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第4讲　功能关系　能量守恒定律
素养目标　1.知道几种常见的功能关系和能量守恒定律．(物理观念) 2.能够利用功能关系进行相关计算．(科学思维) 3.掌握能量转化问题的解题思路．(科学思维)
一、功能关系
1．功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化．
2．做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现．
3．做功对应变化的能量形式
(1)合外力的功影响物体动能的变化．
(2)重力的功影响物体重力势能的变化．
(3)弹簧弹力的功影响弹性势能的变化．
(4)除重力或系统内弹力以外的力做功影响物体机械能的变化．
(5)滑动摩擦力的功影响内能的变化．
(6)电场力的功影响电势能的变化．
二、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律．
3．表达式
(1)E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和．
(2)ΔE增＝ΔE减，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量．
1．思维辨析
(1)能量在转移或转化过程中，其总量会不断减少．( )
(2)在物体机械能减少的过程中，动能有可能是增大的．( )
(3)既然能量在转移或转化过程中是守恒的，故没有必要节约能源．( )
(4)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化．( )
(5)一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少．( )
2．在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项．质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，当地的重力加速度为g，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．他的动能减少了Fh
B．他的重力势能增加了mgh
C．他的机械能减少了(F－mg)h
D．他的机械能减少了Fh
3．(多选)某人用手将质量为1 kg的物体由静止向上提起1 m，这时物体的速度为2 m/s，取g＝10 m/s2，下列说法中正确的是(　　)
A．手对物体做功12 J
B．合外力做功2 J
C．合外力做功12 J
D．物体克服重力做功10 J
考点　对功能关系的理解及应用
几种常见力做功 对应的能量变化 关系式
重力 正功 重力势能减少 WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
负功 重力势能增加
弹簧、弹性绳等的弹力 正功 弹性势能减少 W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
负功 弹性势能增加
合力 正功 动能增加 W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1
负功 动能减少
除重力和弹簧弹力以外的其他力 正功 机械能增加
负功 机械能减少 W其他＝ΔE＝E2－E1
一对滑动摩擦力做功 机械能减少、内能增加 Q＝Ff·Δs相对
典例1　(2024·广东广州调研)(多选)从地面竖直向上抛出一物体，该物体的机械能E总和重力势能Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示(取地面为参考平面)．运动过程中空气阻力大小不变，取g＝10 m/s2，结合图中数据可知(　　)
A．物体上升的最大高度为5 m
B．物体的质量为1.0 kg
C．物体上升过程中所受空气阻力大小为2.5 N
D．物体从地面运动到h＝4 m位置的过程中，动能减少了10 J
1．[功能关系的简单应用](多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其减速运动的加速度大小为g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为h，则在这个过程中物体(　　)
A．重力势能增加了mgh
B．机械能损失了mgh
C．动能损失了mgh
D．克服摩擦力做功mgh
2．[功能关系与图像的综合应用](多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取g＝10 m/s2.则(　　)
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
考点　能量守恒定律的理解和应用
1．对能量守恒定律的理解
(1)转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量相等．
(2)转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量相等．
2．应用能量守恒定律解题的基本步骤
典例2　如图所示，一物体质量m＝2 kg，从倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m，挡板及弹簧质量不计，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
1．[对能量守恒定律的理解](多选)在某景区内的高空滑索运动中，游客可利用轻绳通过轻质滑环悬吊下滑．假设某段下滑过程中钢索与水平方向的夹角为θ，轻绳始终保持竖直，示意图如图所示，以游客、滑环、轻绳为整体，不计空气阻力，在这一阶段下滑过程中(　　)
A．整体的机械能守恒
B．整体损失的机械能与系统摩擦产生的热量相等
C．系统摩擦产生的热量与整体所受合外力做的功相等
D．系统摩擦产生的热量与整体减少的重力势能相等
2．[能的转化与能量守恒的计算]某地区常年有风，风速基本保持在4 m/s，该地区有一风力发电机，其叶片转动可形成半径为10 m的圆面，若保持风垂直吹向叶片，空气密度为1.3 kg/m3，风的动能转化为电能的效率为20%.现用这台风力发电机给一水泵供电，使水泵从地下10 m深处抽水，水泵能将水抽到地面并以2 m/s的速度射出，出水口的横截面积为0.1 m2，水的密度为1×103 kg/m3，水泵及电机组成的抽水系统的效率为80%，则下列说法正确的是(　　)
A．该风力发电机的发电功率约为12.8 kW
B．每秒钟水流的机械能增加400 J
C．风力发电机一天的发电量可供该水泵正常工作约2.4 h
D．若风速变为8 m/s，则该风力发电机的发电功率变为原来的4倍
考点　动力学和能量观点的综合应用
1．分析思路
(1)受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况．
(2)做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况．
(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解．
2．方法技巧
(1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景．
(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律．
(3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案．
典例3　(2023·全国乙卷)(多选)如图所示，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动．已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时(　　)
A．木板的动能一定等于fl
B．木板的动能一定小于fl
C．物块的动能一定大于mv－fl
D．物块的动能一定小于mv－fl
1．[应用动力学和能量观点分析多过程问题](多选)一质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动．该物体开始滑动时的动能为Ek，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为.已知sin α＝0.6，重力加速度大小为 g．则(　　)
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
2．[动力学和能量观点的理解与计算]某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能．某次演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v1＝80 m/s时离开水面，该过程滑行距离L＝1 600 m、汲水质量m＝1.0×104 kg.离开水面后，飞机攀升高度h＝100 m时速度达到v2＝100 m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水．取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t；
(2)整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE.
答案及解析
1．思维辨析
(1)能量在转移或转化过程中，其总量会不断减少．(×)
(2)在物体机械能减少的过程中，动能有可能是增大的．(√)
(3)既然能量在转移或转化过程中是守恒的，故没有必要节约能源．(×)
(4)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化．(√)
(5)一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少．(√)
2．在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项．质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，当地的重力加速度为g，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．他的动能减少了Fh
B．他的重力势能增加了mgh
C．他的机械能减少了(F－mg)h
D．他的机械能减少了Fh
解析：运动员进入水中后，克服合力做的功等于动能的减少量，故动能减少(F－mg)h，故A错误；运动员进入水中后，重力做功mgh，故重力势能减少mgh，故B错误；运动员进入水中后，除重力外，克服阻力做功Fh，故机械能减少了Fh，故C错误，D正确．
答案：D
3．(多选)某人用手将质量为1 kg的物体由静止向上提起1 m，这时物体的速度为2 m/s，取g＝10 m/s2，下列说法中正确的是(　　)
A．手对物体做功12 J
B．合外力做功2 J
C．合外力做功12 J
D．物体克服重力做功10 J
解析：根据动能定理，合外力做的功等于物体动能变化，B正确，C错误；物体克服重力做功为10 J，D正确；手对物体做的功等于物体机械能的增加量，A正确．
答案：ABD
考点　对功能关系的理解及应用
典例1　(2024·广东广州调研)(多选)从地面竖直向上抛出一物体，该物体的机械能E总和重力势能Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示(取地面为参考平面)．运动过程中空气阻力大小不变，取g＝10 m/s2，结合图中数据可知(　　)
A．物体上升的最大高度为5 m
B．物体的质量为1.0 kg
C．物体上升过程中所受空气阻力大小为2.5 N
D．物体从地面运动到h＝4 m位置的过程中，动能减少了10 J
解析：重力势能与机械能相等时物体的动能为零，物体上升到最高点，由题图知，物体上升的最大高度为4 m，A错误；重力势能Ep＝mgh，则Ep h图像斜率表示物体的重力，则mg＝k＝10 N，故物体质量为m＝1.0 kg，B正确；物体上升过程中，机械能的变化量ΔE＝－f·Δh，故E h图线斜率的绝对值表示物体受到的阻力大小，则物体所受空气阻力大小为f＝＝2.5 N，C正确；物体从地面运动到h＝4 m位置的过程中，由动能定理得ΔEk＝－fh－mgh＝－50 J，故动能减少了50 J，D错误．故选BC．
1．[功能关系的简单应用](多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其减速运动的加速度大小为g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为h，则在这个过程中物体(　　)
A．重力势能增加了mgh
B．机械能损失了mgh
C．动能损失了mgh
D．克服摩擦力做功mgh
解析：物体加速度大小a＝g＝，解得摩擦力Ff＝mg，机械能损失量等于克服摩擦力做的功，即Ffx＝mg·2h＝mgh，故B项正确，D项错误；物体在斜面上能够上升的最大高度为h，所以重力势能增加了mgh，故A项正确；动能损失量为克服合力做功的大小，动能损失量ΔEk＝F合x＝mg·2h＝mgh，故C项错误．
答案：AB
2．[功能关系与图像的综合应用](多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取g＝10 m/s2.则(　　)
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
解析：物块在下滑过程中重力势能减少，动能增加，故Ⅰ为重力势能随下滑距离s的变化图线，Ⅱ为动能随下滑距离s的变化图线．由题图可知，初状态时物块的机械能为E1＝30 J，末状态时物块的机械能为E2＝10 J，故物块下滑过程中机械能不守恒，A正确；物块下滑过程损失的机械能转化为克服摩擦力做功产生的内能，设斜面倾角为θ，物块质量为m，由功能关系得μmgcos θ·s＝E1－E2，由几何知识知cos θ＝，物块开始下滑时Ep＝E1＝mgh，由以上各式解得μ＝0.5，m＝1 kg，B正确；由牛顿第二定律得mgsin θ－μmgcos θ＝ma，解得a＝2.0 m/s2，C错误；由功能关系得，物块下滑2.0 m时损失的机械能为ΔE＝μmgcos θ·s1＝8 J，D错误．
答案：AB
考点　能量守恒定律的理解和应用
典例2　如图所示，一物体质量m＝2 kg，从倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m，挡板及弹簧质量不计，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
解析：(1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为
ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv＋mglADsin 37°
物体克服摩擦力产生的热量为Q＝Ffs
其中s为物体的路程，即s＝5.4 m
Ff＝μmgcos 37°
由能量守恒定律可得ΔE＝Q
联立解得μ＝0.52.
(2)由A到C的过程中，动能减少
ΔE′k＝mv
重力势能减少ΔE′p＝mglACsin 37°
摩擦生热Q′＝FflAC＝μmglACcos 37°
由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为
Epm＝ΔEk′＋ΔEp′－Q′
联立解得Epm＝24.5 J.
答案：(1)0.52　(2)24.5 J
1．[对能量守恒定律的理解](多选)在某景区内的高空滑索运动中，游客可利用轻绳通过轻质滑环悬吊下滑．假设某段下滑过程中钢索与水平方向的夹角为θ，轻绳始终保持竖直，示意图如图所示，以游客、滑环、轻绳为整体，不计空气阻力，在这一阶段下滑过程中(　　)
A．整体的机械能守恒
B．整体损失的机械能与系统摩擦产生的热量相等
C．系统摩擦产生的热量与整体所受合外力做的功相等
D．系统摩擦产生的热量与整体减少的重力势能相等
解析：游客、滑环、轻绳组成的整体与钢索间的摩擦力对整体做负功，机械能不守恒，A错误；由功能关系可知，整体损失的机械能与系统摩擦产生的热量相等，B正确；轻绳始终保持竖直，故整体受力平衡，合外力做功为零且整体的速度不变，由动能定理可知，克服摩擦力做的功与重力做的正功相等，即系统摩擦产生的热量与整体减少的重力势能相等，C错误，D正确．
答案：BD
2．[能的转化与能量守恒的计算]某地区常年有风，风速基本保持在4 m/s，该地区有一风力发电机，其叶片转动可形成半径为10 m的圆面，若保持风垂直吹向叶片，空气密度为1.3 kg/m3，风的动能转化为电能的效率为20%.现用这台风力发电机给一水泵供电，使水泵从地下10 m深处抽水，水泵能将水抽到地面并以2 m/s的速度射出，出水口的横截面积为0.1 m2，水的密度为1×103 kg/m3，水泵及电机组成的抽水系统的效率为80%，则下列说法正确的是(　　)
A．该风力发电机的发电功率约为12.8 kW
B．每秒钟水流的机械能增加400 J
C．风力发电机一天的发电量可供该水泵正常工作约2.4 h
D．若风速变为8 m/s，则该风力发电机的发电功率变为原来的4倍
解析：由题意可知单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流体积为V0＝vS＝vπR2，则单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为Ek＝mv2＝ρV0v2＝ρπR2v3，又风的动能转化为电能的效率为20%，则此风力发电机的发电功率为P＝，联立解得P≈2.6 kW，若风速变为8 m/s，即风速变为原来的2倍，则该风力发电机的发电功率变为原来的8倍，A、D错误；由题意可知每秒钟水流机械能的增加量为ΔE＝m′gh＋m′v′2，其中m′＝ρ水S′v′，代入数据解得ΔE＝2.04×104 J，B错误；由题意可得水泵正常工作每秒钟的耗电量为ΔE′＝＝2.55×104 J，而风力发电机一天的发电量为E′＝Pt≈2.6×103×24×60×60 J≈2.2×108 J，则风力发电机一天的发电量可供水泵正常工作的时间为t＝≈8 627 s≈2.4 h，C正确．
答案：C
考点　动力学和能量观点的综合应用
典例3　(2023·全国乙卷)(多选)如图所示，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动．已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时(　　)
A．木板的动能一定等于fl
B．木板的动能一定小于fl
C．物块的动能一定大于mv－fl
D．物块的动能一定小于mv－fl
解析：当物块从木板右端离开时，对m有－fxm＝mv－mv，对M有fxM＝mv，其中xm－xM＝l.因摩擦产生的摩擦热Q＝fl＝f(xm－xM)，因小物块从木板右端离开，故有v0>vm>vM，xm＝·t，xM＝·t，故xm>2xM，所以xm－xM＝l>xM，即fxM＝mv1．[应用动力学和能量观点分析多过程问题](多选)一质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动．该物体开始滑动时的动能为Ek，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为.已知sin α＝0.6，重力加速度大小为 g．则(　　)
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
解析：物体从斜面底端回到斜面底端，根据动能定理有－μmg·2lcos α＝－Ek
物体从斜面底端到斜面顶端，根据动能定理有－mglsin α－μmglcos α＝0－Ek
整理得l＝，μ＝0.5，故A错误，C正确；
物体向下滑动时，根据牛顿第二定律有
mgsin α－μmgcos α＝ma
解得a＝，故B正确；
物体向上滑动时，根据牛顿第二定律有
mgsin α＋μmgcos α＝ma上
物体向下滑动时，根据牛顿第二定律有
mgsin α－μmgcos α＝ma下
由以上各式可知a上>a下
由于上升过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据公式l＝at，则可得出t上答案：BC
2．[动力学和能量观点的理解与计算]某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能．某次演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v1＝80 m/s时离开水面，该过程滑行距离L＝1 600 m、汲水质量m＝1.0×104 kg.离开水面后，飞机攀升高度h＝100 m时速度达到v2＝100 m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水．取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t；
(2)整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE.
解析：(1)飞机从静止开始做匀加速直线运动，平均速度为，则L＝v1t
解得飞机滑行的时间为t＝＝ s＝40 s
飞机滑行的加速度为a＝＝ m/s2＝2 m/s2.
(2)飞机从水面攀升至h＝100 m处，水的机械能的增量为ΔE＝mv＋mgh－mv＝×1.0×104×1002 J＋1.0×104×10×100 J－×1.0×104×802 J＝2.8×107 J.
答案：(1)2 m/s2　40 s　(2)2.8×107 J(共39张PPT)
第4讲　功能关系　能量守恒定律
第五章　机械能
理清教材 强基固本
答案
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答案
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重难考点 全线突破
解析
答案
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答案
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答案
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答案
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