宙速度是卫星贴着地表飞行的速度，R＜r1＜r2，则vb＜va＜7.9 km/s，C正确．a、b不在同一轨道上，运动相等时间扫过的面积不相等，D错误．故选C．
1．[近地卫星和同步卫星的比较](多选)中国空间站于2022年全面建成并转入应用与发展新阶段，2023年5月成功发射天舟六号货运飞船为中国航天员送去了新一轮补充物资，飞船对接“天和”核心舱，对接完成后，可认为空间站贴近地球表面运行，已知地球的半径为R，地球同步卫星离地面的高度约为6R，地面的重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．空间站的速度大于
B．空间站的周期约为2π
C．地球的自转周期约为14π
D．空间站与地球同步卫星的线速度之比约为7∶1
解析：因为空间站可认为是贴近地球表面运行，所以m＝G＝mg，得v＝，故A错误；由mR＝mg，可得周期为T＝2π，故B正确；地球同步卫星离地面的高度约为6R，由m′(R＋6R)＝G，得T′＝14π，故C正确；由m′＝G，解得v′＝，故空间站与地球同步卫星的线速度之比约为v∶v′＝∶1，D错误．
答案：BC
2．[卫星运行参量的理解与计算]2022年11月1日，梦天实验舱与天宫空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体，如图所示．已知组合体的运行轨道距地面高度为h(约为400 km)，地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A．组合体运行周期为2π
B．地球的平均密度可表示为
C．组合体轨道处的重力加速度为
D．组合体的运行速度介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
解析：忽略地球自转的影响，地面附近万有引力等于重力，有G＝m′g，根据万有引力提供向心力有G＝m(R＋h)，联立解得T＝＝，故A错误；地球的质量为M＝，地球的体积为V＝πR3，则地球的平均密度为ρ＝＝，故B正确；根据万有引力提供向心力有G＝mg′，解得组合体轨道处的重力加速度g′＝＝g，故C错误；卫星围绕地球做圆周运动的最大速度为7.9 km/s，则组合体的运行速度小于7.9 km/s，故D错误．
答案：B
考点　卫星发射及变轨
典例3　(2024·江西景德镇模拟)如图所示为某一同步卫星的发射过程示意图，Ⅱ为椭圆轨道，与圆形轨道Ⅰ和同步轨道Ⅲ分别相切于P、Q点．已知地球同步卫星的轨道半径为r，卫星在Ⅰ、Ⅲ轨道上运行时，卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k，下列说法正确的是(　　)
A．轨道Ⅰ的半径为
B．轨道Ⅰ的半径为rk2
C．卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在Q点减速
D．卫星在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期
解析：因为卫星在Ⅰ、Ⅲ轨道上运行时，卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k，则由S＝lr＝vΔtr，可得＝，又由G＝m，得v＝，联立得＝＝k，解得r1＝rk2，故A错误，B正确；卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在Q点加速，故C错误；由开普勒第三定律得＝，可见轨道半径或半长轴越大，周期越大，故卫星在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期，故D错误．故选B．
1．[卫星变轨的分析与计算](多选)最近几十年，人们对探测火星十分感兴趣，先后发射过许多探测器，且计划在火星建立人类聚居基地．登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ
B．飞船在轨道Ⅰ上的P点的加速度大于在轨道Ⅱ上的P点的加速度
C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度反方向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，则可以推知火星的密度
解析：根据开普勒第三定律＝k可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ，A正确；飞船在P点，无论在轨道Ⅰ上，还是在轨道Ⅱ上，万有引力都相同，加速度都相同，B错误；从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需减速，应朝速度同方向喷气，故C错误；设火星的质量为M，半径为R，根据万有引力提供圆周运动的向心力，有G＝mω2R，火星的密度为ρ＝，联立解得火星的密度ρ＝，D正确．
答案：AD
2．[卫星变轨各物理量的比较]“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号(　　)
A．发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B．从P点转移到Q点的时间小于6个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
解析：因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间，故A错误；因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(1年共12个月)，则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半，应大于6个月，故B错误；因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；卫星从Q点变轨时，要加速才能进入火星轨道，即在地火转移轨道上Q点的速度小于火星轨道的速度，根据v＝可知，在火星轨道上的速度小于地球轨道上的速度，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误．
答案：C
考点　卫星的追及、相遇问题
典例4　(多选)A、B两颗地球卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，它们运动的轨道半径之比rA∶rB＝1∶4，A的周期为T0，则下列说法正确的是(　　)
A．A卫星加速一定能追上同轨道的另一颗卫星
B．A、B两颗卫星周期之比为8∶1
C．某一时刻A、B两卫星相距最近，则从此时刻开始到A、B再次相距最近经历的时间可能是T0
D．某一时刻A、B两卫星相距最近，则从此时刻开始到A、B相距最远经历的时间可能是T0
解析：当A卫星加速后，将做离心运动，轨道半径变大，不可能追上同轨道的另一颗卫星，故A错误；根据开普勒第三定律，可知＝＝，可得TB＝8T0，设从A、B两卫星相距最近到A、B相距最远所经历的时间为t，则－＝n＋(n＝0,1,2,3，…)，解得t＝(n＝0,1,2,3，…)，当n＝0时t＝，故D正确，B错误；设从A、B两卫星相距最近到A、B再次相距最近所经历的时间为t′，根据－＝n(n＝1,2,3，…)，可得t′＝T0(n＝1,2，3，…)，当n＝1时t′＝T0，故C正确．故选CD．
1．[人造卫星的追及问题]如图所示，在地球赤道上有一建筑物A，赤道所在的平面内有一颗卫星B绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，与地球自转方向相同，已知地球的质量为M，地球的自转周期为T0(TA．卫星B离地面的高度大于同步卫星离地面的高度
B．卫星B做匀速圆周运动的轨道半径r＝
C．至少经过时间，B仍在A的正上方
D．至少经过时间，A与B相距最远
解析：对卫星B，由万有引力提供向心力可得G＝m2r，解得r＝，同理可得，同步卫星运行的轨道半径为r0＝，由于T答案：C
2．[天体运动中的“冲日”现象]当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是(　　)
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
解析：设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a.对行星由牛顿第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误；地球公转周期T1＝1年，由T＝2π可知，木星公转周期T2＝T≈11.2年．设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2023年，故A错误，B正确．
答案：B(共37张PPT)
专题五　卫星运动的四类热点问题
第四章　曲线运动　万有引力与航天
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