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第二章 有理数
在上面的天气预报电视屏幕上，我们看到，这一天上海的最低温度是-5℃，读作负5℃，表示零下5℃。这里，出现了一种新数——负数.
我们将会看到，除了表示温度以外，还有许多量需要用负数来表示.有了负数，数的家族引进了新的成员，将变得更加绚丽多彩，更加便于应用.
本章将与你一起认识负数，把数的范围扩充到有理数，并研究有理数的大小比较和运算.
§2.1 正数和负数
我们知道，为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了数1，2，3，...; 为了表示“没有”，引入了数0；有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数(小数)表示. 总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.
1. 相反意义的量
在日常生活中，常会遇到这样的一些量：
例1 汽车向东行驶3公里和向西行驶2公里；
例2 温度是零上10℃和零下5℃；
例3 收入500元和支出237元;
例4 水位升高5.5米和下降3.6米等等.
这里出现的每一对量，虽然有着不同的具体内容，但有着一个共同特点，它们都是具有相反意义的量，向东和向西、零上和零下；收入和支出;升高和下降都具有相反的意义.
这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点?
你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗?
2. 正数与负数
对于相反意义的量, 只用原来的那些数很难区分量的相反意义. 例如,零上5℃用5表示, 那么零下5℃就不能仍用同一个数5来表示.
想一想
怎样表示具有相反意义的量呢?能否从天气预报的电视屏幕上出现的标记中，得到一些启发呢?
在天气预报的电视屏幕上我们发现，零下5℃可以用-5℃来表示. 一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示.
就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃用 -5℃来表示.
在例1中，如果规定向东为正，那么向西为负.汽车向东行驶3公里记作3公里，向西2公里应记作-2公里.
在例3中，如果规定收入为正，收入500元记作500元，支出237元应记作什么?
在例4中，如果升高5.5米记作5.5米,下降3.6米记作什么?
在这些讨论中，出现了哪些新数?
为了表示具有相反意义的量, 我们引进了象-5,-2,-237,-3.6这样的数, 这是一种新数,
叫做负数(negative number). 过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正数(positive number). 正数前面有时也可放上一个"+"号, 如5可以写成+5, +5和5是一样的. 注意: 0既不是正数,也不是负数.
练习
将你所举出的具有相反意义的量用正数或负数来表示.
2.在中国地形图上，在珠穆朗 玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们的高度的数，如图所示.这个数通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说的.请说出图中所示的数8848和-155表示的实际意义。海平面的高度用什么数表示?
3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?
+6；-21；54；0；；-3.14；0.001；-999
4.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对?为什么?
3. 有理数
想一想
引进了负数以后，我们学过的数有哪些?
引进了负数以后，我们学过的数就有： 正整数，如1，2，3，...;
零: 0;
负整数, 如-1,-2,-3,...;
正分数, 如, ,4.5(即);
负分数, 如-,,-0.3(即),....
正整数、零和负整数统称整数(integers)，正分数和负分数统称分数(fractions).整数和分数统称有理数(rational numbers).
有如下分类表：
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集(set of numbers).所有的有理数组成的 数集叫做有理数集.类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等.
例5 把下列各数填入表示它所在的数集的
圈子里： -18, , 3.1416, 0, 2001, , -0.142857, 95%



正整数 负整数
整数集 有理数集
解
, 3.1416, -18, ,
2001, 95% -0.142857
正整数 负整数
－18，0，2001， -18, , 3.1416, 0, 2001,
, -0.142857, 95%
整数集 有理数集
练习
1. 请说出两个正整数, 两个负整数, 两个正分数,两个负分数.它们都是有理数吗?
2. 有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数? 如有,这样的数有几个?
3. 下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请在这两个圆圈内填入六个数,其中有三个数既在正数集合内, 又在整数集合内.这三个数应填在哪里? 你能说出这两个圆圈的重叠部分表示什么数的集合吗?
正数集 整数集
习题2.1
1. 下列各数,哪些是整数,哪些是分数? 哪些是正数,哪些是负数?
1， -0.10， ，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.1
2.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：
, 0.618, -3.14, 260, -2001, , , -5%
整数集 分数集
负数集 有理数集
3.下面的大括号表示一些数的集合,把第1、2两题中的各数填入相应的大括号里:
正整数集:{ }
负整数集:{ }
正分数集:{ }
负分数集:{ }
4?观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数，你能说出第100个数、第2000个数、第2001个数是什么吗?
(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ， ，......；
(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ， ，......；
(3)-1,,-,,,,, , , ,......
阅读材料－－中国人最早使用负数
——《九章算术》和我国古代的“正负术”
《九章算术》是中国古典数学最重要的一部著作。这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前一世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程、勾股等九章，其中所包含的数学成就是十分丰富的。
引进和使用负数是《九章算术》的一项突出的贡献。在《九章算术》的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，就需要引进负数《九章算术》在方程章中提出了如下的“正负术”： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”
这实际上就是正负术的加减运算法则。“同名”、“异名”分别指同号、异号；“相益”、“相除”分别指两数的绝对值相加、相减。前四句说的是正负数和零的减法法则，后四句说的是正负数和零的加法法则。用符号表示，设a＞b＞0，这八句话可以表示为：
(±a)－(±b)＝±(a－b)；
(±a)－(μb)＝±(a＋b)；
0?a＝－a；
0－(－a)＝＋a；
(±a)＋(μb)＝±(a－b),(±b)＋(μa)＝μ(a－b)；
(±a)＋(±b)＝±(a－b)；
0＋a＝＋a；
0＋(－a)＝－a。
不难看出，所有这些是与我们所学的有理数加减法法则是完全一致的。
《九章算术》以后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。
在国外，负数的出现和使用要比我国迟好几百年，直到七世纪时印度数学家才开始使用负数。而在欧洲，直到十六世纪韦达的著作还拒绝使用负数。

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