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第三章一元一次方程
第 1题
解关于x 的方程:mx-1=nx.
解题策略 本题要将方程移项，合并后将x的系数用含有m，n的字母表示，然后对x的系数进行分类讨论，再分析方程解的情况.
解 原方程可化为(m--n)x=1.
当m--n≠0,即m≠n时,方程有唯一解
当m--n=0,即m=n时,方程无解.
解后反思 解此类含字母系数的方程时，先将其化为最简形式( ，再根据x的系数a是否为零进行分类讨论.当a≠0时，方程有唯一解 当 时，方程有无数组解;当a=0,b≠0时,方程无解.
变式1 解下列关于x的方程：
(1) (m+2)x=n-x;
(2)2a(a+3)x=a(a+6);
(3)(mx-n)(m+n)=0;
变式2 已知若关于x 的方程( 有正整数解，求自然数k 的值.
第2题
解方程:3|2x|-2=0.
解题策略 本题可将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x的值.
解 原方程可化为
当x>0时,得 解得
当x=0时,得 不成立，舍去.
当x<0时,得 解得
所以，原方程的解是 或
解后反思 解含绝对值的一元一次方程，常见方法有以下几种：
1.定义法，根据绝对值的定义把绝对值符号去掉，把一个方程变成两个方程来解.这种方法只适用于较简单的含绝对值的方程.
2.平方法，对于较简单的含绝对值的方程，去掉绝对值符号的一个简单方法是方程两边平方.
3.零点分区法，这种方法适合于稍微复杂一些的情况，首先令各绝对值号内的式子等于零，由此解得几个x的值，把实数分为几个区间，解题时要按这几个区间逐一讨论，特别是解得的值要研究是否落在所给的区间.
4.数轴法，|x-a|的绝对值的几何意义是在数轴上表示数a的点到点x的距离，根据这个几何意义解某些绝对值方程，具有直观、简洁等特点.
变式1 解下列方程：
(1) |3x-5|=1-x;
(2)5x+|2x-1|=6.
变式2 解下列方程：
(1) |x-2|+|2x+1|=8;
(2) |x-1|+|x-2|=1;
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变式3 已知关于x 的方程||x-2|-1|=a有三个整数解,求a的值.
变式4 已知方程|x|=ax+1有一个负根且没有正根，求a 的取值范围.
第3题
一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成.两人合作多少小时完成
解题策略 根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量”的等量关系，可列方程求解.
解 设两人合作x 小时完成此工作.依题意，可得
解得x=7.5.
答：两人合作7.5小时完成.
解后反思 解决此类工程问题要弄清三个基本量：
工作量、工作时间、工作效率.这三个基本量的关系：工作量=工作时间×工作效率.
变式1 一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做12 小时完成.如果甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人还要多少小时完成
变式2 一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做12 小时完成.如果甲先单独做4 小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的
变式3 一件工作，甲单独做20 小时完成，乙单独做12 小时完成.如果甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的
变式4 一件工作，甲单独做20 小时完成，甲、乙合作7.5 小时完成.如果甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人还要多少小时完成
变式5 一件工作，甲单独做 20小时完成，甲、乙合作7.5 小时完成.如果甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成
变式6 一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合作3小时完成此工作的 如果现在甲先单独做4小时，然后乙加入合作2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作
第4题
有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，…其中某三个相邻数的和是-1 701,这三个数各是多少
解题策略 根据这列数可发现：后面的数等于它前面的数与 的乘积，可将三个相邻数用同一个未知数表示，从而列出方程求解.通常情况下，设绝对值较小的数为x.
解 设三个相邻数中的第一个数为x，则后两个数分别是-3x，9x.
根据题意，得
解得x=-243.故
所以,这三个数分别是-243,729,-2 187.
解后反思 处理数列类规律问题，通常从符号和绝对值两方面观察，若发现规律，可设绝对值较小的数为x，根据发现的规律列出方程求解即可.
变式1 在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为 30 如果能，这三个数分别是多少
变式2 在一张普通的月历中，若能用一个： 的方框刚好框住9个日期数，
(1)探究这9个数之和与正中间那个数的数量关系.
(2)若这9个数之和是81，你能说出这9个日期吗 回答能或不能，且说明为什么.
(3)这9个数之和可能会是 100吗 若可能，请计算出这9个日期，若不可能，请说明理由.
变式3下表中记录了一个实验中时间和温度的数据.
时间( min) 0 5 10 15 20 25
温度(℃) 10 25 40 55 70 85
(1)如果温度的变化是均匀的，21 min时的温度是多少
(2)什么时间的温度是
第 5题
两辆汽车从相距84 km的A，B两地同时出发相向而行，甲车比乙车多行驶20 km/h，经过0.5 h两辆汽车相遇.两辆汽车的速度各是多少
解题策略 依题意，可得两车的路程之和等于两车原来的路程.设乙车的速度为x km/h,列方程即可求解.
解 设乙车的速度为x km/h，则甲车的速度为(
根据题意，得
解得x=74,故x+20=94.
答:甲车的速度是94 km/h,乙车的速度是74 km/h.
解后反思 要正确解答“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况.例如，运动的方向(相向、相背、同向)，出发的时间(同时、不同时)，出发的地点(同地、不同地)、运动的路线(封闭、不封闭)，运动的结果(相遇、相距多少、追及).解题时，只要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系，问题即可迎刃而解.
变式1 操场跑道一圈长400m，小明练习骑自行车，平均速度是350m/min；小刚练习跑步，平均速度是250 m/min.两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇 又经过多长时间再次相遇
变式2 操场跑道一圈长400m，小明练习骑自行车，平均速度是350 m/min；小刚练习跑步，平均速度是250 m/min.两人从同一处同时同向出发，经过多长时间首次相遇 又经过多长时间再次相遇
变式3 在9点到10点之间，几时几分，分针和时针在一条直线上 (不包括重合)
第三章 一元一次方程
第1题
变式1:(1)①当m+3≠0,即m≠-3时,方程有唯一解
②当m+3=n=0,即m=-3,n=0时,方程解为全体实数;
③当m+3=0,n≠0,即m=-3,n≠0时,方程无解.
(2)①当2a(a+3)≠0,即a≠0且a≠-3时,方程有唯一解
②当2a(a+3)=a(a+6)=0,即a=0时,方程的解为全体实数;
③当2a(a+3)=0,a(a+6)≠0,即a=-3时,方程无解.
(3)①当m≠0时,方程有唯一解
② 当m+n=0时,方程有无数解;
③当m=0,n≠0时,方程无解.
(4)原式可化为(m-1)x=m(m-1). ①当m-1≠0,即m≠1时,方程有唯一解x=m;
②当m-1=m(m-1)=0,即m=1时,方程的解为全体实数.
变式2：因为原方程有解，所以k—4≠0.
原方程的解为 为正整数,于是k—4应为6的正约数,即k—4可为1,2,3,6,即k 的值为5,6,7,10.
第 2题
变式:(1)无解. (2)x=1.
变式2:(1) ①当x≥2时,x=3;②当 时,x 无解;③当 时, 所以方程的解为x=3或
(2)①当x≥2时,x=2;②当1≤x<2时,x为全体实数;③当x<1时,x 无解.所以方程的解为1≤x≤2.
(3)①当x>4时,x为全体实数;②当3≤x≤4时,x=4;③当2≤x<3时,x=2;④当x<2时,x 为全体实数.所以方程的解为x≥4或x≤2.
(提示：利用绝对值几何意义可解).
变式3:①若|x-2|-1=a,则当x≥2时,解得x=a+3,故a≥-1;
当x<2时,解得x=1-a,故a>-1.
②若|x-2|-1=-a,则当x≥2时,解得x=3-a,故a≤1;
当x<2时,解得x=1+a,故a<1.
因为原方程有3个整数解，所以a=±1，又由题可得a≥0，故a=1.
变式4：a≥1(提示：利用图象法可解).
第3题
变式1：设两人合作还需 x 小时完成此工作，则 解方程，得x=6.故两人合作还要 6 小时完成.
变式2：设两人合作还需x 小时完成此工作，则 解方程,得x=3.5.故两人合作还要3.5小时完成.
变式3：设共需x 小时完成此工作，则 解方程，得x=7.5.故共要7.5小时完成此工作的 .
变式4：设两人合作还需x 小时完成此工作，则 解方程得x=6，故两人合作还要6小时完成.
变式5：设乙还需x 小时完成此工作，则 解方程得x=9.6,故乙还要9.6小时完成.
变式6：设共需 x 小时完成此工作，则 解方程得x=12.4,故共要 12.4 小时完成此工作.
第4题
变式1：3，10，17(提示：设较小数为x，三个数均相差7，可列方程.x+(x+7)+(x+14)=30,解之即得).
变式2：(1)9个数之和是方框正中心数的9倍.设正中心的数为x，则
(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x.
∴9个数之和是方框正中心数的9倍.
(2)设正中心的数为x,则9x=81,解方程得x=9,所以这9个日期分别为1,2,3,8,9,10,15,16,17.
(3) 不可能.设中心的数为y,则9y=100,解得 (不符合题意，舍去)，所以不可能.
变式3:由表可得 T=10 + 3t,
(1)将t=21 min代入,得T=10 + 3×21,解得T=73.
(2) 将T=34℃代入,得34=10+3t, 解得t=8.
第5题
变式1：设经过x分钟首次相遇，列方程((350+250)x=400,解得
即经过 分钟首次相遇，又经过 分钟再次相遇.
变式2：同一处同时出发，首次相遇时，骑车的肯定比跑步的多一圈.
设经过x分钟首次相遇，则 解出
依此类推，每次相遇，骑车都会比跑步多一圈，骑车比跑步快 100米/分，即每4分钟快一圈.换句话说，每 4 分钟相遇一次.设经过y 分钟第二次相遇，则 800,解出
变式 3：分针 60分钟走 所以一分钟走 时针 60分钟走 所以一分钟走( 设9点过x 分钟两针在一条线上，列方程2 解得
所以在9点 分时两针在一条线上.

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