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§2.9 有理数的乘法
1.有理数的乘法法则
问题1 一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟，那么它现在位于原来的位置的那个方向，相距多少米?
我们知道，这个问题可用乘法来解答：
3×2＝6，
即小虫位于原来位置的东方6米处.
注意： 这里我们规定向东为正，向西为负。如果上述问题变为：
问题2 小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟，那么结果有何变化?这也不难，写成算式就是：
(－3)×2＝－6，
即小虫位于原来位置的西方6米处。
比较上面两个算式，有什么发现?
当我们把“3×2＝6”中的一个因数“3”换成它的相反数“－3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，一般地，我们有：
把一个因数 换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数.
试一试：
3×(－2)＝?
与3×2＝6相比较，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，即
3×(－2)＝－6.
再试一试：(－3)×(－2)＝?
把上式与(－3)×2＝－6对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“－6”的相反数“6”，即(－3)×(－2)＝6
此外，如果有一个因数是0时，所得的积还是0，如(－3)×0＝0、0×2＝0.
概括：综合以上各种情况，我们有有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.
任何数同0相乘，都得0.
例如：
(－5)×(－3)··················同号两数相乘
(－5)×(－3)＝＋( )················得正
5×3＝15····················把绝对值相乘
所以 (－5)×(－3)＝15.
再如：
(－6)×4····················异号两数相乘
(－6)×4＝－( )···················得负
6×4＝24····················把绝对值相乘
所以 (－6)×4＝－24.
例1 计算：
(－5)×(－6);
解
(－5)×(－6)=30;
练习
1.确定下列两数的积的符号:
5×(－3)；
(－3)×3;
(－2)×(－7)；
2.计算:
3×(－4)；
(－5)×2；
(－6)×2；
6×(－2)；
(－6)×0；
0×(－6)；
(－4)×0.25;
(－0.5)×(－8)；
;
;
(－5)×2；
2×(－5)
3.计算:
3×(－1)；
(2)(－5)×(－1)；
(3) ；
(4)0×(－1)；
(－6)×1；
(6)2×1；
0×1；
(8)1×(－1).
2．有理数乘法的运算律
我们看下面的例子：
(－3)×2＝－6，2×(－3)＝－6，
就有 (－3)×2＝2×(－3).
换些数再试一试.
一般地，我们有乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
ab＝ba.
再看下面的例子：
－12×(－5)＝(－12)×(－5)＝60，
3×＝3×20＝60，
就有 ×(－5)＝3×.
换些数再试一试，
一般地，我们有乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相积乘，或者先把后两个数相乘，积不变.
(ab)c＝a(bc).
想一想
［(－３)×(－２)］×５与(－２)×［(－３)×５］是否相等?
根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.
例2 计算：
(-10) ××0.1×6
解
(-10) ××0.1×6
= [(-10) ×0.1] ×
= (-1) ×2 = - 2
能直接写出下列各式的结果吗?
(-10) ××0.1×6 =
(-10) ××(-0.1)×6 =
(-10) ××(-0.1)×( -6 )=
观察以上各式，能发现几个正数与负数相乘，积的符号与各因数的符号之间的关系吗?
一般地，我们有几个:不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘.
试一试：
几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.
例3 计算:
(1) ;
(2)
解
(1) = = 8+3=11
(2) ==
练习
1.计算：
(1)
(2)
(3)
2.计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
我们知道，在含有加减乘的算式中，要先算乘，后算加减，有括号时，先算括号里面的.
看下面的例子：
5×＝5×(－4)＝－20；
5×3＋5×(－7)＝15－35＝－20；
可得 5×＝5×3＋5×(－7).
一般地，我们有分配律：
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
a(b＋c)＝ab＋ac.
例4 计算：
(1) ;
(2)
解
;
例5 计算：
4×(-12)+(-5)×(-8)+16
解
4×(-12)+(-5)×(-8)+16=8×(-6+5+2)=8×1=8
由上面的例子可以看出，应用运算律，有时可使运算简便. 也有时需要先把算式变形，才能用分配律，如例4(2)，还有时需反向运用分配律，如例5(1).
练习
1.计算:
(1)
(2) ;
(3) ;
(4)
2.计算:
(1) ;
(2)
习题2.9
1.计算
(1)(－6)×(－7)； (2)(－5)×12；
(3)(－26)×(－1)； (4)(－25)×14.
2.计算：
(1)0.5×(－0.4)； (2)－10.5×0.2；
(3)(－100)×(－0.001)；(4)－4.8×(－1.25)；
(5)－7.6×0.02； (6)－4.5×(－0.32).
3.计算：
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4)
4.计算：
(1)－2×(－3)×(－4); (2)6×(－7)×(－5);
(3)100×(－1)×(－0.1);
(4)(－8)××(－1) ×0.5;
(5)21×(－71)×0×43;
(6)－9×(－11)－12×(－8).
5.计算：
(1) ;
(2)
(3)
(4)
读一读
队列操练中的数学趣题
一次团体操排练活动中，某班45名学生面向老师站成一列横队.老师每次让其中任意6名学生向后转(不论原来方向如何)，能否经过若干次后全体学生都背向老师站立?如果能够的话请你设计一种方案，如果不能够，请说明理由.
问题似乎与数学无关，却又难以入手.注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量有关，向后转又可想象为进行一次运算，或者说改变符号.我们能否设法联系有理数知识进行讨论?
让我们再发挥一下想象力：假设每个学生胸前有一块号码布，上写“+1”，背后有一块号码布，上写“-1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45个+1的“乘积”是+1.如果最后全部背向老师，则45个-1的“乘积”是-1.
再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”.我们也设想老师不叫“向后转”，而称这6名学生对着老师的数字都“乘以-1”.这样问题就解决了：每次“运算”乘上了6个-1，即乘上了+1，故45个数的乘积不变(数学上称不变量)，始终是+1.所以要乘积变为-1是不可能的.
一个难题，被有理数的简单运算别出心裁地解决了.有理数的知识多么有用！可同学们的想象力更重要.
试一试
将一根绳子两端分别涂上红色和白色，再在中间随意涂上若干个白色或红色的圆点.在这些圆点中间剪开，这样所得到的各小段两端都有颜色.试说明两端颜色不同的小段数目必是奇数.

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