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1.2.1 有理数 学案
（一）学习目标：
1.理解有理数的概念，将根据特定标准对它们进行分类，以提升分类技能。
2.掌握分类准则与其分类结果之间的关联性，初步认识“集合”概念。
3.了解数学中常用的一种解决问题的方法是分类体验。
（二）学习重难点：
重点：正确理解有理数的概念
难点：根据既定的准则实施分类工作。
阅读课本，识记知识：
1.有理数定义：正整数、0、负整数统称整数，正分数、负分数统称分数，整数和分数统称有理数。
2.有理数的分类
3.注意：
（1）整数可以看成是分母为1的分数，所以有理数都可以写成分数的形式；有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，所以有限小数和无限循环小数都是有理数。
（2）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数。
4.零的作用
（1）表示数的性质，例如0是自然数；
（2）表示没有，例如有5个本子，用+5表示，没有本子用0表示；
（3）表示正数与负数的分界。
【例1】下列各数:,-0.,0,其中有理数的个数为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
【答案】C　有理数有,-0.,0,共3个.
【例2】 在0,2,-2.6,-3中,属于负整数的是(　　)
A.0　　　B.2　　　C.-2.6　　　D.-3
【答案】D　0既不是正数也不是负数,2是正整数,-2.6是负分数,-3是负整数.
选择题
1．在，，，，，，，，，中负整数的个数是（　　）
A．4个 B．5个 C．2个 D． 3个
2．唐代嘉兴屯田27处，“浙西三屯，嘉禾为大”，嘉兴已成为中国东南重要产粮区．其中的自然数27属于（　　）
A．计数 B．测量 C．标号 D．排序
3．在，，4，，0，中，表示有理数的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．下列语句正确的是（　　）
①一个数前面加上“”号，这个数就是负数；②如果是正数，那么一定是负数；
③一个有理数不是正的就是负的；④表示没有温度；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．下列各数：，，0，，，11中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．下列说法正确的是（ ）
A．所有的整数都是正数 B．整数、0和分数统称为有理数
C．0是最小的有理数 D．是最大的负整数
7.下列说法中,正确的是(　　)
A.正有理数和负有理数统称为有理数
B.正分数、零、负分数统称为分数
C.零不是自然数,但它是有理数
D.一个有理数不是整数就是分数
8.下列选项中,所填的数正确的是(　　)
A.正数:
B.非负数:{0,-1,-2.5,…}
C.分数:
D.整数:
9．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④是无限循环小数；⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法为（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤
10．下列说法正确的是（ ）
A．正整数和负整数统称整数 B．一定是负数
C．（为整数）表示一个奇数 D．非负数包括零和负数
填空题
11．一个人唱《可可托海的牧羊人》需要5分40秒，全班50人合唱需要 ．
12．0既不是 ，也不是 ．0是 和 的分界点．
13.以下各数：，0.6，-100，，0，，368中，正数有 ；负数有 ，既不是正数也不是负数的是 ．
14．若无理数x与的积是一个正整数，则x的最小值是 ．
15.在①；②；③ 0；④；⑤中，是非负数的是 （填序号）
三、解答题
16．把下列各数填在相应的集合内：
．
正有理数集合{ …}；
负分数集合 { …}；
整数集合 { …}．
17.如图,将一串有理数按下列规律排列,回答下列问题:
(1)在A处的数是正数还是负数
(2)负数排在A,B,C,D中的什么位置
(3)第2 022个数是正数还是负数 排在对应于A,B,C,D中的什么位置
18.我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．
(1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）；
(2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）；
(3)在中，属于非负有理数的是 　 　．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1．C
【分析】根据负整数定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：在，，，，，，，，，中负整数有，共2个，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数分类，熟记负整数定义是解决问题的关键．
2．A
【分析】27表示屯田的数量，属于计数．
【详解】解：自然数27属于计数．
故选：A．
【点睛】本题考查有理数，做此题的关键在于理解计数、测量、标号、排序的区别．
3．C
【分析】先根据有理数的概念判断出有理数，再计算个数．
【详解】解：在，，4，，0，中，
表示有理数的有：，4，，0，，共有5个，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的概念，要掌握：整数和分数统称有理数，其中不是有理数．
4．B
【分析】根据正负数的定义和0的意义进行逐一判断即可．
【详解】解：①一个正数前面加上“”号，这个数就是负数，说法错误；
②如果是正数，那么一定是负数，说法正确；
③0是有理数，但是0既不是正数也不是负数，说法错误；
④表示有温度，说法错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了正负数的定义和0的意义，熟知相关知识是解题的关键．
5．B
【分析】根据负数的定义及常见负数形式即可得到答案．
【详解】解：，，0，，，11中，负数有，，，共计3个，
故选：B．
【点睛】本题考查负数定义，熟记常见负数的形式进行判断是解决问题的关键．
6．D
【分析】根据有理数的相关知识逐一判断即可．
【详解】解：A．整数包括正整数、负整数和0，则A错误，故A选项不符合题意；
B．整数包含了0，则B错误，故B选项不符合题意；
C．负数比0小，且是有理数，则C错误，故C选项不符合题意；
D．是最大的负整数，则D正确，故D选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的相关知识点是解题的关键．
7.D　【分析】正有理数,零和负有理数统称为有理数,故选项A不合题意;正分数和负分数统称为分数,故选项B不合题意;零是自然数,也是有理数,故选项C不合题意;一个有理数不是整数就是分数,说法正确,故选项D符合题意.故选D.
8.A　【分析】B中,-1,-2.5为负数;C中,不是分数;D中,3为分数.
故选A.
9．B
【分析】根据有理数的分类进行分析解答即可．
【详解】解：没有最小的整数，故①错误，
0既不是正数也不是负数，但是有理数，故②错误，
非负数是正数和0，故③错误，
是有限小数，故④错误，
正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑤正确，
综上可知，错误的说法为①②③④，
故选：B
【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
10．C
【分析】根据有理数的分类进行判断即可．
【详解】解：A．正整数、0和负整数统称整数，说法错误，不符合题意；
B．不一定是负数，说法错误，不符合题意；
C．（为整数）表示一个奇数，说法正确，符合题意；
D．非负数包括零和正数，说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．
11．5分40秒
【分析】根据题意和数学常识求解即可．
【详解】解：50个人合唱这首歌用的时间和一人唱这首歌用的时间相同，都是5分40秒．
故答案为：5分40秒．
【点睛】此题考查了数学常识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12．正数/负数 负数/正数 正数/负数 负数/正数
【分析】根据0的意义求解即可．
【详解】解：0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点，
故答案为：正数；负数；正数；负数．
【点睛】本题主要考查了0的意义，熟知0的意义是解题的关键．
13． 0.6，，368 ，-100， 0
【分析】根据正数、负数的概念，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，则
正数有：0.6，，368；
负数有：，，；
既不是正数也不是负数的是0；
故答案为：0.6，，368；，，；0；
【点睛】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握所学的定义进行判断．
14．
【分析】由题意可得x是含有的无理数，再根据最小的正整数是1，从而可求x的值．
【详解】∵，无理数x与的积是一个正整数，
∴x是含有的无理数，
∵最小的正整数是1，
∴x其最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，无理数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．②③④
【分析】根据非负数包含正数和零，逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：因为，
所以，在①；②；③ 0；④；⑤中，是非负数的是：②；③ 0；④，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握非负数包含正数和零是解题关键．
16.
【分析】根据有理数的分类进行填空即可．
【详解】解：正有理数集合{ …}；
负分数集合 { …}；　
整数集合 {…}．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解题的关键．
17.【解析】　(1)在A处的数是正数.
(2)负数排在B和D的位置.
(3)观察可知第奇数个数为负数,第偶数个数为正数,故第2 022个数是正数.从头开始把每4个数字看成一组,2 022÷4=505……2,所以第2 022个数排在对应于C的位置.
18．(1)是
(2)
(3)，0，，16.2
【分析】（1）根据有理数的概念求解即可；
（2）根据题目中给出的运算方法；
（3）根据有理数的概念求解即可．
【详解】（1）由解题过程可知，无限循环小数是有理数，
故答案为：是；
（2）设，则，
即，
故，
即，
解得，
即；
（3）在中，属于非负有理数的是，0，，，
故答案为：，0，，．
【点睛】此题考查了有理数的概念，无限循环小数转化为分数等知识，解题的关键是熟练掌握有理数的概念．
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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