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四川省泸州市古蔺县蔺阳中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·古蔺期末）已知集合，，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：，所以.
故答案为：A.
【分析】先根据集合的补集运算求出，再根据集合的交集的定义可求出答案.
2．（2024高一下·古蔺期末）已知，，若，则（　　）
A． B．－1 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，所以
，故，解得：
故答案为：C
【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式可列出方程，解方程可求出m的值.
3．（2024高一下·古蔺期末）若α为锐角，且，则sin 2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以
；
故答案为：D
【分析】先利用三角函数的诱导公式化简式子可得：，利用二倍角的余弦公式进行展开，再代入数据可求出答案；
4．（2024高一下·古蔺期末）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，
可得，解得，所以圆锥的高为.
故答案为：B.
【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用圆锥的侧面积公式和扇形的面积公式可列出方程组，解方程组可求出，进而可求出圆锥的高.
5．（2024高一下·古蔺期末）已知直线平面，直线平面，则（　　）
A．若与垂直，则与一定垂直
B．若与所成的角为，则与所成的角也为
C．是的充分不必要条件
D．若与相交，则为一定是异面直线
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，当与垂直时，由线面垂直判定定理可得与不一定垂直，A错误；
B选项，由线面角的定义可知，与所成的角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，
若与所成的角为，则与所成的角满足，B错误；
C，若，，，则，即，
若，因为，则与平行或异面，即.
所以，是的充分不必要条件，C正确；
D， 若与相交，则与相交或异面，D错误.
故答案为：C.
【分析】利用直线与平面垂直的判定定理可得与不一定垂直，判断A选项；利用直线与平面所成角的定义可推出与所成的角满足，据此可判断B选项；利用直线与平面平行的判定定理可推出充分性成立；利用直线与平面平行的性质可推出必要性不成立，据此可判断C选项；根据直线与平面的位置关系可推出与相交或异面，据此可判断D选项.
6．（2024高一下·古蔺期末） 在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由，得.
因为共线，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】根据平面向量基本定理可用表示，再根据向量三点共线，可列出方程，解方程可求出的值.
7．（2024高一下·古蔺期末）函数在上的零点个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，解得，由于，
则，共5个零点.
故答案为：A.
【分析】根据函数零点的定义可推出，利用余弦函数的图象和性质可求出函数在上的零点个数.
8．（2024高一下·古蔺期末）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（　　）
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．棱始终与水面所在平面平行
C．水面所在四边形的面积为定值
D．当容器倾斜如图所示时，是定值
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面，
平面，平面，平面，平面都是平行四边形，
所以没有水的部分始终呈棱柱形，A正确；
B：面，面，
所以面，即棱始终与水面所在平面平行，B正确；
C：如下图所示：
水面所在四边形的面积等于长方形的面积，如下图所示：
水面所在四边形的面积大于长方形的面积，C错误；
D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱，
三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值，
可得底面三角形的面积为定值，故是定值，D正确.
故答案为：C.
【分析】根据四棱柱的结构特征可推出平面平面，据此可推出没有水的部分始终呈棱柱形，判断A选项；根据条件可得利用直线与平面平行的判定定理可证明面，据此可判断B选项；观察几何体的结构特征可得水面所在四边形的面积等于长方形的面积，再结合不同倾斜度下的面积变化，据此可判断C选项；根据水的体积和高均不变，利用体积公式可推出底面三角形的面积为定值，进而可得是定值，判断D选项.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高一下·古蔺期末）已知复数，下列命题正确的有(　　)
A．复数的虚部为
B．复数的共轭复数为
C．
D．复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数 ， 所以 的虚部为 1 ， 选项 错误；
由共轭复数的定义知， 的共轭复数为 ， 选项 正确；
由复数模长计算公式知，， 选项 正确；
由复数的几何意义知， 在复平面内对应的点为 ， 在第一象限， 选项 正确.
故答案为： BCD.
【分析】根据复数的定义与运算公式，化简，再判断选项中的命题是否正确.
10．（2024高一下·古蔺期末）在正方体中，下列选项中，正确的是（　　）
A．
B．与所成的角为
C．二面角的平面角为
D．与平面所成的角为
【答案】A,B
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：已知如图所示：
A，在正方体，可得，
在正方形中，可得，所以，A正确；
B，在正方体，可得，
所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，即，
因为为等边三角形，所以，B正确；
C，在正方体中，可得平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，在等腰直角中，可得，
即二面角的大小为，C错误；
D，在正方体中，可得平面，
所以为直线与平面所成的角，
在直角中，，所以，D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据正方体的结构特征可得：和，据此可推出结论判断A选项；根据，与所成的角可转化为与所成的角，根据为等边三角形，利用等边三角形的性质可求出角度，判断B选项；利用直线与平面垂直的性质可证明：，根据二面角的定义可得为二面角的平面角，在等腰直角中，利用等腰三角形的性质可求出二面角，据此可判断C选项；根据平面，可推出为直线与平面所成的角，在直角中，利用正切的定义可求出，据此可判断D选项.
11．（2024高一下·古蔺期末）已知函数，且在上有且仅有5个零点，则（　　）
A．的取值范围是
B．的图象在上最多有5条对称轴
C．的图象在上有3个最大值点
D．在上单调递增
【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A：由，得，
要使在上有且仅有5个零点，则，解得，A正确；
B：由A知，，所以的图象在上有5或6条对称轴，B错误；
C：由A知，，所以的图象在上有3个最大值点，C正确；
D：由，得，又，所以，
所以在上单调递增，D错误.
故答案为：ACD
【分析】根据正弦函数的图象和性质，再结合零点的定义可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围；根据A选项可得：，分析函数的图象在上的图象性质可判断函数的对称轴条数，并找出最大值点，判断B选项和C选项；根据的取值范围和实数的取值范围可推出，利用正弦函数的图象和性质可判断在上的单调性，判断D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高一下·古蔺期末）已知向量，，则在上的投影向量为　 　．(用坐标表示)
【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因向量在向量方向上的投影向量为，
由，可得，，
故向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】利用平面向量的数量积先求出，再根据平面向量投影向量的定义可得：向量在向量方向上的投影向量为，代入数据可求出答案.
13．（2024高一下·古蔺期末） 在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线 ，则　 　.
【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，，，且为的角平分线
所以
利用等面积法可得：
即：，解得：
故答案为：
【分析】先根据角平分线的性质求出，再利用等面积法可列出方程，解方程可求出.
14．（2024高一下·古蔺期末）已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则　 　.
【答案】1
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：因为平面，所以可以将四面体补形为长方体，如图所示：
因为球的体积为，设球的半径为，所以，所以，
，解得.
故答案为：1.
【分析】先画出四面体，再把四面体补形为长方体，利用球的体积公式求出球的半径，根据外接球直径为长方体的体对角线，可列出方程，解方程可求出.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高一下·古蔺期末）已知向量，若与的夹角为．
（1）求；
（2）若，且、、三点共线，求的值.
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
【答案】（1）解：，
.
（2）解：由题意可得，、、三点共线，则可得，
即，解得，；
（3）解：当向量与向量互相垂直时，，
即，即，解得，
所以当时，向量与向量互相垂直.
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】(1)先利用平面向量的数量积可求出，根据平面向量的模长可得：，利用完全平方公式进行展开，再代入数据可求出答案.
(2)根据三点共线可推出，据此可得，根据对位系数相等可求出实数的值；
(3)根据平面向量垂直的转化可得：，据此可列出关于的方程，解方程可求出的值.
16．（2024高一下·古蔺期末）已知的内角所对的边分别是.
（1）求角；
（2）若外接圆的直径为，求周长的取值范围.
【答案】（1）解：由正弦定理可得，即，
由余弦定理得，因为，所以.
（2）解：因为外接圆的直径为，
由正弦定理得，则，
由余弦定理得，
因为，所以，即，
由三角形性质知，当且仅当时等号成立，
所以，故周长的取值范围为.
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，根据正弦定理化角为边，结合余弦定理求角即可；
（2）由题意，根据正弦定理求得b，再根据余弦定理结合基本不等式求周长的取值范围即可.
17．（2024高一下·古蔺期末）如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2．
（1）若点在棱上，平面，求证：；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，所以平面平面，
平面，所以.
（2）解：取的中点，连接，依题意，如图所示：
所以且，
又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
连接、，则，所以，
又，，，，
所以
，
又平面，平面，所以，
所以，
则，
则，
所以，
设点到平面的距离为，则，
解得，即点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)根据已知条件，利用直线与平面平行的判定定理可证明平面，再利用直线与平面平行的性质可证明结论；
(2)取的中点，连接，利用平面与平面垂直的性质可证明平面，连接、，利用棱锥的体积公式可求出，利用余弦定理可求出，，利用同角三角函数的基本关系可求出，设点到平面的距离为，利用等体积法可列出方程，解方程可求出.
18．（2024高一下·古蔺期末）已知函数
（1）求函数的最小正周期及对称中心；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
（3）若不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：，
所以函数的最小正周期为，
令，，解得
所以函数的对称中心为 ，
（2）解：将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
（3）解：因为对，不等式恒成立，所以，
由（2）知，函数在区间的值域为，
所以，即能成立，所以，
又因为，当且仅当，即时取等号，
所以.故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】(1)先利用两角和的正弦公式和余弦公式，辅助角公式化简函数解析式可得：，利用周期计算公式和对称中心计算公式可求出答案；
(2)先利用三角函数的图象变换可求出，采用换元法令，根据的取值范围，可求出的取值范围，利用正弦函数的图象和性质可求出的最大值和最小值；
(3)根据函数恒成立思想可将问题转化为：，根据函数在区间的值域，可转化能成立，即，利用基本不等式求解可求出实数的取值范围.
19．（2024高一下·古蔺期末）已知函数.
（1）若函数的定义域为，值域为，求的值；
（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得，的定义域为，
对任意且满足，则，
则，故在定义域上单调递减.
因为在上的值域为，所以，所以；
（2）解：因为，即，
所以，且，①
所以，即，②
当时，方程②的解为，代入①成立；
当时，
①当，即时，方程②的解为，代入①不成立：
②当，且时，方程②的解为或，
将代入①得：，且，
所以且，将代入①得：，且，
所以且，要使方程有且仅有一个解，则.
综上，的取值范围为.
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】(1)先化简函数解析式可得，利用函数单调性的定义可推出在定义域上单调递减，利用对数函数的单调性，再结合函数的定义域和值域可列出方程组，解方程组可求出的值；
(2)根据方程的解，通过化简可得方程，通过因式分解法可得：，分两种情况进行讨论：当时；当时，①当；②当，且时；求出方程的解，再判断解是否成立，进而求出实数a的取值范围.
1 / 1四川省泸州市古蔺县蔺阳中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·古蔺期末）已知集合，，，则为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·古蔺期末）已知，，若，则（　　）
A． B．－1 C． D．
3．（2024高一下·古蔺期末）若α为锐角，且，则sin 2α＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·古蔺期末）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·古蔺期末）已知直线平面，直线平面，则（　　）
A．若与垂直，则与一定垂直
B．若与所成的角为，则与所成的角也为
C．是的充分不必要条件
D．若与相交，则为一定是异面直线
6．（2024高一下·古蔺期末） 在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·古蔺期末）函数在上的零点个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2024高一下·古蔺期末）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（　　）
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．棱始终与水面所在平面平行
C．水面所在四边形的面积为定值
D．当容器倾斜如图所示时，是定值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高一下·古蔺期末）已知复数，下列命题正确的有(　　)
A．复数的虚部为
B．复数的共轭复数为
C．
D．复数在复平面内对应的点在第一象限
10．（2024高一下·古蔺期末）在正方体中，下列选项中，正确的是（　　）
A．
B．与所成的角为
C．二面角的平面角为
D．与平面所成的角为
11．（2024高一下·古蔺期末）已知函数，且在上有且仅有5个零点，则（　　）
A．的取值范围是
B．的图象在上最多有5条对称轴
C．的图象在上有3个最大值点
D．在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高一下·古蔺期末）已知向量，，则在上的投影向量为　 　．(用坐标表示)
13．（2024高一下·古蔺期末） 在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线 ，则　 　.
14．（2024高一下·古蔺期末）已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高一下·古蔺期末）已知向量，若与的夹角为．
（1）求；
（2）若，且、、三点共线，求的值.
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
16．（2024高一下·古蔺期末）已知的内角所对的边分别是.
（1）求角；
（2）若外接圆的直径为，求周长的取值范围.
17．（2024高一下·古蔺期末）如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2．
（1）若点在棱上，平面，求证：；
（2）求点到平面的距离．
18．（2024高一下·古蔺期末）已知函数
（1）求函数的最小正周期及对称中心；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
（3）若不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围．
19．（2024高一下·古蔺期末）已知函数.
（1）若函数的定义域为，值域为，求的值；
（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：，所以.
故答案为：A.
【分析】先根据集合的补集运算求出，再根据集合的交集的定义可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，所以
，故，解得：
故答案为：C
【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式可列出方程，解方程可求出m的值.
3．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以
；
故答案为：D
【分析】先利用三角函数的诱导公式化简式子可得：，利用二倍角的余弦公式进行展开，再代入数据可求出答案；
4．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，
可得，解得，所以圆锥的高为.
故答案为：B.
【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用圆锥的侧面积公式和扇形的面积公式可列出方程组，解方程组可求出，进而可求出圆锥的高.
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，当与垂直时，由线面垂直判定定理可得与不一定垂直，A错误；
B选项，由线面角的定义可知，与所成的角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，
若与所成的角为，则与所成的角满足，B错误；
C，若，，，则，即，
若，因为，则与平行或异面，即.
所以，是的充分不必要条件，C正确；
D， 若与相交，则与相交或异面，D错误.
故答案为：C.
【分析】利用直线与平面垂直的判定定理可得与不一定垂直，判断A选项；利用直线与平面所成角的定义可推出与所成的角满足，据此可判断B选项；利用直线与平面平行的判定定理可推出充分性成立；利用直线与平面平行的性质可推出必要性不成立，据此可判断C选项；根据直线与平面的位置关系可推出与相交或异面，据此可判断D选项.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由，得.
因为共线，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】根据平面向量基本定理可用表示，再根据向量三点共线，可列出方程，解方程可求出的值.
7．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，解得，由于，
则，共5个零点.
故答案为：A.
【分析】根据函数零点的定义可推出，利用余弦函数的图象和性质可求出函数在上的零点个数.
8．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面，
平面，平面，平面，平面都是平行四边形，
所以没有水的部分始终呈棱柱形，A正确；
B：面，面，
所以面，即棱始终与水面所在平面平行，B正确；
C：如下图所示：
水面所在四边形的面积等于长方形的面积，如下图所示：
水面所在四边形的面积大于长方形的面积，C错误；
D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱，
三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值，
可得底面三角形的面积为定值，故是定值，D正确.
故答案为：C.
【分析】根据四棱柱的结构特征可推出平面平面，据此可推出没有水的部分始终呈棱柱形，判断A选项；根据条件可得利用直线与平面平行的判定定理可证明面，据此可判断B选项；观察几何体的结构特征可得水面所在四边形的面积等于长方形的面积，再结合不同倾斜度下的面积变化，据此可判断C选项；根据水的体积和高均不变，利用体积公式可推出底面三角形的面积为定值，进而可得是定值，判断D选项.
9．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数 ， 所以 的虚部为 1 ， 选项 错误；
由共轭复数的定义知， 的共轭复数为 ， 选项 正确；
由复数模长计算公式知，， 选项 正确；
由复数的几何意义知， 在复平面内对应的点为 ， 在第一象限， 选项 正确.
故答案为： BCD.
【分析】根据复数的定义与运算公式，化简，再判断选项中的命题是否正确.
10．【答案】A,B
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：已知如图所示：
A，在正方体，可得，
在正方形中，可得，所以，A正确；
B，在正方体，可得，
所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，即，
因为为等边三角形，所以，B正确；
C，在正方体中，可得平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，在等腰直角中，可得，
即二面角的大小为，C错误；
D，在正方体中，可得平面，
所以为直线与平面所成的角，
在直角中，，所以，D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据正方体的结构特征可得：和，据此可推出结论判断A选项；根据，与所成的角可转化为与所成的角，根据为等边三角形，利用等边三角形的性质可求出角度，判断B选项；利用直线与平面垂直的性质可证明：，根据二面角的定义可得为二面角的平面角，在等腰直角中，利用等腰三角形的性质可求出二面角，据此可判断C选项；根据平面，可推出为直线与平面所成的角，在直角中，利用正切的定义可求出，据此可判断D选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A：由，得，
要使在上有且仅有5个零点，则，解得，A正确；
B：由A知，，所以的图象在上有5或6条对称轴，B错误；
C：由A知，，所以的图象在上有3个最大值点，C正确；
D：由，得，又，所以，
所以在上单调递增，D错误.
故答案为：ACD
【分析】根据正弦函数的图象和性质，再结合零点的定义可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围；根据A选项可得：，分析函数的图象在上的图象性质可判断函数的对称轴条数，并找出最大值点，判断B选项和C选项；根据的取值范围和实数的取值范围可推出，利用正弦函数的图象和性质可判断在上的单调性，判断D选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因向量在向量方向上的投影向量为，
由，可得，，
故向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】利用平面向量的数量积先求出，再根据平面向量投影向量的定义可得：向量在向量方向上的投影向量为，代入数据可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，，，且为的角平分线
所以
利用等面积法可得：
即：，解得：
故答案为：
【分析】先根据角平分线的性质求出，再利用等面积法可列出方程，解方程可求出.
14．【答案】1
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：因为平面，所以可以将四面体补形为长方体，如图所示：
因为球的体积为，设球的半径为，所以，所以，
，解得.
故答案为：1.
【分析】先画出四面体，再把四面体补形为长方体，利用球的体积公式求出球的半径，根据外接球直径为长方体的体对角线，可列出方程，解方程可求出.
15．【答案】（1）解：，
.
（2）解：由题意可得，、、三点共线，则可得，
即，解得，；
（3）解：当向量与向量互相垂直时，，
即，即，解得，
所以当时，向量与向量互相垂直.
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】(1)先利用平面向量的数量积可求出，根据平面向量的模长可得：，利用完全平方公式进行展开，再代入数据可求出答案.
(2)根据三点共线可推出，据此可得，根据对位系数相等可求出实数的值；
(3)根据平面向量垂直的转化可得：，据此可列出关于的方程，解方程可求出的值.
16．【答案】（1）解：由正弦定理可得，即，
由余弦定理得，因为，所以.
（2）解：因为外接圆的直径为，
由正弦定理得，则，
由余弦定理得，
因为，所以，即，
由三角形性质知，当且仅当时等号成立，
所以，故周长的取值范围为.
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，根据正弦定理化角为边，结合余弦定理求角即可；
（2）由题意，根据正弦定理求得b，再根据余弦定理结合基本不等式求周长的取值范围即可.
17．【答案】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，所以平面平面，
平面，所以.
（2）解：取的中点，连接，依题意，如图所示：
所以且，
又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
连接、，则，所以，
又，，，，
所以
，
又平面，平面，所以，
所以，
则，
则，
所以，
设点到平面的距离为，则，
解得，即点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)根据已知条件，利用直线与平面平行的判定定理可证明平面，再利用直线与平面平行的性质可证明结论；
(2)取的中点，连接，利用平面与平面垂直的性质可证明平面，连接、，利用棱锥的体积公式可求出，利用余弦定理可求出，，利用同角三角函数的基本关系可求出，设点到平面的距离为，利用等体积法可列出方程，解方程可求出.
18．【答案】（1）解：，
所以函数的最小正周期为，
令，，解得
所以函数的对称中心为 ，
（2）解：将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
（3）解：因为对，不等式恒成立，所以，
由（2）知，函数在区间的值域为，
所以，即能成立，所以，
又因为，当且仅当，即时取等号，
所以.故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】(1)先利用两角和的正弦公式和余弦公式，辅助角公式化简函数解析式可得：，利用周期计算公式和对称中心计算公式可求出答案；
(2)先利用三角函数的图象变换可求出，采用换元法令，根据的取值范围，可求出的取值范围，利用正弦函数的图象和性质可求出的最大值和最小值；
(3)根据函数恒成立思想可将问题转化为：，根据函数在区间的值域，可转化能成立，即，利用基本不等式求解可求出实数的取值范围.
19．【答案】（1）解：由题意可得，的定义域为，
对任意且满足，则，
则，故在定义域上单调递减.
因为在上的值域为，所以，所以；
（2）解：因为，即，
所以，且，①
所以，即，②
当时，方程②的解为，代入①成立；
当时，
①当，即时，方程②的解为，代入①不成立：
②当，且时，方程②的解为或，
将代入①得：，且，
所以且，将代入①得：，且，
所以且，要使方程有且仅有一个解，则.
综上，的取值范围为.
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】(1)先化简函数解析式可得，利用函数单调性的定义可推出在定义域上单调递减，利用对数函数的单调性，再结合函数的定义域和值域可列出方程组，解方程组可求出的值；
(2)根据方程的解，通过化简可得方程，通过因式分解法可得：，分两种情况进行讨论：当时；当时，①当；②当，且时；求出方程的解，再判断解是否成立，进而求出实数a的取值范围.
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