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2023-2024学年四川省攀枝花市高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列满足，则首项( )
A. B. C. D.
3.由这个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数满足，则在处的导数为( )
A. B. C. D.
5.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 在处取得最大值 B. 在区间上单调递减
C. 在处取得极大值 D. 在区间上有个极大值点
6.设为同一个随机试验中的两个随机事件，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 二项式系数最大的项是第项
C. 展开式的常数项为 D. 展开式的有理项共有项
10.甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为和单位：，其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
乙品牌的走时误差分布列
则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，棱长均为的正三棱柱中，分别是的中点，则( )
A. 平面
B.
C. 到平面的距离为
D. 直线与所成角的余弦值为
12.若函数存在两个极值点，则( )
A. 函数至少有一个零点 B. 或
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则正整数 ．
14.乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺生态宜居乡风文明治理有效生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示：
第年
收入单位：亿元
由上表可得关于的近似回归方程为，则第年该乡镇财政收入预计为______ ___亿元．
15.从名男生和名女生中选出人去参加一项创新大赛，如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，则不同的选法种数为 用数字作答．
16.已知函数是自然对数的底数，则函数的最大值为 ；若关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数在处有极值．
求的解析式；
求在上的最大值和最小值．
18.本小题分
近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份
销量万台
某机构调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：
购置传统燃油车 购置新能源车 总计
男性车主
女性车主
总计
求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与之间的线性相关关系的强弱；若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱
请将上述列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系？
参考公式：相关系数；
参考数据：；
卡方临界值表：
其中，．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且满足，公差不为的等差数列中，，且是与的等比中项．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，点是棱上的一点，平面．

求证：点是棱的中点；
若平面与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．
21.本小题分
年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挥洒汗水挑战极限实现梦想最终，中国代表团以枚金牌枚银牌枚铜牌，总计枚奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，激发了大学生积极进行体育锻炼的热情已知甲乙两名大学生每天上午下午都各用半个小时进行体育锻炼，近天选择体育锻炼项目情况统计如下：
体育锻炼项目情况 上午，下午 足球，足球 足球，羽毛球 羽毛球，足球 羽毛球，羽毛球
甲 天 天
乙 天 天 天 天
假设甲乙在上午下午选择体育锻炼的项目相互独立，用频率估计概率已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下，下午锻炼仍选择羽毛球的概率为．
请将表格内容补充完整写出计算过程；
记为甲乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值求的分布列和数学期望；
已知在这天中上午室外温度在度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在度以下的概率．
22.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
讨论函数的零点个数．
答案解析
1.
【解析】由随机变量服从正态分布，得，而，
则，
所以．
故选：
2.
【解析】设等比数列的公比为，
由，得
所以．
故选：
3.
【解析】当个位数字是时，无重复数字的四位偶数的个数是，
当个位数字是时，无重复数字的四位偶数的个数是，
所以不同的排法种数为．
故选：
4.
【解析】函数，求导得，
因此，即，
所以．
故选：
5.
【解析】由导函数的图象可知：
非负
递增 极大值 递减 极小值 递增
故选：
6.
【解析】由，得，
由，
得，所以．
故选：
7.
【解析】设，，因为，
由；由．
所以函数在上递减，在上递增．
所以，
又，，所以．
再设，，因为，
由；由．
所以函数在上递减，在上递增．
所以．
又，即．
故．
故选：
8.
【解析】依题意，，
由是唯一的最大值，得，即
则，整理得，解得，
而，因此，所以．
故选：
9.
【解析】由二项式的展开式中各项系数之和是，得当时，，解得，
对于，展开式共项，A错误；
对于，二项式系数最大的项是第项，B正确；
二项式展开式的通项，
对于，由，得，则展开式的常数项， C正确；
对于，由为整数，得，因此展开式的有理项共有项，D错误．
故选：
10.
【解析】对于，，， A正确；
对于，，， B正确；
对于，， C正确；
对于，， D错误．
故选：
11.
【解析】如图：以中点为原点，建立空间直角坐标系．
则：，，，，，，，．
所以，，，，．
设平面的法向量为：，则：
，取．
对：因为，所以平面不成立，故 A错误；
对：因为，所以成立，故 B正确；
对：点到平面的距离为：，故 C正确；
对：设直线与所成的角为，则，故 D正确．
故选：
12.
【解析】对于，由，得是的一个零点， A正确；
对于，函数定义域为，
求导得，由存在两个极值点，
得方程有两个不相等的正实根，即有两个变号零点，
因此，且，解得， B错误；
对于，由，，得，则， C正确；
对于，
，
令，求导得，
即在上单调递增，因此， D正确．
故选：
13.
【解析】解：由题可得，
即，
即，
因为，所以得．
故答案为：．
14.
【解析】因为：，，由线性回归方程一定经过样本中心点，可得：
，所以，即．
当时，．
故答案为：
15.
【解析】若甲入选，乙没入选，从除了乙之外的人选择人，有种情况，
若乙入选，甲没入选，同理可得，有种情况，
若甲乙均入选，则从除甲乙外的人中选择人，有种情况，
综上，共有种情况．
故答案为：
16.
【解析】解：函数的导数为，令，则，
当时，，递增；当时，，递减，
可得在处取得最大值，
当，作出的图象如下，
设，关于的方程，即为，
解得或，
当时，只有一个实根；
由题意可得有两个不等实根，
由图象可得，
解得．
故答案为；
17.解：函数，求导得，
依题意，，解得，此时，
当或时，当时，，则在处取得极大值，因此，
，由，解得，
所以函数的解析式为．
由知，，且函数在上递增，在上递减，
当时，，，
所以函数在上的最大值是，最小值是．

【解析】求出函数的导数，利用极值点、极值建立方程求解并验证即得．
由求出函数的单调区间，再求出最值．
18.解：由表格知：，，
所以，
，
，
由上，有，
所以与之间的线性相关性较强；
依题意，完善表格如下：
购置传统燃油车 购置新能源车 总计
男性车主
女性车主
总计
则的观测值，
根据小概率值的独立性检验，我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于．
【解析】根据公式计算相关系数，进而判断相关性强弱；
完成联表，根据公式计算，结合临界值表判断是否有关．
19.解：数列的前项和为，，当时，，
两式相减得，即，由，得，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，；
由是与的等比中项，得，又，则，
整理得，又，解得，于是，
所以数列的通项公式分别为，．
由知，，
，
于是，
两式相减得，
所以．
【解析】利用与的关系求出；利用等比中项的定义求出，进而求出．
利用的结论求出，再利用错位丰减法求和即得．
20.解：

连接交于点，连接，
因为为矩形，所以点是是中点，
因为平面，平面，平面平面，
所以，因为点是是中点，
所以点是棱的中点；
（2）因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为为矩形，所以，
因为，平面，
所以平面，所以就是与平面所成的角，
可得，，
以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，
设是平面的一个法向量，
可得，所以
令，可得，所以，
设是平面的一个法向量，
可得，所以
令，可得，所以，
所以，
所以二面角的余弦值为．


【解析】连接交于点，利用线面平行的性质定理可得答案；
利用线面垂直的判定定理可得就是与平面所成的角，求出，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案．
21.解：设事件为“甲上午选择羽毛球”，事件为“甲下午选择羽毛球”，
设甲一天中锻炼情况为羽毛球，足球的天数为，
则，解得，
所以甲一天中锻炼情况为足球，羽毛球的天数为，
体育锻炼项目的情况上午，下午 足球，足球 足球，羽毛球 羽毛球，足球 羽毛球，羽毛球
甲 天 天 天 天
天 天 天 天
依题意，甲上午下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为；
乙上午下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为．
记为甲乙在一天中选择体育锻炼项目个数之差的绝对值，则的所有可能取值为，
，，
所以的分布列为：
所以．
记事件为“上午室外温度在度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”，
由题意知，
．
故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在度以下的概率为．
【解析】根据条件概率的计算公式得到甲一天中锻炼情况为羽毛球，足球的天数，从而可补充表格内容．
先用古典概型计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率，再确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得期望．
利用条件概率的计算公式即可求解．
22.解：当时，，求导得，则，而，
于是曲线在点处的切线为，即，
直线交轴于点，交于点，
所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．
函数的定义域为，
求导得，
当时，则，函数在上单调递减，
显然，当时，，，
则，，，
于是，因此函数有唯一零点；
若，由得，
当时，，当时，，
则在单调递减，在单调递增，，
显然函数在上单调递增，
当时，，函数无零点；
当时，，函数有唯一零点；
当时，，当时，，，
则，，，于是，函数在上有一个零点，
当时，显然，，
，
因此，令，求导得，
即在上单调递增，，于是，
从而函数在上有一个零点，
于是当时，函数有两个零点，
所以当或时，函数有个零点；当时，有两个零点；当时，无零点．
【解析】把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解．
求出函数的导数，分类讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及函数最值情况探讨零点即可．
第1页，共1页

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