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（5）数列
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.等差数列通项公式：.
2.等差中项公式：.
3.等差数列前n项和公式：.
4.等差数列的性质：
已知数列是等差数列，是的前n项和.
（1）若，则有.
（2）等差数列的单调性：当时，是递增函数；当时，是递减函数；当时，是常数列.
（3）若是等差数列，公差为d，则是公差为的等差数列.
（4）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，其公差是的公差的.
（5）若是等差数列，分别为的前m项，前2m项，前3m项的和，则成等差数列，公差为（d为数列的公差）.
5.等比数列通项公式：.
6.等比中项公式：.
7.等比数列前n项和公式：.
8.等比数列的前n项和的性质：
（1）当（或且k为奇数）时，是等比数列.
（2）若，则成等比数列.
（3）若数列的项数为2n，与分别为偶数项与奇数项的和，则；若项数为，则.
【易错题练习】
1.记正项等差数列的前n项和为，，，则( )
A.23 B.24 C.25 D.26
2.已知数列满足，，则数列的前4项和等于( )
A.16 B.24 C.30 D.62
3.记为等比数列的前n项和.若，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知正项等比数列的前n项和为.若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前n项和为，，，则满足的n的值为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
6.（多选）设是公比为正数的等比数列的前n项和.若，，则( )
A. B.
C.为常数 D.为等比数列
7.（多选）若为等差数列，，则下列说法正确的是( )
A.
B.-20是数列中的项
C.数列单调递减
D.数列前7项和最大
8.记为等差数列的前n项和.若，，则__________.
9.已知正项等比数列的前n项和为，若，，则__________.
10.已知数列的前n项和为，且满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设等差数列的公差为d.令，得，即，，解得或（不符合题意，舍去），则，则，故选A.
2.答案：C
解析：由已知可得，当时，；
当时，；当时，；
所以数列的前4项和等于，故选：C.
3.答案：B
解析：设等比数列的公比为q，则由解得所以，，所以，故选B.
4.答案：A
解析：设正项等比数列的公比为，，.，，，，解得（负值舍去），，，.故选A.
5.答案：B
解析：由，得.设的公差为d，则由，可得，得，所以，则，当时，，当时，，则当时，，当时，，当时，，（另解
，易知当时，，又，所以当时，）故选B.
6.答案：ACD
解析：设的公比为，则，解得，故，则，.对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，为常数，故C正确；对于D，由，，，可得为等比数列，故D正确.故选ACD.
7.答案：ACD
解析：因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，由，得，故B错误，因为，所以数列单调递减，故C正确，由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.故选：ACD
8.答案：95
解析：解法一：设的公差为d，由，，解得，，则.
解法二：设的公差为d，由，，得，，故，，则.
9.答案：
解析：方法一：设等比数列的公比为q，由题意知且，则，解得.则，，.
方法二：设等比数列的公比为q，根据等比数列的性质，得，，成公比为的等比数列，.又等比数列的各项均为正数，，又，，.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）由得.
因为，，
所以，两式相减并化简得，
所以，两式相减得，
所以数列为等差数列.
当时，，所以.
设等差数列的公差为d，因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，所以，
则，，
所以，
所以.

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