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【2022-2024全国中考数学真题分类汇编】
专题04 二次根式（原卷版）
【考点归纳】
一、考点01二次根式的概念 1
二、考点02二次根式有意义的条件 1
三、考点03二次根式的性质 2
四、考点04二次根式的运算 3
五、考点05二次根式的估值 4
考点01 二次根式的概念
一、考点01二次根式的概念
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2024·上海·中考真题）已知，则 ．
3．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
4．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广西·中考真题）化简： ．
考点02 二次根式有意义的条件
二、考点02二次根式有意义的条件
7．（2023·江西·中考真题）若有意义，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
10．（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．
11．（2022·江苏徐州·中考真题）使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
13．（2023·辽宁·中考真题）若有意义，则实数a的取值范围是 ．
14．（2024·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
15．（2023·江苏徐州·中考真题）要使代数式有意义，则的取值范围是 ．
16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
17．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
18．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
考点03 二次根式的性质
三、考点03二次根式的性质
19．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
21．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
22．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
23．（2023·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
考点04 二次根式的运算
四、考点04二次根式的运算
24．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
27．（2024·山东威海·中考真题）计算： ．
28．（2023·河北·中考真题）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
29．（2023·上海·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
30．（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ．
31．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ．
32．（2024·贵州·中考真题）计算的结果是 ．
33．（2023·天津·中考真题）计算的结果为 ．
34．（2023·江苏连云港·中考真题）计算： ．
35．（2023·广东·中考真题）计算 ．
36．（2024·北京·中考真题）计算：
37．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：．
38．（2024·云南·中考真题）计算：．
39．（2024·上海·中考真题）计算：．
40．（2024·甘肃·中考真题）计算：．
41．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
42．（2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中
43．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
考点05 二次根式的估值
五、考点05二次根式的估值
44．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
45．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
46．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
47．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
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【2022-2024全国中考数学真题分类汇编】
专题04 二次根式（解析版）
【考点归纳】
一、考点01二次根式的概念 1
二、考点02二次根式有意义的条件 3
三、考点03二次根式的性质 7
四、考点04二次根式的运算 9
五、考点05二次根式的估值 15
考点01 二次根式的概念
一、考点01二次根式的概念
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可．
【详解】解：；
故选C．
2．（2024·上海·中考真题）已知，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可．
【详解】解：根据题意可知：，
∴，
解得：，
故答案为：1．
3．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【答案】A
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．
【详解】解：＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
4．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
5．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有个数，
则第八行左起第1个数是，
故选：C．
6．（2022·广西·中考真题）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知是解题关键，据此进行化简即可求解
【详解】解：．
故答案为：
考点02 二次根式有意义的条件
二、考点02二次根式有意义的条件
7．（2023·江西·中考真题）若有意义，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，则的值可以是
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
8．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴的取值范围是．
故选：B．
9．（2023·山东·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得且，
故选：D
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
10．（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，列式解答即可．
【详解】解：由题意可得且，
解得：且，
故选：C．
11．（2022·江苏徐州·中考真题）使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；
根据二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可．
【详解】解：由有意义可得，
解得：，
故选：B．
12．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得，
∴使代数式有意义的整数有，，0，1．
共有4个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单．
13．（2023·辽宁·中考真题）若有意义，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
14．（2024·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
15．（2023·江苏徐州·中考真题）要使代数式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据形如的式子叫作二次根式．本题考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键．
【详解】二次根式有意义，
故，
解得，
故．
16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得且，
故答案为：且．
17．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
18．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得，，且，
解得，，
故答案为：．
考点03 二次根式的性质
三、考点03二次根式的性质
19．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，
，
故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．
20．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
21．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
22．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可．
【详解】解∶由数轴知∶，，
∴，
∴
，
故选：A．
23．（2023·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】/
【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解．
【详解】由数轴位置可知，
．
【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键．
考点04 二次根式的运算
四、考点04二次根式的运算
24．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、当时，，当时，，选项错误，不符合题意；
故选：C
25．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则．
【详解】解：A、 ，计算正确；
B、不能合并，原计算错误；
C、，原计算错误；
D、，原计算错误；
故选A．
26．（2023·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
27．（2024·山东威海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
28．（2023·河北·中考真题）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】把代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
29．（2023·上海·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．
【详解】解：A、，故正确，符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
30．（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的减法运算法则是解题的关键．
31．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ．
【答案】
【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．
32．（2024·贵州·中考真题）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算．
【详解】解：原式==，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键．
33．（2023·天津·中考真题）计算的结果为 ．
【答案】1
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
34．（2023·江苏连云港·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
35．（2023·广东·中考真题）计算 ．
【答案】6
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
36．（2024·北京·中考真题）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解：原式
．
37．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
38．（2024·云南·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简是解题的关键．根据相关运算法则分别进行计算，再进行加减运算，即可解题．
【详解】解：，
，
．
39．（2024·上海·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【详解】解：
．
40．（2024·甘肃·中考真题）计算：．
【答案】0
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】．
41．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】 ；
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．
【详解】原式
,
当 时,
原式 ．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．
42．（2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先化简括号内分式，再进行乘法运算，最后再代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
43．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，45
【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可．
【详解】原式
．
当，时
原式．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键．
考点05 二次根式的估值
五、考点05二次根式的估值
44．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
故选：D
45．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．
【详解】解：∵，
而，
∴，
故答案为：C
46．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可．
【详解】解：，
，
，
，
即S在3和4之 间，
故选：C．
47．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．
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