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2023-2024学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使有意义，则的值可以是( )
A. B. C. D.
2.在直角三角形中，若两直角边长分别为和，则斜边为( )
A. B. C. D.
3.下列一次函数的图象中，与直线平行的是( )
A. B. C. D.
4.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
5.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植，某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，则这组数据的平均数和方差分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
7.如图，在中，，为中点，若，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
8.下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是( )
A. 直线与轴交点的坐标是 B. 直线经过第一、二、四象限
C. 随的增大而减小 D. 与两坐标轴围成的三角形面积为
9.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
10.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，，则这位同学发挥最稳定的是______．
12.已知的三边长分别为、、，则的面积为______．
13.若，则 ______．
14.如图，是平行四边形对角线的交点，过的直线分别交、于点、，若，，，则四边形的周长是______．
15.已知一次函数，当时，，则 ______．
16.如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：若为上任意一点，则；若，则；若为的中点，则四边形是正方形；若：：，则；若过点作正方形交边于，则则其中正确的是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
；
．
18.本小题分
某校开展“满园书香，奉献互助”的志愿活动，倡议学生利用双休日在海珠少儿图书馆参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，根据如图提供的信息，解答下列问题：
抽查的学生劳动时间的众数为______，中位数为______．
已知全校学生人数为人，请你估算该校学生参加义务劳动小时的有多少人？
19.本小题分
函数的图象为直线，函数图象为直线，两直线相交于点．
求、的值；
在给出的直角坐标系中，画出直线和直线的图象；
求直线、与轴围成的三角形面积．
20.本小题分
学校操场边有一根垂直于地面的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子紧系于旗杆顶端处打结处忽略不计，小杰同学通过操作、测量发现：如图，当绳子紧靠在旗杆上拉紧到底端后，还多出米，即米；如图，当离开旗杆底端处米后，绳子恰好拉直且绳子末端处恰好接触地面，即米，求旗杆的高度．
21.本小题分
如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的长．
22.本小题分
长方形纸片中，，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
点的坐标是______，点的坐标是______；
在上找一点，使最小，求点坐标．
23.本小题分
红星学院计划举办数学活动周，王老师负责购买一批奖品，据了解，甲商店所有商品按每件元出售，在乙商店，购物金额与购买商品数量的关系如图所示，设在甲商店的购物金额为，在乙商店的购物金额为，购买的奖品数量为件．
根据图象，求出在乙商场购物时与的函数关系式；
直接写出在甲商场购物时与的函数关系式，并画出图象若在同一家商店购买奖品数量为件时，在乙商店比在甲商店更划算，求此时的取值范围．
24.本小题分
已知在平面直角坐标系中，，，一次函数解析式为，其图象直线记为．
求直线的解析式；
我们定义：平面直角坐标系中，点，，若，，且，则称点是点的“级变换点”，例如，点是点的“级变换点”．
现将直线上的每个点进行“级变换”，变换后的点都在一条直线上，直接写出该直线的解析式；
记中的直线为，当时，与有交点，求的取值范围；
已知点，对先进行“级变换”得到点，再对点进行“级变化”得到点，其中，求证：直线必经过原点．
25.本小题分
如图，等边中，．
尺规作图：在图中作点关于的对称点，连接，，并证明四边形是菱形；
在的条件下，点是四边形对角线交点，动点，，分别在线段，，上，且满足，，是中点；
当时，求证；
当时，求长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
则的值可以是，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：这个直角三角形的斜边长，
故选：．
直接利用勾股定理解答即可．
此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：直线与直线平行，
故选：．
根据相同，且不相等判断即可．
本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键掌握当相同，且不相等，图象平行．
4.【答案】
【解析】解：、，不合题意；
B、为最简二次根式，符合题意；
C、，不合题意；
D、，不合题意，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由题意知，平均数是，
方差为，
故选：．
根据平均数，方差的计算公式求解作答即可．
本题考查了平均数，方差．熟练掌握平均数，方差的计算公式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、分别是、中点，
是的中位线，
，
米，
米，
、两点间的距离为米．
故选：．
由三角形中位线定理得到，而米，即可求出米．
本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到．
7.【答案】
【解析】解：，点为斜边的中点，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得答案．
此题主要考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8.【答案】
【解析】解：、直线与轴交点的坐标是，符合题意；
B、一次函数的图象中，，故直线经过第一、二、四象限，不符合题意；
C.、一次函数的图象中，有 随 的增大而减小，不符合题意；
D、由一次函数 可知与坐标轴的交点坐标分别为和，与坐标轴围成的三角形面积为，不符合题意；
故选：．
根据题意由题目中的函数解析式，利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：过点作轴于，过点作轴于，则，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
≌，
，，
点，，的坐标分别为，，，
，，，，
，，
，，
点的坐标为，
故选：．
过点作轴于，过点作轴于，可证≌，得到，，进而由点，，的坐标得到，，即可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
．
．
故选：．
连接，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握它们的性质和掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
11.【答案】乙
【解析】解：，
这位同学发挥最稳定的是乙．
故答案为：乙．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．比较甲，乙，丙三人的方差大小，根据方差的意义解答即可．
本题考查的是方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：的三边长分别为，，，
，
是直角三角形，两直角边是，，
的面积为：，
故答案为：．
根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形．再求面积．
本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
13.【答案】
【解析】解：．
，
解得，
故，
故答案为：．
直接利用二次根式有意义，则根号下部分不小于零，进而解不等式组得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，正确得出的值是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形的周长，
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，，进而得，可得≌，得到，，得到，即可得到四边形的周长关系式，代入数据即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的周长，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：当，；，时，
，
解得；
当，；，时，
，
解得；
或，
故答案为：或．
分两种情况，分别把，；，和，；，代入到函数解析式解答即可求解．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键．
16.【答案】．
【解析】解：连接，与相交于点，

四边形是正方形，
，，，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
在与中，
，
≌，
，
，故正确；
四边形是正方形，
，，
，
，
，故错误；
当是的中点时，是，的交点，即与重合，
，，
，
矩形是正方形，故正确；
正方形的边长为，
正方形的面积，
：：，
，故错误；
若四边形为正方形，
则，，
，
，
又，
≌，
，
，
，故正确；
综上，正确的是，
故答案为：．
根据正方形的性质得出，进而利用全等三角形的判定和性质判断；
根据等腰三角形的内角和定理判断；
根据正方形的判定判断；
根据正方形的面积公式和三角形的面积公式解答判断；
证得≌，即可判断．
此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
17.【答案】解：
．
．
【解析】先化为最简二次根式，在合并同类二次根式即可．
先把两个二次根式相乘，得到的结果再除以，进行分母有理化得到结果即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题关键．
18.【答案】小时 小时
【解析】解：由条形统计图可得，劳动时间为小时人数最多，
众数为小时，
抽查调查的学生人数为人，
数据按由小到大排列后，中位数为第和位数的平均数，
中位数为小时，
故答案为：小时，小时；
，
答：估计该校学生参加义务劳动小时的有人．
根据众数和中位数的定义即可求解；
用乘以劳动小时的人数占比即可求解．
本题考查了条形统计图，众数和中位数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键．
19.【答案】解：将代入得，，
解得，，
将代入得，，
解得，，
，；
由可知，，
的图象与坐标轴的两个交点为、；的图象与坐标轴的两个交点为、；作函数图象如下；
解：由题意知，，
直线、与轴围成的三角形面积为．
【解析】将分别代入，，计算求解可得、的值；
由可知，，则的图象与坐标轴的两个交点为、；的图象与坐标轴的两个交点为、；然后作函数图象即可；
根据直线、与轴围成的三角形面积为，计算求解即可．
本题考查了一次函数解析式，一次函数图象，坐标与图形；熟练掌握一次函数解析式，一次函数图象，坐标与图形是解题的关键．
20.【答案】解：设旗杆米，则米，
根据勾股定理可得，，
，
解得，
答：旗杆的高度为米．
【解析】设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21.【答案】证明：，
，，
又，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：如图，作于，
，
，
由勾股定理得，，
解得，，
，
由勾股定理得，，
的长为．
【解析】证明≌，则，进而结论得证；
如图，作于，则，，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等角对等边，勾股定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等角对等边，勾股定理是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：由折叠可得，，，
四边形是长方形纸，
，，，
，
，
点的坐标是，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
点的坐标是，
故答案为：，；
作点关于的对称点，连接，交于点，则 ，
，由两点之间线段最短，可得此时最小，
点和点关于对称，
点，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
点坐标为．
由折叠可得，，利用勾股可得，即得，得到点的坐标是，设，则，在中由勾股定理得，解方程可得，即得点的坐标；
作点关于的对称点，连接，交于点，则 ，即得，由两点之间线段最短，可得此时最小，由对称可得点，利用待定系数法可得直线的解析式为，把代入函数解析式即可求解．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，轴对称最短线段问题，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数图象上点的坐标，利用轴对称找到点的位置是解题的关键．
23.【答案】解：当时，设，把代入得，，
，
；
当时，设，把和代入得，
，
解得，
；
综上，；
由题意可得，，当时，，画函数图象如下：
由得，，
由函数图象可得，当时，乙商店购物比在甲商店购物更划算．
【解析】分和两种情况，利用待定系数法解答即可求解；
根据题意可得与的函数关系式，根据函数解析式可画出的函数图象，根据图象求出在两个商场购物金额相等时奖品数量的值，进而结合图象可得的取值范围．
本题考查了一次函数的应用，根据题意，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
24.【答案】解：设直线的解析式为，把，代入可得，
，
，
直线的解析式为，
将点，分别进行“级变换”得到点，，
设变换后的直线解析式为，把，代入得，
解得，
变换后的直线解析式为，
联立和为，
可得，，
则，
或，
解得或，
由题意得，点的坐标是，则点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
直线必经过原点．
【解析】利用待定系数法求出函数解析式即可；
将点，分别进行“级变换”得到点，，利用待定系数法求出变换后的直线解析式即可；
联立和得到方程组，求出，根据得到或，解得或即可；
由题意得点的坐标是，则点的坐标为，由得到点的坐标为，又由点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可证明结论成立．
此题考查了一次函数的图象和性质，用到待定系数法、利用方程组求两直线的交点等知识，读懂题意，理解“级变换点”是解题的关键．
25.【答案】解：作的平分线，交于，截取，点即为所作；

是等边三角形，
垂直平分，即，，
又，
四边形是菱形；
证明：四边形是菱形，
，，，，，
，
，，，
，
如图，作于点，则，
，
是的中点，
如图，连接，
是中点，
，
，
，，
，，
，
如图，作交于，则，
四边形是平行四边形，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
解：菱形，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
如图，作于，连接，延长，交于，交于，则四边形是矩形，
，，
由可知，，，，
，，
设，，则，，，，，，
，，，
≌，
，
由题意知，，，
由勾股定理得，，
解得，，
同理，，
，
，
解得，，
，
，
的长为．
【解析】作的平分线，交于，截取，点即为所作；由等边，可得垂直平分，即，，进而可证四边形是菱形；
由题意证，，如图，作，则，由，可得是的中点，如图，连接，则，由，，可得，，则，如图，作交于，则，证明四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，证明是等边三角形，则，由，可得；
由题意求，，，如图，作于，连接，延长，交于，交于，则四边形是矩形，，，设，，则，，，，，，证明≌，则，由题意知，，，由勾股定理得，，则，同理，，由，可得，可求，则，进而可求的长．
本题考查了作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键．
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