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吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．
1.样本数据的第70百分位数为（ ）
A．7 B．9 C．9.5 D．10
2. 已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（ ）
A． B. C. D.
3.从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
6．在中，角的对边分别为，已知三个向量，，共线，则△ABC的形状为（　　）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
7.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，每个开关闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
A． B． C． D．
8. 庑殿是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．下图是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设为复数，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C．若，则为纯虚数 D．若，且，则
10. 某企业对目前销售的四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：
下列说法正确的是（ ）
A．产品升级后，产品的营收是升级前的倍
B．产品升级后，产品的营收是升级前的倍
C．产品升级后，产品的营收减少
D．产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变
11.如图，在社会实践活动中，李明同学设计了一款很“萌”的圆台形台灯，台灯内装有两个相切且球心均在圆台的轴上的球形灯泡，上、下两灯泡的球面分别与圆台的上、下底面相切，且都与圆台的侧面相切，若上、下两球形灯泡的半径分别为和，则
A．圆台形台灯的母线所在直线与下底面所成角的大小为
B．圆台形台灯的母线长为
C．圆台形的上、下底面半径之积为
D．圆台形台灯的侧面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一组数据的中位数为，方差为，则另一组数据的中位数为______________，方差为______________．
13.在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则______________．
14. 非直角的内角的对边分别为，若，则
______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）如图，边长为4的正方形中，点，分别为，的中点．将，， 分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积.
16.（15分）如图，在平面四边形ABCD中，，．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求四边形ABCD的面积．
17. （15分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）
（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．
18.（17分）如图，四棱锥与三棱锥构成了一个组合体，其中在线段上，且、、三点共线.四边形是边长为的正方形，且，.为棱中点，且平面.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）求平面与平面所成角的大小.
19.（17分）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果不互相影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券游戏规则如下表：
游戏一 游戏二 游戏三
箱子中球的颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 (红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”)
取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球
获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜
（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
（2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大.

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