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2023-2024学年第二学期六校期末联考
高一数学试卷
（十二师高级中学、十一师一中、六十九中、十一师四中、六十一中、行知学校）
考试范围：必修第二册第六、七、八、九章 考试时间：120分钟 分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项）
1．复数的虚部是（ ）
A．5 B． C． D．
2．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监督局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽检54家，则粮食加工品店需要被抽检（ ）
A．40家 B．45家 C．50家 D．55家
3．向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．一组数据从小到大排列为：，则该组数据的分位数为（ ）
A．6.5 B．7 C．9 D．12
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标,常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）
A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为20379元
11．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．当为中点时，
C．三棱锥的体积为定值 D．直线到平面的距离为
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第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，则 .
13．已知向量，，且，则实数 .
14．某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m.
四、解答题（本题共5小题，共70分，解答用写出文字说明，证明过程或演算过程）
15．如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的半径为3 cm，求该组合体的体积和表面积. （，）

16．某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(1)求出m的值
(2)求样本质量指标值的平均数和第75百分位数
(3)若样本质量指标值在区间内的平均数和方差为67和51，在区间[70,80]内的平均数和方差为77和21，据此估计在[60,80]内的平均数和方差.
17．在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：
①；②；③.
(1)求角的大小；
(2)若，求的值.
18．如图，是平面外一点，四边形是矩形，⊥平面，，．是的中点．
(1)求证：PB∥平面
(2)求证：平面⊥平面；
(3)求与平面所成角的正弦值．
19．欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式；
(2)求的最大值；
(3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据复数虚部的概念求解即可.
【详解】复数的虚部是.
故选：B.
2．A
【分析】根据题意，结合分层抽样的定义和计算方法，即可求解.
【详解】根据分层随机抽样定义和计算方法，可得粮食加工品店被抽检家.
故选：A.
3．A
【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算公式和投影向量的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由向量，，可得，且，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
4．D
【分析】根据百分位数概念计算即可.
【详解】因为，所以该组数据的分位数是第7个数12.
故选：D.
5．C
【分析】利用正弦定理求出，即可求出.
【详解】由正弦定理，则，
又，所以，所以，
所以.
故选：C
6．D
【分析】由空间中的线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可.
【详解】若，，则或，所以A错；，，，，或，所以B错；
若，，，则，所以C错；若，，，则与两面的交线平行，即，故D对.
故选：D.
7．D
【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.
【详解】对A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，
则，故A正确；
对B：由图可知，，，所以，
故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：D.
8．C
【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,作出异面直线的平面角，利用余弦定理求解即可.
【详解】连接，取的中点，
连接,
由题意知，,
则异面直线与所成角为（或其补角），
在中，,
则,
则异面直线与所成角的余弦值为，
故选：C.
9．BCD
【分析】根据题意，利用三角形的内角和，以及正弦定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，可得，所以A不正确；
对于B中，在中，因为，可得，所以B正确；
对于C中，因为，由正弦定理得，所以，所以C正确；
对于D中，因为，可得，由正弦定理得，所以D正确.
故选：BCD.
10．AC
【分析】根据给定的折线图，结合统计知识逐项分析判断得解.
【详解】对于A，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，A正确；
对于B，由题中折线图知，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B错误；
对于C，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元，
人均消费支出的极差为元，C正确；
对于D，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D错误.
故选：AC
11．ABC
【分析】根据平行四边形，即可求解A，根据等腰三角形以及中点即可求证，即可求解B，根据体积公式即可求解C，根据面面平行，即可结合等体积公式即可求解D.
【详解】连接，正方体中，且，四边形为平行四边形，则，
因为分别是的中点，所以，故正确;
连接，正方体中，．
当为中点时，由于,所以，由于，所以，故正确;
，在三棱锥中，底面积为定值，
棱锥的高等于是定值，三棱锥的体积为定值，则三棱锥体积为定值，故正确;
连接由于平面，平面,所以平面，
同理可证平面，平面，故平面平面，
平面,所以直线平面平行，
故直线到平面的距离，即为点到平面的距离，设距离为，
,故D错误．
故选：ABC．
12．
【分析】根据条件，利用复数的四则运算求出复数，再求其模长即得.
【详解】由可得，，则.
故答案为：.
13．
【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算，求的值.
【详解】，由得，解得.
故答案为：.
14．
【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函数的定义即可求得，由此解答即可.
【详解】因为在中，，，，
所以，
由正弦定理得，即，解得，
在中，，所以，
故塔高.
故答案为：.
15．体积为，表面积.
【分析】根据球与长方体的体积公式、表面积公式计算即可.
【详解】该组合体的体积为：，............6分
该组合体的表面积为：...........7分
16．(1)
(2)平均数为，第75百分位数是85；
(3)74，51
【分析】（1）运用频率分布直方图中所有频率之和为1即可求出；
（2）根据平均数、百分位数的概念及计算公式即可
（3）利用公式计算即可.
【详解】（1）由题意知，解得，
...................................................................3分
样本质量指标值的平均数为，
...............................................................6分
前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，
故第75百分位数位于第4组，设其为，
则，解得，
即第75百分位数为85....................................9分
在[60,80]在内的平均数67+77=74..................12分
在[60,80]在内的方差[51+]+[21+]=51
...............................................15分
17．(1)所选条件见解析，
(2)
【分析】（1）若选①：利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；若选②：利用正弦定理边化角即可结果；若选③：利用三角恒等变换分析求解；
（2）利用余弦定理分析求解.
【详解】（1）若选①：因为，
由正弦定理可得，
且，则，可得，
且，所以；
若选②：因为，由正弦定理可得，
且，则，可得，
且，所以；
若选③：因为，
则，可得
且，则，可得，
且，所以.
..........................................................................7分
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得：，
又，
即，解得...................15分
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接OE，通过证明即可证明PB∥平面；
（2）因为，可通过证明得证⊥平面进而得证；
（3）设AD的中点为H，连结EH、CH，可证与平面所成角为，由几何关系可求.
【详解】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，连接OE．
四边形是矩形O为BD的中点，
又E是的中点．PB∥OE．..............................3分
又平面，平面，
PB∥平面；..........................................5分
（2）证明：⊥平面，且四边形是矩形，
，，又，⊥平面；.............................8分
CD∥AB，⊥平面；又平面，
平面⊥平面；................................................................10分
（3）设AD的中点为H，连结EH、CH，
PA⊥平面ABCD，EH∥PA，EH⊥平面ABCD，
EC是平面ABCD的斜线，HC是EC在平面ABCD内的射影，
即为斜线EC和平面ABCD所成的角．.............................13分
在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，
又，在中，，
与平面所成角的正弦值为..................................................17分
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据欧拉公式直接可得解；
（2）由欧拉公式可证明，并得到，这即得结果；
（3）根据单位根的概念，代入化简即可.
【详解】（1）由欧拉公式有
.........................5分
（2）由于，，故，
而当时，有.
故的最大值是.........................................................10分
（3）由于，故，而，所以.
故
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）.
所以...........................................................17分
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用.保密★启用前
2023-2024学年第二学期六校期末联考
高一数学试卷
（十二师高级中学、十一师一中、六十九中、十一师四中、六十一中、行知学校）
考试范围：必修第二册第六、七、八、九章 考试时间：120分钟 分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项）
1．复数的虚部是（ ）
A．5 B． C． D．
2．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监督局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽检54家，则粮食加工品店需要被抽检（ ）
A．40家 B．45家 C．50家 D．55家
3．向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．一组数据从小到大排列为：，则该组数据的分位数为（ ）
A．6.5 B．7 C．9 D．12
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标,常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）
A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为20379元
11．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．当为中点时，
C．三棱锥的体积为定值 D．直线到平面的距离为
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第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，则 .
13．已知向量，，且，则实数 .
14．某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答用写出文字说明，证明过程或演算过程）
15．（13分）如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的半径为3 cm，求该组合体的体积和表面积. （，）

16．（15分）某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(1)求出m的值
(2)求样本质量指标值的平均数和第75百分位数
(3)若样本质量指标值在区间内的平均数和方差为67和51，在区间[70,80内的平均数和方差为77和21，据此估计在[60,80内的平均数和方差.
17．（15分）在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：
①；②；③.
(1)求角的大小；
(2)若，求的值.
18．（17分）如图，是平面外一点，四边形是矩形，⊥平面，，．是的中点．
(1)求证：PB∥平面
(2)求证：平面⊥平面；
(3)求与平面所成角的正弦值．
19．（17分）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式；
(2)求的最大值；
(3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值。

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