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素养目标　1.明确洛伦兹力的概念、洛伦兹力公式．(物理观念) 2.知道洛伦兹力与安培力的关系．(物理观念) 3.能够应用洛伦兹力进行动力学分析与处理．(科学思维) 4.掌握带电粒子在有界磁场中的一般解题步骤．(科学思维)
一、洛伦兹力
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力叫作洛伦兹力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法：左手定则
①掌心——磁感线垂直穿入掌心；
②四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
③拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面.
直观情境 甲　v与B垂直　 乙　v与B不垂直 洛伦兹力与粒子运动方向、磁感应强度方向的关系
3.洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0(θ＝0°或180°)．
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB(θ＝90°)．
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．
2．粒子的运动性质
(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动.
直观情境 v∥B 匀速直线运动 v⊥B 匀速圆周运动 v⊥B 匀速圆周运动
3.半径和周期公式
(1)由qvB＝m，得r＝.
(2)由v＝，得T＝.
1．思维辨析
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用．( )
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直．( )
(3)根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比．( )
(4)由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功．( )
(5)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关．( )
2．汤姆孙通过对阴极射线的研究发现了电子．如图所示，把电子射线管(阴极射线管)放在蹄形磁铁的两极之间，可以观察到电子束偏转的方向是　(　　)
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
3．如图所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，方向垂直纸面向里，有一束粒子对准a端射入弯管，粒子的质量、速度不同，但都是一价负粒子，则下列说法正确的是(　　)
A．只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
B．只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
C．只有动量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
D．只有动能大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
考点　对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的方向的特点
(1)洛伦兹力的方向既与电荷的运动方向垂直，又与磁场方向垂直，所以洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向所确定的平面．
(2)洛伦兹力的方向总垂直于电荷的运动方向，当电荷的运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向随之变化．
(3)由于洛伦兹力的方向总与电荷的运动方向垂直，所以洛伦兹力对电荷不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力永不做功．
3．洛伦兹力与电场力的比较
项目 洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向与场方向的关系 F⊥B，F⊥v F∥E
做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功
作用效果 只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小 既可以改变电荷运动速度的大小，也可以改变电荷运动的方向
典例1　(2024·广东联考)(多选)中科院等离子体物理研究所设计制造了全超导非圆截面托卡马克实验装置(EAST)，这是我国科学家率先建成的世界上第一个全超导核聚变“人造太阳”实验装置．将原子核在约束磁场中的运动简化为带电粒子在匀强磁场中的运动，如图所示．磁场方向水平向右，磁感应强度大小为B，甲粒子速度方向与磁场垂直，乙粒子速度方向与磁场方向平行，丙粒子速度方向与磁场方向的夹角为θ，所有粒子的质量均为m，电荷量均为＋q，且粒子的初速度方向在纸面内，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则(　　)
A．甲粒子受力大小为qvB，方向水平向右
B．乙粒子的运动轨迹是直线
C．丙粒子在纸面内做匀速圆周运动，其动能不变
D．从图中所示状态，经过时间后，丙粒子位置改变了
1．[带电粒子在洛伦兹力作用下的运动]带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹．如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的运动轨迹，其中a和b是运动轨迹上的两点．该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，重力忽略不计．下列说法正确的是(　　)
A．粒子带正电
B．粒子先经过a点，再经过b点
C．粒子运动过程中洛伦兹力对其做负功
D．粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小
2．[电场力与洛伦兹力的比较]如图甲、乙所示，两空间分别存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场. 、分别为纸面内的半圆形曲线，O、O′分别为两半圆的圆心，PQ、P′Q′分别为两半圆的水平直径，将带电粒子分别从P、P′点水平射出，分别经过半圆曲线的M、M′点，不计粒子重力及空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．甲图中粒子带正电，乙图中粒子带负电
B．甲图中粒子带负电，乙图中粒子带正电
C．甲图中粒子经过M点时速度方向的反向延长线有可能经过圆心O
D．乙图中粒子经过M′点时速度方向的反向延长线一定经过圆心O′
考点　带电粒子在有界磁场中运动
1．圆心的确定
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)．
　　　
甲 　　乙
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，图中P为入射点，M为出射点)．
2．半径的确定
(1)用几何知识求半径，一般称为几何半径，通常构建三角形，利用三角函数或勾股定理求解．
(2)用物理知识求半径，即根据qvB＝m，得出r＝，一般称为物理半径．
3．运动时间的确定
(1)粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为t＝T.
(2)速度为v的粒子在磁场中运动的弧长为s时，其运动时间为t＝.
4．带电粒子在有界磁场中的运动
(1)直线边界：进出磁场具有对称性(如图所示)．
(2)平行边界：存在临界条件．
(3)圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出．
典例2　(2024·天津河西质检)空间高能粒子是引起航天器异常或故障，甚至失效的重要因素．某同学设计了一个屏蔽高能粒子辐射的装置，如图所示，铅盒左侧面中心O点有一放射源，放射源可通过铅盒右侧面的狭缝MQ以速率v向外辐射质量为m、电荷量为q的带正电的高能粒子．铅盒右侧有一左右边界平行、磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，过O点的截面MNPQ位于垂直于磁场的平面内，OH⊥MQ，∠MOH＝∠QOH＝60°.不计粒子所受重力，忽略粒子间的相互作用．
(1)求垂直磁场边界向左射出磁场的粒子在磁场中运动的时间t；
(2)若所有粒子均不能从磁场右边界穿出，从而达到屏蔽作用，求磁场区域的最小宽度d(结果可保留根号)．
解析：(1)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R
1．[带电粒子在直线边界磁场中运动](多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成α角向磁场中射入两个速率不同的相同粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，则(　　)
A．粒子1与粒子2的动能之比为1∶2
B．粒子1与粒子2的动能之比为1∶4
C．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶1
D．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶2
2．[带电粒子在圆形有界磁场中运动]如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是(　　)
A．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
B．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为∶1
D．沿径迹Ob、Od运动的粒子在磁场中运动时间之比为4∶3
考点　带电粒子在匀强磁场中的多解问题
类型 分析 图例
带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如果带正电，其轨迹为a；如果带负电，其轨迹为b
磁场方向不确定 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解 已知粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态不唯一 带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
运动具有周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
典例3　(2022·湖北卷)(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　)
A．kBL,0° B．kBL,0°
C．kBL,60° D．2kBL,60°
1．[临界状态不唯一形成多解](多选)如图所示，等腰梯形abcd区域(包含边界)存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，边长ab＝bc＝cd＝ad＝l，一质量为m、带电荷量为－q(q>0)的粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒子不能经过bc边，粒子的速度可能为(　　)
A． B．
C． D．
2．[带电粒子电性不确定形成多解]如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？
课题研究　“动态圆”模型
模型Ⅰ.“平移圆”模型
适用条件及特点 速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上 所有粒子做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上
典例1　(多选)如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出．已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是(　　)
A．粒子的入射速度为
B．粒子的入射速度为
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为
D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
模型Ⅱ.“旋转圆”模型
适用条件及特点 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同，运动半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝.如图所示
轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
应用方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件
典例2　(2024·湖南明德中学模拟)(多选)如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则(　　)
A．从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为3∶2
B．粒子运动的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．磁场区域中有粒子通过的面积为d2
模型Ⅲ.“放缩圆”模型
适用条件及特点 速度方向一定，大小不同 粒子初速度方向一定，大小不同，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆 圆心共线 带正电粒子速度v越大，运动半径也越大．运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
应用方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
典例3　(多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是(　　)
A．若该粒子的入射速度为v＝，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为
答案及解析
1．思维辨析
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用．(×)
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直．(×)
(3)根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比．(×)
(4)由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功．(×)
(5)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关．(√)
2．汤姆孙通过对阴极射线的研究发现了电子．如图所示，把电子射线管(阴极射线管)放在蹄形磁铁的两极之间，可以观察到电子束偏转的方向是　(　　)
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
解析：电子束带负电，电子束由负极向正极运动，在电子束运动的过程中，条形磁铁产生的磁场由 N极指向S极，根据左手定则可判断出电子受到的洛伦兹力方向向下，故电子束的偏转方向向下，B正确，A、C、D错误．
答案：B
3．如图所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，方向垂直纸面向里，有一束粒子对准a端射入弯管，粒子的质量、速度不同，但都是一价负粒子，则下列说法正确的是(　　)
A．只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
B．只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
C．只有动量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
D．只有动能大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
答案：C
考点　对洛伦兹力的理解
典例1　(2024·广东联考)(多选)中科院等离子体物理研究所设计制造了全超导非圆截面托卡马克实验装置(EAST)，这是我国科学家率先建成的世界上第一个全超导核聚变“人造太阳”实验装置．将原子核在约束磁场中的运动简化为带电粒子在匀强磁场中的运动，如图所示．磁场方向水平向右，磁感应强度大小为B，甲粒子速度方向与磁场垂直，乙粒子速度方向与磁场方向平行，丙粒子速度方向与磁场方向的夹角为θ，所有粒子的质量均为m，电荷量均为＋q，且粒子的初速度方向在纸面内，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则(　　)
A．甲粒子受力大小为qvB，方向水平向右
B．乙粒子的运动轨迹是直线
C．丙粒子在纸面内做匀速圆周运动，其动能不变
D．从图中所示状态，经过时间后，丙粒子位置改变了
解析：甲粒子受洛伦兹力大小为qvB，根据左手定则可知方向与磁场方向垂直，A错误；乙粒子速度方向与磁感应强度方向平行，不受洛伦兹力作用，所以运动轨迹是直线，B正确；将丙粒子速度v在沿磁感应强度方向和垂直磁感应强度方向分解为v1和v2，其中 v1对应的分运动为水平向右做匀速直线运动，v2对应的分运动为在垂直纸面的平面内做匀速圆周运动，所以丙粒子的合运动为螺旋曲线运动，由于洛伦兹力不做功，所以其动能不变，C错误；对丙粒子在垂直于纸面平面的匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有qv2B＝，解得r＝，所以周期为T＝＝，丙粒子在沿磁感应强度方向做匀速直线运动的速度为v1＝vcos θ，经过一个周期的时间，丙粒子位置改变了x＝v1T＝，D正确．故选BD．
1．[带电粒子在洛伦兹力作用下的运动]带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹．如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的运动轨迹，其中a和b是运动轨迹上的两点．该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，重力忽略不计．下列说法正确的是(　　)
A．粒子带正电
B．粒子先经过a点，再经过b点
C．粒子运动过程中洛伦兹力对其做负功
D．粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小
解析：该粒子的动能在减少，而其质量和电荷量不变，则速度大小在减小，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，所以粒子运动的轨迹半径逐渐减小，粒子先经过b点，再经过a点，根据左手定则知粒子带负电，A、B错误；由于运动过程中洛伦兹力一直和速度方向垂直，故洛伦兹力不做功，C错误；根据F＝qvB知，粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小，D正确．
答案：D
2．[电场力与洛伦兹力的比较]如图甲、乙所示，两空间分别存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场. 、分别为纸面内的半圆形曲线，O、O′分别为两半圆的圆心，PQ、P′Q′分别为两半圆的水平直径，将带电粒子分别从P、P′点水平射出，分别经过半圆曲线的M、M′点，不计粒子重力及空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．甲图中粒子带正电，乙图中粒子带负电
B．甲图中粒子带负电，乙图中粒子带正电
C．甲图中粒子经过M点时速度方向的反向延长线有可能经过圆心O
D．乙图中粒子经过M′点时速度方向的反向延长线一定经过圆心O′
解析：甲图中，由于带电粒子在电场中受到竖直向下的电场力，与电场方向相同，故粒子带正电，乙图中，由左手定则可知粒子带正电，A、B错误；甲图中带电粒子做类平抛运动，由类平抛运动规律可知，粒子经过M点时速度方向的反向延长线与过P点的水平直线的交点为粒子水平位移的中点，即交点与P点的距离为x1＝，如果交点为圆心O，则要求水平方向的位移应为x＝2R，PM两点间的水平距离xPM<2R，所以假设不成立，C错误；乙图中粒子在圆形磁场区域内做匀速圆周运动，设粒子的轨迹半径为R，半圆的半径为r，运动轨迹如图所示，因P′O1＝M′O1＝R，O′P′＝O′M′＝r，O′O1为公共边，所以△O1P′O′≌△O1M′O′，因P′点的速度vP′的方向沿P′O′指向O′，且O1P′⊥vP′，所以O1P′⊥P′O′，即∠O1P′O′＝90°，因此∠O1M′O′＝90°，即O1M′⊥M′O′，又因为O1M′⊥vM′，所以vM′与O′M′共线，即粒子经过M′点的速度方向的反向延长线一定过圆心O′，D正确．
答案：D
考点　带电粒子在有界磁场中运动
典例2　(2024·天津河西质检)空间高能粒子是引起航天器异常或故障，甚至失效的重要因素．某同学设计了一个屏蔽高能粒子辐射的装置，如图所示，铅盒左侧面中心O点有一放射源，放射源可通过铅盒右侧面的狭缝MQ以速率v向外辐射质量为m、电荷量为q的带正电的高能粒子．铅盒右侧有一左右边界平行、磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，过O点的截面MNPQ位于垂直于磁场的平面内，OH⊥MQ，∠MOH＝∠QOH＝60°.不计粒子所受重力，忽略粒子间的相互作用．
(1)求垂直磁场边界向左射出磁场的粒子在磁场中运动的时间t；
(2)若所有粒子均不能从磁场右边界穿出，从而达到屏蔽作用，求磁场区域的最小宽度d(结果可保留根号)．
解析：(1)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R
由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝
解得T＝
经分析可知，当粒子沿OH方向进入磁场时，粒子可垂直磁场边界向左射出磁场，有t＝
联立解得t＝.
(2)若沿OQ方向进入磁场的粒子的运动轨迹与磁场右边界相切，则所有粒子均不能从磁场右边界穿出，如图所示(磁场未画出)，根据几何关系有d＝R＋Rsin 60°
由(1)可得R＝
联立解得d＝.
答案：(1)　(2)
1．[带电粒子在直线边界磁场中运动](多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成α角向磁场中射入两个速率不同的相同粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，则(　　)
A．粒子1与粒子2的动能之比为1∶2
B．粒子1与粒子2的动能之比为1∶4
C．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶1
D．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶2
解析：由题意可知，粒子1和2圆周运动轨迹对应的弦长之比为1∶2，则粒子1和2运动轨迹的半径之比为1∶2，根据qvB＝m，得r＝，即速度之比为1∶2，又Ek＝mv2＝，可知粒子1与粒子2的动能之比为1∶4，A错误，B正确；根据T＝可知，两粒子周期相同，而由题意可知，两粒子圆周运动的圆心角相等，由t＝T可知，两粒子运动时间相等，又l＝vt，可知粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶2，C错误，D正确．
答案：BD
2．[带电粒子在圆形有界磁场中运动]如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是(　　)
A．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
B．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为∶1
D．沿径迹Ob、Od运动的粒子在磁场中运动时间之比为4∶3
解析：由左手定则知，沿径迹Oc、Od运动的粒子均带负电，A错误；正电子和负电子的电荷量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则qvB＝m，T＝，解得T＝，则四种粒子的运动周期相等，而沿径迹Oc运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由t＝T知沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最长，B错误；设圆形虚线框半径为r，根据几何关系得，沿径迹Oa、Ob运动的粒子轨迹半径分别为ra＝r、rb＝r，根据qBv＝m，得＝＝，C错误；沿径迹Ob、Od运动的粒子在磁场中的运动时间之比为偏转角之比，为＝＝＝，D正确．
答案：D
考点　带电粒子在匀强磁场中的多解问题
典例3　(2022·湖北卷)(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　)
A．kBL,0° B．kBL,0°
C．kBL,60° D．2kBL,60°
解析：若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图所示
根据几何关系则有R＝L
由qvB＝m可得v＝＝kBL
根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.
当粒子上下均经历一次时，如图所示
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝L
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
可得v＝＝kBL
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°
当粒子从上部分磁场射出时，需满足
v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°
故可知B、C正确，A、D错误．故选BC．
1．[临界状态不唯一形成多解](多选)如图所示，等腰梯形abcd区域(包含边界)存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，边长ab＝bc＝cd＝ad＝l，一质量为m、带电荷量为－q(q>0)的粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒子不能经过bc边，粒子的速度可能为(　　)
A． B．
C． D．
解析：为使粒子不能经过bc边，则粒子可以从ab边或cd边出磁场，临界点分别为b、c，其几何关系如图所示，当粒子过b点时，做圆周运动的圆心在O1点，根据几何关系可知r1＝ab＝l，则为使粒子从ab边出磁场，其运动半径应小于r1，根据牛顿第二定律可知qBv＝m，解得v1＝<；当粒子过c点时，做圆周运动的圆心在O2点，根据几何关系可知r2＝ac＝ab＝l，则为使粒子从cd边出磁场，其运动半径应大于r2，即v2＝＞，故A、C正确．
答案：AC
2．[带电粒子电性不确定形成多解]如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？
解析：题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论．
若q为正电荷，轨迹为①，如图所示，是与NN′相切的圆弧，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
又d＝r－
解得v＝
若q为负电荷，轨迹为②，如图所示，是与NN′相切的圆弧，由洛伦兹力提供向心力，有qv′B＝m
又d＝r′＋
解得v′＝.
答案：(q为正电荷)或(q为负电荷)
课题研究　“动态圆”模型
典例1　(多选)如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出．已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是(　　)
A．粒子的入射速度为
B．粒子的入射速度为
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为
D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
解析：电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入磁场区域，由左手定则可判断出粒子进入磁场区域向上偏转做匀速圆周运动，因bc边只有一半区域有粒子射出，恰好在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得r＝，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，联立解得粒子的入射速度v＝，A项正确，B项错误；粒子在匀强磁场中运动的最长轨迹弧长为s＝πr＝，C项正确；与bc边相切恰从bc边射出的粒子对应的圆心角最大为θ＝，从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为t＝＝，D项错误．
答案：AC
典例2　(2024·湖南明德中学模拟)(多选)如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则(　　)
A．从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为3∶2
B．粒子运动的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．磁场区域中有粒子通过的面积为d2
解析：如图甲所示，由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r＝d，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得粒子运动的速度大小为v＝，选项B正确；由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为，选项C错误；由图甲可知，磁场区域有粒子通过的面积为图甲中AOCDA区域的面积，即为d2＋πd2＝d2，选项D正确；由图乙可知，当速度垂直OB时，粒子刚好从D点射出，如图乙所示，由几何关系可知，当速度方向与OC的夹角为30°时，恰好从C点射出，则从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为：90°∶60°＝3∶2，选项A正确．
答案：ABD
典例3　(多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是(　　)
A．若该粒子的入射速度为v＝，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为
解析：若粒子射入磁场时速度为v＝，则由qvB＝m可得r＝l，由几何关系可知，粒子一定从CD边上距C点为l的位置离开磁场，选项A正确；因为r＝，所以v＝，因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD边相切时，能从CD边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝(＋1)l，故其最大速度为v＝，选项B正确，C错误；粒子在磁场中的运动周期为T＝，故当粒子从三角形的AC边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最长时间应为t＝，选项D正确．
答案：ABD(共58张PPT)
第2讲　磁场对运动电荷的作用
第九章　磁　场
理清教材 强基固本
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重难考点 全线突破
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课题研究 提升能力
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谢 谢 观 看
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