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5.1.1 从算式到方程 学案
（一）学习目标：
1.理解方程的概念，能够从实际问题中抽象出方程，掌握方程的基本性质。
2.通过观察、比较、归纳等方法，探索从算式到方程的转化过程，培养学生的抽象思维能力和数学建模能力。
3.激发的学习兴趣，培养他们认真、细致的学习态度和严谨的逻辑思维。
（二）学习重难点：
重点:方程的概念，从实际问题中抽象出方程的方法。
难点:理解方程的基本性质，正确运用方程解决实际问题。
阅读课本，识记知识：
1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。
2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。
3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：
（1）它是方程中的未知数的值；
（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。
5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。
6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。
7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。
8.一元一次方程知识拓展：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数；
（2）一元一次方程满足3个条件：
①是整式方程；
②只含有一个未知数；
③未知数的次数是1.
（3）一元一次方程的标准形式：。
【例1】下列属于方程的是(　　)
A.2x=3　　　 　B.2x>-1
C.1-3=-2　　　　D.7y-1
【答案】A　
【分析】含有未知数的等式叫方程,B中有“>”,不是方程,C中没有未知数,不是方程,D中没有“=”,不是方程,故选A.
【例2】 若方程(m-3)x=1是关于x的一元一次方程,则m的值是(　　)
A.m≠-3　　　　B.m≠0
C.m≠3　　　　D.m>3
【答案】C　
【分析】因为方程(m-3)x=1是关于x的一元一次方程,所以m-3≠0,所以m≠3.
选择题
1．下列方程中，解为的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元一次方程的解为，则正确的是（ ）
A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．a与b互为倒数 D．a与b均为0
4．下列方程中，属于一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
5.下列是一元一次方程的是(　　)
A.x2-2x-3=0　　　　B.x+1=0
C.3x-2　　　　D.2x+y=5
6.关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,则a+m的值为(　　)
A.9　　　B.8　　　C.5　　　D.4
7．学校体育组有学生43人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．根据“的倍与的和比的少”可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，为任意有理数．
①关于的方程的解为
②关于的方程可能是一元一次方程
③当时，关于的方程的解是
④当时，关于的方程的解是
以上说法正确的是( )
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
10．若方程是一元一次方程，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．以上都不对
填空题
11．若关于x的方程+a=4的解是x=2,则a的值为　　　　.
12.已知(a2-1)x2+ax+x-1=0是关于x的一元一次方程,则a的值是　　　　.
13.若关于x的方程mx2m-1+(m-1)x-2=0(2m-1≠0)是一元一次方程,则m的值为　　　　　.
14．据市公园管理中心统计数据显示，月日至日，市属个景点接待市民游客万人，比去年同期增长了，求去年同期这个景点接待市民游客人数．设去年同期这个景点接待市民游客万人，则可列方程为 ．
15．如果是一元一次方程，那么 ．
三、解答题
16．已知mx2+(m+1)x=1是关于x的一元一次方程,求m的值.
17.根据下列条件列方程．
(1)m的2倍与m的相反数的和是5；
(2)半径为r的圆的面积是2
18.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”；
(2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1．D
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入各个方程进行进行检验，看能否使方程的左右两边相等．
【详解】解：分别将代入四个方程：
A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题的关键是正确理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
2．A
【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、只含有一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次方程，符合题意；
B、只含有一个未知数，但未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
C、只含有一个未知数，但未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．
3．B
【分析】把代入即可求解．
【详解】把代入，得
，
∴a与b互为相反数．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，相反数的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
4．C
【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意知，是一元一次方程，故C符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义．解题的关键在于熟练掌握：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的方程叫做一元一次方程．
B　
【分析】A选项中未知数的最高次数是2;C选项不是等式;D选项中含有两个未知数.故选B.
C　
【分析】因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,所以a-2=1,2+m=4,所以a=3,m=2,所以a+m=3+2=5.故选C.
7．D
【分析】设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人，再根据体育组有学生43人参加了篮球队即可解答．
【详解】解：设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人
根据体育组有学生43人参加了篮球队可得：．
故选D．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、确定只参加篮球的人数和“参加篮球队人数=只参加篮球人数+两队都参加的人数”是解答本题的关键．
8．D
【分析】根据题意列出方程即可求解．
【详解】根据题意列方程：，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键．
9．B
【分析】利用方程的解的定义及解方程分析结论即可．
【详解】①若，关于的方程的解为，故选项错误；
②若，关于的方程是一元一次方程，故选项正确；
③当时，关于的方程的解是，故选项正确；
④当，时，关于的方程的解是，故选项错误．
∴综上所述，正确的有②③．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的解的定义：使方程中等号两边都成立的未知数的值，以及解方程，解题的关键是掌握方程解的定义，会解方程．
10．C
【分析】根据一元一次方程的定义知，二次项系数等于零，一次项系数不为零，由此可以求得的值．
【详解】解：∵方程是一元一次方程，
∴且，
解得：，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义．本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1．
3
【解析】　把x=2代入方程+a=4得+a=4,
所以a=3.
12.1
【解析】　因为(a2-1)x2+ax+x-1=0是关于x的一元一次方程,
所以a2-1=0,a+1≠0,所以a=1.
13.1或0
【解析】　当2m-1=1,即m=1时,原方程是一元一次方程;当m=0时,原方程是一元一次方程.故m的值为1或0.
14．
【分析】根据增长率的计算方法，结合有理数的混合运算即可求解．
【详解】解：设去年同期这个景点接待市民游客万人，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查用方程表示增长率的计算，掌握增长率的计算，方程的运用，用字母表示数（或数量关系）的原则是解题的关键．
15．1
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此列式求解即可．
【详解】解：由是一元一次方程，得
，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
【解析】　因为mx2+(m+1)x=1是关于x的一元一次方程,所以m=0且m+1≠0,所以m=0.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意列出方程即可；
（2）根据圆的面积公式列出方程即可．
【详解】（1）解：由题意得：．
（2）解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查了列方程，认真审题、明确等量关系是解答本题的关键．
18.(1)是
(2)
(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可；
（3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解．
【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由：
解方程得：
，
方程的解为：
．
∵，
∴方程与方程是互为“美好方程”；
（2）关于x的方程的解为：，
方程的解为：，
∵关于x的方程与方程是“美好方程”，
∴，
∴；
（3）方程的解为：，
∵关于x的方程与是“美好方程”，
∴关于x的方程的解为：．
∵关于y的方程就是：,
∴，
∴．
∴关于y的方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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