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4.1 整式 学案
（一）学习目标：
1.掌握整式的概念、整式的分类及整式的加减运算。
2.能够理解整式在数学中的基础性作用，并能运用整式解决简单的实际问题，培养的逻辑思维能力和数学应用能力。
（二）学习重难点：
重点:整式的概念及分类，整式的加减运算规则。
难点:整式加减运算中的符号处理及同类项的合并。
阅读课本，识记知识：
一、单项式
1.单项式的概念：如3、、、等这些代数式都是数字、字母、数字与字母的积、字母与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
2.单项式中不能含有加减法运算，但可以含有除法运算。
3.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，确定单项式的系数的注意事项：
（1）确定单项式的系数时，最好现将单项式写成数与字母的乘积的形式，在确定系数；
（2）圆周率是常数，单项式中出现时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，负数做系数应包括前面的符号；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。
4.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；不能将数字的指数一同计算。
二、多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫作多项式，例如：，等。
2.多项式的项：在多项式中每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。
3.多项式中应注意的问题：
（1）多项式的每一项包括它前面的符号；
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，例如：是一个三项式。
4.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫作这个多项式的次数。多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；多项式通常以它的项的次数和项数来命名，例如：是一个六次三项式。
5.整式：单项式与多项式统称为整式。所有的整式都是代数式，但反过来就不一定是整式。
6.多项式的降幂与升幂排列
（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫作把这个多项式按这个字母降幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫作把这个多项式按这个字母升幂排列。
【例1】单项式2a2b的系数和次数分别是(　　)
A.2,2　　　B.2,3　　　C.3,2　　　D.4,2
【答案】B　
【分析】2a2b的系数和次数分别是2,3.
【例2】 下列式子:2a2b,3xy-2y2,,其中是多项式的有(　　)
A.2个　　　B.3个　　　C.4个　　　D.5个
【答案】B　
【分析】多项式有3xy-2y2,,,共3个.
选择题
1．下列式子中,是单项式的是(　　)
A.　　　D.p-q
2．下列说法中，正确的是（　　）
A．是单项式 B．单项式的次数是
C．单项式的系数是 D．多项式是五次三项
3．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．是六次六项式 B．是多项式
C．是三次二项式 D．是二次二项式
5．多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
下列关于多项式2a2b+ab-1的说法中,正确的是(　　)
A.是二次三项式　　　　B.二次项系数是0
C.最高次项是2a2b　　　　D.常数项是1
7. 如图,用含x的式子表示出所给图形的面积:　　　　.当x=5时,所给图形的面积是　　　　.
8．多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．将代数式按y的降幂排列是（　　）
A． B．
C． D．
10．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，．．．，依此类推，则（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．写出一个系数是2 022,次数是4,所含字母为a、b的单项式:　　　　.
12.若(a-1)x2yb是关于x、y的五次单项式,且系数为-,则a=　　　,b=　　　.
13.在①3；②；③；④；⑤；⑥中，单项式有 ，多项式有 ，代数式有 ．（填序号）
14.将多项式按字母的降幂排列为 ．
15.观察下列关于的单项式，探究其规律：按照上述规律，第个单项式是 ．
三、解答题
16．有一个关于、的多项式，每项的次数都是．
(1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______；
(2)写出同时满足下列要求的一个多项式：
①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列．
17.已知多项式．
(1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗
(2)最后一项的系数的值为多少
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么
18.已知关于x,y的多项式x4+(m+2)xny-xy2+3,其中n为正整数.
(1)当m,n为何值时,它是五次四项式
(2)当m,n为何值时,它是四次三项式
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
B　
【分析】中含有加号,不是单项式;-xyz2是单项式;分母中含有字母,不是单项式;p-q中含有减号,不是单项式.故选B.
2．A
【分析】根据单项式的定义、单项式次数和系数的定义以及多项式的项数和次数的定义逐项分析判断即可．
【详解】A、单独的一个数或字母也是单项式，所以是单项式，该项符合题意；
B、单项式的次数是，该项不符合题意；
C、单项式的系数是，该项不符合题意；
D、多项式是三次三项式，该项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查单项式的定义、单项式次数和系数的定义以及多项式的项数和次数的定义，牢记这些定义是解题的关键．
3．A
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：A．系数是2，次数是3，故本选项符合题意；
B．系数是3，次数是2，故本选项不符合题意；
C．系数是2，次数是4，故本选项不符合题意；
D．系数是，次数是3，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查单项式问题，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义．
4．B
【分析】几个单项式的和是多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．
【详解】解：A. 是五次二项式，故A错误，不符合题意；
B. 是多项式，故B正确，符合题意；
C. 中是常数项，是二次二项式，故C错误，不符合题意；
D. 是三次二项式，故D错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式的定义、次数和项数等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．B
【分析】根据多项式的概念得出关于m的方程，解方程可得答案．
【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了多项式的有关概念，多项式中每一个单项式称为该多项式的项；次数最高的项的次数即为该多项式的次数．
6..C　多项式2a2b+ab-1是三次三项式,最高次项是2a2b,ab是二次项,系数是1,常数项是-1,所以A、B、D均错误,C正确.
7.x2+3x+6;46
解析　所给图形的面积为x2+3x+6,当x=5时,
x2+3x+6=52+3×5+6=25+15+6=46.
8．B
【分析】根据多项式的概念得出关于m的方程，解方程可得答案．
【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了多项式的有关概念，多项式中每一个单项式称为该多项式的项；次数最高的项的次数即为该多项式的次数．
9．B
【分析】根据y的指数从大到小的方式排列即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按x还是y的降幂或升幂排列．
10．B
【分析】通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
，
∴每四次运算结果循环出现，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．
11.答案不唯一,如2 022a3b、2 022a2b2、2 022ab3
12.;3
【解析】　由题意,得a-1=-,2+b=5,所以a=,b=3.
13．如果x和y分别表示一个苹果和一个桔子的价格，那么则表示5个苹果和10个桔子的总价格（答案不唯一）
【分析】表示的是x的5倍，表示的是y的10倍 ，只需要把x、y赋予一定的实际意义即可．
【详解】解：如果x和y分别表示一个苹果和一个桔子的价格，那么则表示5个苹果和10个桔子的总价格，
故答案为：如果x和y分别表示一个苹果和一个桔子的价格，那么则表示5个苹果和10个桔子的总价格（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了代数式的意义，正确理解题意是解题的关键．
14．
【分析】按字母y的指数从大到小排列即可得答案．
【详解】解：将多项式按字母的降幂排列为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了降幂排列多项式，关键是要知道：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．
15．4048x4047
【分析】利用整式的乘法法则对每一项进行分析可得到规律，进而得到个单项式．
【详解】解：∵
∴第个单项式为：，
∴第个单项式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘法，根据题意找出单项式之间规律是解题的关键．
16．(1)；（答案不唯一）
(2)（答案不唯一）
【分析】（1）根据多项式的定义进行解答即可；
（2）根据多项式的系数和次数的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：多项式含有，，每项的次数都是，且，
各项的字母组成只能是： ，，，，
项数最多的一个多项式有四项，
项数最少的一个多项式有两项：（答案不唯一），
故答案为：，（答案不唯一）；
（2）需要同时满足：①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列，的关于、的多项式，每项的次数都是，
满足要求的多项式为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了多项式及其次数，系数，熟练掌握多项式及其次数，系数的定义是解答本题的关键．
17.(1)十次十一项式；
(2)；
(3)；
【分析】（1）该多项式按照的降幂排列，每一项的次数是，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号即可解答；
（2）观察已知多项式每一项的系数即可得到最后一项的系数的值；
（3）结合（1）即可得到多项式的第七项和第八项．
【详解】（1）解：∵多项式是按照的降幂排列，
∴该多项式有项，并且每一项的次数是，
∴该多项式是十次十一项式；
（2）解：∵多项式有项，
∴每一项的系数是，且偶数项为负数，奇数项为正数，
∴第项的系数为，
∴第项的系数为，
∴,
∴最后一项的系数的值为．
（3）解：∵多项式第项的系数为，
∴第七项的系数是，第八项的系数是，
∵多项式按照的降幂排列，且每一项的次数是，
∴第七项是, 第八项,
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，多项式的的有关概念，理解多项式的项，项数，次数是解题的关键．
【解析】　(1)因为多项式是五次四项式,
所以m+2≠0,n+1=5.
所以m≠-2,n=4.
(2)因为多项式是四次三项式,
所以m+2=0,n为任意正整数.
所以m=-2,n为任意正整数.
目标解读
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典例探究
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自学反思
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