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§2.6 有理数的加法
1. 有理数加法法则
问题
一位同学沿着一条东西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?
我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答.可是上述问题不能得到确定答案，因为问题中并未指出行走方向.
试验
我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正，向西为负.
(1)若两次都是向东走，很明显，一共向东走 了50米，写成算式就是
(+20)+(+30)=+50，
即这位同学位于原来位置的东方50米处.
这一运算在数轴上表示如图2-6-1.

图2-6-1
(2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位 置的西方50米处，写成算式就是
(-20)+(-30)=-50 .
思考
还有哪些可能情形?你能把问题补充完整吗?
(3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，我们先在数轴上表示如图2-6-2.
图2-6-2
写成算式是(+20)+(-30)=-10，
即这位同学位于原来位置的西方10米处.
(4)若第一次向西走20米，第二次向东走30米，写成算式是
(-20)+(+30)=( ).
即这位同学位于原来位置的( )方( )米处.
后两种情形中两个加数符号不同(通常可称异号)，所得和的符号似乎不能确定，让我们再试几次(下式中的加数不仿仍可看作运动的方向和路程)：
你能发现和与两个加数的符号和绝对值之间有什么关系吗?
(+4)+(-3)=( )；
(+3)+(-10)=( )；
(-5)+(+7)=( )；
(-6)+ 2 = ( ).
再看两种特殊情形：
(5)第一次向西走了30米，第二次向东走了30米.写成算式是
(-30)+(+30)=( ).
(6)第一次向西走了30米，第二次没走.写成算式是
(-30)+ 0 =( ).
我们不难得出它们的结果.
概括
综合以上情形，我们得到有理数的加法法则：
1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3. 互为相反数的两个数相加得0；
4. 一个数同0相加，仍得这个数.
注意
一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同.
例1 计算：
(+2)+(-11);
(+20)+(+12);
;
(-3.4)+4.3
解
(+2)+(-11)=-(11-2)=-9;
(+20)+(+12)=+(20+12)=+32=32;
;
(-3.4)+4.3=+(4.3-3.4)=0.9
练习
1. 填 表：
2. 计算：
10+(-4);
(+9)+7;
(-15)+(-32);
(-9)+0;
100+(-199);
(-0.5)+4.4;
+(1.25);
3. 填 空：
(1)( )+(-3)=-8；
(2)( )+(-3)= 8；
(3)(-3)+( )=-1；
(4)(-3)+( )= 0 .
4.两个有理数相加，和是否一定大于每个加数?
2. 有理数加法的运算律
根据有理数加法法则，我们可以知道，两个有理数相加，和只与加数的符号及绝对值有关，而与加数的位置无关.例如
(+3)+(-5)=(-5)+3；
(-5)+(-3)=(-3)+(-5).
也就是说在有理数加法中我们仍有： 加法交换律:两个数相加，交换加数的位置，和不变.即 a + b = b + a
试一试
试上几次，你能发现什么?
计算+(-6)，9+两式所得结果相同吗?
任意选择三个有理数，分别填入下列两个算式的不同记号内再试一试：
( □ + ○ )+ ◇ ，□ +( ○ + ◇ ).
概括
我们发现在有理数加法中也有： 加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
即 ( a + b )+ c = a + ( b + c )
这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化.
例2 计算：
(1) (+26)+(-18)+5+(-16)
(2)
解 (1)(+26)+(-18)+5+(-16)
=(26+5)+[(-18)+(-16)]
= 31+(-34)= -(34-31)= - 3 .
(2)
=
=
=
=
=
=
从几个例题中你能发现应用运算律时，通常将哪些加数结合在一起，可以使运算简便吗?
例3 10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：
2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5.
求这10 筐苹果的总重量.
解 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5)
= (2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5]
=8+(-4)= 4 .
30×10 + 4 = 304 .
答：10筐苹果总重量是304千克.
练习
1. 计算：
(-7)+(+10)+(-11)+(-2);
2+(-3)+(+4)+(-5)+6;
(3) ;
(4)
2. 利用有理数的加法计算：
某天气温从早晨-3℃到中午升高了5℃，到晚上降低了3℃，到午夜又降低了4℃.求午夜时的温度.
习题 2.6
1. 计算：
(1)(-12)+(+3)； (2)(+15)+(-4)；
(3)(-16)+(-8)； (4)(+23)+(+24)；
(5)(-102)+132； (6)(-32)+(-11)；
(7)(-35)+0； (8)78+(-85).
2. 计算：
(-0.9)+(+1.5);
(+6.5)+3.7;
1.5+(-8.5);
(-4.1)+(-1.9);
;
;
;
3. 计算：
(+14)+(-4)+(-2)+(+26)+(-3);
(-83)+(+26)+(-41)+(+15);
(-1.8)+(+0.7)+(-0.9)+1.3+(-0.2);
;
4. 列式并计算：
(1)求+1.2的相反数与-3.1的绝对值的和；
(2) 与的和的相反数是多少?
5. 利用有理数加法解下列各题：
(1) 存折中原有550元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有多少钱?
(2) 潜水艇原停于海面下800米处，先上浮150米，又下潜200米.这时潜水艇在海面下多少米处?
(3) 仓库内原存某种原料3500千克，一周内存入和领出情况如如下(存入为正，单位千克)： 1500，-300，-650，600，-1800，-250，-200.问第七天末仓库内还存这种原料多少千克?
(4) 某公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护.某天早晨从A地出发，晚上到达B地.约定向东为正方向，行走记录如下(单位千米)：
+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8.
问B地在A地何方，相距多少千米?若汽车行驶每千米耗油a升，求该天自出发至回到A地共耗油多少?

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