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（7）空间向量与立体几何
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.一般地，表面积=侧面积+底面积.
多面体 侧面展开图 面积公式
棱柱 （如三棱柱）
棱锥 （如三棱锥）
棱台 （如三棱台）
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 侧面展开图 面积公式
圆柱 底面积： 侧面积： 表面积：
圆锥 底面积： 侧面积： 表面积：
圆台 上底面面积： 下底面面积： 侧面积： 表面积：
3.柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积公式
柱体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
锥体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
台体 （分别为上、下底面面积，为高）， （分别为上、下底面半径，为高）
4.球的表面积和体积
（1）球的表面积：设球的半径为，则球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
（2）球的体积：设球的半径为，则球的体积为.
5.直线与直线平行：
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.
6.等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7.直线与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ，，且.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
8.直线与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ，，.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
9.平面与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ，，，，
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
10.平面与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ，，.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
11.异面直线所成的角：
（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（2）异面直线所成的角的取值范围：.
（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即时，与互相垂直，记作.
12.直线与平面垂直的概念
定义 如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作， 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.它们唯一的公共点叫做垂足.
画法图示 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示
点到面的距离 线到面的距离 两面间的距离 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
13.直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. ，，，， .
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
14.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，图中直线.
斜足 斜线和平面的交点，图中点.
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是的角.
取值范围
15.直线与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行. ，
16.二面角的概念
概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图示
记法 棱为，面分别为的二面角记为. 也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
图示
符号 ，，，，，，是二面角的平面角.
范围
规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
17.平面与平面垂直
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作.如图
（2）判定定理：
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ，.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
18.平面与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ，，，.
该定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”.
19.一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
20.直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如下图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则.
21.平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为，则.
【易错题练习】
1.一个五面体.已知，且两两之间距离为1，，，，则该五面体的体积为( )
A. B. C. D.
2.已知空间中有两个不重合的平面，和两条不重合的直线m，n，则下列说法中正确的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
3.如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为BE的中点，则下列结论错误的是( )
A.点A，B，C，F共面 B.平面平面CDF
C. D.平面ACD
4.如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知中，，D为的中点.将沿翻折，使点C移动至点E，在翻折过程中，下列说法不正确的是( )
A.平面平面
B.三棱锥的体积为定值
C.当二面角的平面角为时，三棱锥的体积为
D.当二面角为直二面角时，三棱锥的内切球表面积为
6.（多选）已知正方体的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且，点Q是棱的中点，点P是棱上的动点，则下面结论中正确的是( )
A.PQ与EF一定不垂直 B.二面角的正弦值是
C.的面积是 D.点P到平面QEF的距离是定值
7.（多选）如图，在正方体中，点P在线段上运动，有下列判断，其中正确的是( )
A.平面平面
B.平面
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.三棱锥的体积不变
8.如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，与相交于点N，P是底面ABCD内（含边界）的动点，总有，则动点P的轨迹的长度为___________.
9.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面底面ABCD，且，则四棱锥的外接球的表面积为__________.
10.如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点，且，P是线段BC的中点.
（1）求证：平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱锥的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积，故选C.
2.答案：A
解析：若，，则或，又，所以，故A正确；
若，，则或，又，则或n与斜交或均有可能，故B错误；
若，，则或，又，因此m和n的位置关系可能为平行、相交或异面，故C错误；
若，，，则或，故D错误.
综上，选A.
3.答案：D
解析：A选项：如图，取CD的中点H，连接GH，FH，AG，AH，易得，，，则平面，平面AFH，所以A，G，H，F四点共面，由题意知，，所以四边形AGHF是平行四边形，所以，因为，所以，所以A，B，C，F四点共面，故A正确；
B选项：由选项A知，又平面，平面CDF，所以平面CDF，因为，且平面，平面CDF，所以平面CDF，又平面，平面ABE，且，所以平面平面CDF，故B正确；
C选项：由选项A可得平面AGHF，又平面AGHF，所以，故C正确；
D选项：假设平面ACD，则，由选项A知四边形AGHF是平行四边形，所以四边形AGHF是菱形，与，矛盾，故D错误.
4.答案：A
解析：如图，设正方体的棱长为1，，则.以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则，，，故，，又，则，所以.
在正方体中，连接，可知体对角线平面，所以是平面的一个法向量，所以.所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值.所以，故选A.
5.答案：B
解析：如图：
A选项，，，，所以平面，因为平面，故平面平面，A正确，不符合题意.
B选项，由A知平面，但的面积不是定值，故三棱锥的体积不是定值，B错误，符合题意.
C选项，二面角的平面角为，当时，，
三棱锥的体积为，C正确，不符合题意.
D选项，当二面角为直二面角时，，三棱锥的表面积为，
设内切球半径为r，则由等体积法知，解得，所以内切球表面积，D正确.
6.答案：BCD
解析：对于A，当点P与点重合时，，故选项A错误.
对于B，由于点P是棱上的动点，EF是棱AB上的一条线段，所以平面PEF即为平面，平面QEF即为平面QAB.
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，.
设平面QAB的一个法向量为，则即
令，则.
设平面的法向量为，
则即
令，则.
设二面角的大小为，所以，故，故选项B正确.
对于C，由于平面，平面，所以，所以，所以是的高，所以，故选项C正确.
对于D，由于，且平面，平面QEF，所以平面QEF，又点P在上，所以点P到平面QEF的距离是定值，故选项D正确.故选BCD.
7.答案：ABD
解析：对于A，连接DB，如图，因为在正方体中，平面ABCD，又平面ABCD，所以，因为在正方形ABCD中，，又DB与为平面内的两条相交直线，所以平面，又因为平面，所以，同理可得，因为与AC为平面内两条相交直线，所以平面，又平面，从而平面平面，故A正确；
对于B，连接，，如图，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；
对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，当P与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值，当P与线段的中点重合时，与所成角取得最大值，所以与所成角的范围是，故C错误；对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，即点P到平面的距离不变，不妨设为h，则，所以三棱锥的体积不变，故D正确.故选ABD.
8.答案：
解析：如图，连接，，，，，因为N，M分别是，的中点，所以.由正方体的性质易知，，，所以平面，所以.同理可证.又，所以平面，即平面，因此当时，总有，所以动点P的轨迹是线段BD.又正方体的棱长为2，所以.
9.答案：
解析：设正方形ABCD的中心为，的外心为G，取AB的中点E，连接，，，则，，以，为邻边作平行四边形，如图.
因为侧面底面，，平面平面，平面PAB，所以平面ABCD，所以.则平面ABCD，同理可知平面PAB.连接OA，OB，OC，OD，OP，则，所以O就是该四棱锥外接球的球心.连接BG，PE，由，，得，，解得.设该四棱锥的外接球半径为R，在中，，则四棱锥的外接球的表面积为.
10.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AB的中点H，连接，，如图所示，
因为P为BC的中点，所以，.
在等腰梯形中，，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）以直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中，，
此梯形的高为.
因为，，
则，，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面的夹角为，
则.

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