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第二章一元二次函数、方程和不等式检测卷-2024-2025学年高一数学上学期人教A版2019必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．负实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
6．已知，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
8．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，且，则（ ）
A．的最小值是 B．最小值为
C．的最大值是 D．的最小值是
10．已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．不等式的解集为 ．
13．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
14．已知正数满足，则当取得最小值时， ， ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）求函数的最小值；
（2）求函数的最大值.
16．已知某种商品的定价上涨成（1成即为，成即为），其销售量便相应减少成．按规定，税金是从销售额中按一定比例缴纳，如果这种商品的定价无论怎么变化，从销售额中扣除税金后所得金额总比涨价前的销售额少，试求这时税率的取值范围．
17．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．
18．已知函数，.
(1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数，，
(1)当时，解不等式；
(2)若任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为，当且仅当时取等，
所以，所以“”能推出“”，
取，满足，但，
“”不能推出“”,
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．A
【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可.
【详解】因为，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
3．A
【分析】根据为定值，消元后利用基本不等式求最值.
【详解】因为负实数、满足，则，可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为.
故选：A.
4．D
【分析】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解．
【详解】因为，所以，，
又，所以.
故选：D.
5．A
【分析】分方程是否是一元二次方程两种情况讨论即可求解.
【详解】当方程为一元二次方程时，方程有解，
则且，
解得：且，
当方程为一元一次方程时，
方程有解，则，
综上：当时，方程有实数根．
所以四个数中,不符合要求的值是2．
故选：A．
6．C
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及特例和作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，例如：，满足，但，所以A不正确；
对于B中，例如：，满足，但，所以B不正确；
对于C中，由，
因为，可得且，所以，所以C正确；
对于D中，由，可得，可得，
所以，所以D不正确.
故选：C.
7．D
【分析】根据二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,得出,且,代入消元即可.
【详解】根据题意,可以知道,的两根为.
由根与系数的关系得到： .
因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确.
且,对称轴为,,故C正确.
,两边同时除以,
得到,解得,故D错误.
故选:D.
8．B
【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案.
【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克，
，解得，
，当且仅当时，取到等号，
由于，所以.
故选：B
9．BC
【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D.
【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立，
即的最大值是，故A不正确；
对于B，∵，∴，，
所以，故B正确；
对于C，∵，且，∴，即
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，∵，
即时，等号成立，
所以的最小值是，故D错误．
故选：BC．
10．BC
【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D.
【详解】A：由，得，
即，得，
解得，当且仅当时等号成立，故A错误；
B：由选项A的分析知，故B正确；
C：由，得，即，
所以，
得，当且仅当时等号成立，故C正确；
D：由，得，即，
所以，得，
当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：BC
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．ACD
【分析】由不等式的性质直接求解.
【详解】因为，，则，，故A、C正确；
由题，故，B错误；
，则，故，D正确；
故选：ACD.
12．
【分析】法一：两边平方，化为一元二次不等式，求解即可；
法二：由绝对值的性质去掉绝对值，再将分式不等式转化为一元二次不等式，由其解法得出解集.
【详解】法一：不等式等价于，整理得.
即，解得，
则不等式的解集为.
法二：当时，满足；
当时，不等式，可化为，
即或，即或，
即或.
解得或.
综上，不等式的解集为.
故答案为：
13．
【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为不等式恒成立，则,
因为,所以，当且仅当取等号，
所以.
故答案为：.
14． / /
【分析】巧用“1“可得答案.
【详解】因为正数满足，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值16.
故答案为：①，②.
15．（1）；（2）
【分析】（1）通过减加，将目标式配凑成积为定值，然后利用基本不等式可得；
（2）通过乘以除以，将目标式配凑成和为定值，然后利用基本不等式可得.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为.
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故函数的最大值为.
16．．
【分析】根据题意列出不等式，即可由一元二次不等式求解.
【详解】解：设原定价为，原销量为，则原销售额为．
，化简得．
∵，∴．
对恒成立．
∴，化简得,解得，
即税率的取值范围为．
17．当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果；
【详解】
设，上底，
分别过点作下底的垂线，垂足分别为，
则，，
则下底，
该等腰梯形的面积，
所以，则，
所用篱笆长为
，
当且仅当，即，时取等号．
所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据方程根的情况，结合判别式与韦达定理列不等式，解不等式即可；
（2）方法一：不等式可化为，变化主元，转化为关于的一次函数，结合一次函数值域可得不等式，解不等式；方法二：分情况讨论，分离参数，解决不等式恒成立问题.
【详解】（1）关于的方程有两个实数根，，
则，解得，
又，
则，即，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）方法一：不等式可化为（*），
令，
由题知对恒成立
则有，
得，
得或，
综上得的取值范围是；
方法二：不等式可化为（*）.
由题知不等式（*）对恒成立.
①当，即时，得到，使得对恒成立，所以，解得或（舍）；
②当，时，不等式（*）显然不成立，此时不符合题意；
③当，时，得到，使得对恒成立，则，解得或（舍），
综上得的取值范围是.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）作差后解一元二次不等式即可.
（2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；
解法二：分离参数，构造函数，利用基本不等式求解最值即可求解；
（3）把问题转化为，利用动轴定区间分类讨论即可求解.
【详解】（1）当时，，
所以，所以，所以的解集为.
（2）若对任意，都有成立，即在恒成立，
解法一：设，，对称轴，由题意，只须，
①当，即时，在上单调递增，所以，符合题意，所以；
②当，即时，在上单调递城，在单调递增，
所以，解得且，
所以.
综上，.
解法二：不等式可化为，即，设，，
由题意，只须，，
当且仅当即时等号成立，则，
所以，即.
（3）若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，，
，对称轴，在递减，在递增，
，，，对称轴，
①即时，在递增，恒成立；
②即时，在递减，在递增，
，，所以，故；
③即时，在递减，，，
所以，解得，综上：.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立（有解）问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数单调性、基本不等式求解最值是解决问题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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