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2024年山东省济宁市中考数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．
2．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（　　）
A．人 B．才 C．强 D．国
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（　　）
A．班主任采用的是抽样调查
B．喜爱动画节目的同学最多
C．喜爱戏曲节目的同学有6名
D．“体育”对应扇形的圆心角为72°
6．如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
8．解分式方程时，去分母变形正确的是（　　）
A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5 C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5
9．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（　　）
A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
10．如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（　　）
A．90 B．91 C．92 D．93
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250000m2．将数250000用科学记数法表示为 　 　．
12．已知a2﹣2b+1＝0，则的值是 　 　．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 　 　，使四边形ABCD是平行四边形．
14．将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 　 　．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．
（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．
（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
（4）画射线AH．
（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．
（6）连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 　 　.（只填序号）
①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN MB．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．先化简，再求值：x（y﹣4x）+（2x+y）（2x﹣y），其中x，y＝2．
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．
（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
18．为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分数 80 85 90 95 100
人数 3 3 a b 3
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 m n 95 41.5
八年级（3）班 91 90 p 26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝　 　，n＝　 　；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
19．如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
（1）若AB＝8，求AE的长；
（2）求证：EB是⊙O的切线．
20．某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
21．综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．
第三步，连接GF．
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
乙同学的结论
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平．
第五步，连接FM交GP于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
FN AM＝GN AD．
（2）请证明这个结论．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2024年山东省济宁市中考数学试题参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．A 2．D 3．B 4．A 5．D
6．D 7．C 8．A 9．C 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．2.5×105 12．2 13．OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD
14．k≥3 15．①②⑤
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．（6分）（2024 济宁）先化简，再求值：x（y﹣4x）+（2x+y）（2x﹣y），其中x，y＝2．
解：原式＝（xy﹣4x2）+（4x2﹣y2）
＝xy﹣4x2+4x2﹣y2
＝xy﹣y2，
当x，y＝2时，原式2﹣22＝1﹣4＝﹣3．
17．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．
（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点B1的坐标为（3，2）．
（2）如图，△A2B1C2即为所求．
点C1运动到点C2所经过的路径长为π．
18．（8分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分数 80 85 90 95 100
人数 3 3 a b 3
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 m n 95 41.5
八年级（3）班 91 90 p 26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝　91　，n＝　92.5　；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
解：（1）补全条形统计图，如图所示：
（2）根据题意得：m（85+95+100+90+90+80+85+90+80+100+80+85+95+90+95+95+95+95+100+95）＝91；
从小到大排列得：80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100，
最中间的两个为90和95，n（90+95）＝92.5；
故答案为：91，92.5；
（3）我认为八年级（1）班成绩更好一些，理由为：
平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，方差方面（3）班优于（1）班，
综上所述，八年级（1）班成绩更好一些；
（4）八年级（1）班三位满分同学记作1，2，3，（3）班两位同学满分记作4，5，
列表如下：
1 2 3 4 5
1 ﹣﹣﹣ （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） ﹣﹣﹣ （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） ﹣﹣﹣ （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） ﹣﹣﹣ （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（4，5），（5，4）共8种，
则P（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）．
19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
（1）若AB＝8，求AE的长；
（2）求证：EB是⊙O的切线．
（1）解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，
即∠EAD＝∠BAC，
又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACB（ASA），
∴AE＝AB，
∵AB＝8，
∴AE＝8；
（2）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFB+∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠ABF＝90°，
在△ADC中，AD＝AC，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴2∠ACB+∠CAD＝180°，
由（1）知AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴2∠ABE+∠BAE＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠ACB＝∠ABE，
∴∠ABE+∠ABF＝90°，
即∠OBE＝90°，
∵OB为半径，
∴EB是⊙O的切线．
20．（8分）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
解：（1）由题意，设一次函数的解析式为y＝kx+b，
又过（100，300），（120，200），
∴．
∴．
∴所求函数解析式为y＝﹣5x+800．
（2）由题意得，，
∴100≤x≤116．
∵商场获得的利润＝（x﹣80）（﹣5x+800）
＝﹣5x2+1200x﹣64000
＝﹣5（x﹣120）2+8000，
又﹣5＜0，100≤x≤116，
∴当x＝116时，利润最大，最大值为7920．
答：当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是7920元．
21．（9分）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．
第三步，连接GF．
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
乙同学的结论
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平．
第五步，连接FM交GP于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
FN AM＝GN AD．
（2）请证明这个结论．
（1）解：甲同学和乙同学的结论都正确，证明如下，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，
∵折叠，
∴∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，
∴四边形AEFD是矩形，
∴四边形AEFD是正方形；
故甲同学的结论正确．
作GK⊥AE，
设AE＝2x，则AG＝EG＝x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴∠EAF＝45°，
∴AF＝2x，AK＝KGAGx，
∴FK＝AF﹣AKx，
∴tan∠AFG；
故乙同学的说法也正确．
（2）证明：过G作GQ⊥PM交延长线于点Q，
∵折叠，
∴FP＝PM，FG＝GM，GH＝GQ，∠FPG＝∠MPG，PH＝PQ，
∵AB∥CD，
∴∠FPG＝∠PGM，
∴∠PGM＝∠MPG，
∴PM＝GM，
∴PF＝GM＝PM＝FG，
∴四边形FGMP是菱形，
∴∠FNG＝90°，
∵∠GQP＝90°＝∠FNG，∠FGN＝∠GPQ，
∴△GFN∽△PGQ，
∴，
∴FN PQ＝GN GQ，
∵AM＝AG+GM＝HF+FP＝PH，
∴AM＝PQ，
∵GQ＝GH＝AD，
∴FN AM＝GN AD．
22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵函数过（0，﹣3），（﹣b，c）
∴c＝﹣3，ab2﹣b2+c＝c，
∴（a﹣1）b2＝0，
∵ab＞0，
∴a≠0，b≠0，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1．
（2）①由（1）知该函数的解析式为：y＝x2+bx﹣3＝（x）2，
∵a＝1＞0，
∴当x时，函数最小值为y，
∵二次函数最小值为﹣4，
∴4，
解得b＝±2，
∵ab＞0，
∴b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0）．
②Ⅰ，当点P在点A右侧时，如图，过B作BF⊥AC于点F，过P作PG⊥AC于点G，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0），
∴OA＝OC＝3，OB＝1，
∴AB＝OA+OB＝4，AC＝3，
∵S△ABC，
∴BF2，
∵△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，
∴，
∴PG，
过P作PH∥AC交y轴于点H，过C作CK⊥PH，则CK＝PG，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝45°，
∴∠CHK＝45°，
∴CHCK，
∴OH，
∴点H坐标（0，），
∴直线PH解析式为y＝﹣x，
联立方程组可得，
解得，，
∴P点坐标为（，）或（，）．
Ⅱ，当点P在点A左侧时，过P作PH∥AC交y轴于点H，
同第一种情况的方法可得H（0，）
∴直线PH解析式为y＝﹣x，
联立方程组得，
解得（舍），，
∴P点坐标为（，）．
综上所述，P点坐标为（，）或（，）或（，）．
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