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5.3 实际问题与一元一次方程 学案
（一）学习目标：
1.理解一元一次方程的基本概念，并能在实际问题中正确建立一元一次方程。
2.学会运用一元一次方程解决简单的实际问题，提升逻辑思维能力与数学应用能力。
3.培养学生的分析问题和解决问题的能力，增强数学学习的自信心和兴趣。
（二）学习重难点：
重点:-元一次方程的概念及其应用；从实际问题中提取关键信息，构建一元一次方程。
难点:理解并运用一元一次方程解决具有复杂情境的实际问题，提高思维的灵活性和深度。
阅读课本，识记知识：
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：分析题目中已知什么，求什么，找到包含已知和未知的等量关系；
（2）设：用来表示题目中的一个未知数，其他的未知数用含的整式来表示；
（3）列：根据题目的等量关系列出方程；
（4）解：解所列的方程，求出未知数的值；
（5）检验：检验所得未知数的值是否是方程的解，是否符合问题的实际意义；
（6）答：写出答案。
2.列一元一次方程解应用题的常见类型：
（1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等；
（2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；
（3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=；
（4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。
（5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；
（6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系；
（7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和；
（8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变；
（9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1.
（10）利润问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=；
（11）数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为；
（12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）；
（13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度=；溶质质量=溶液质量×百分比浓度。
【例1】某超市将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售,仍可获利20%,则该超市该品牌粽子的标价为(　　)
A.180元　　　B.170元　　　C.160元　　　D.150元
【答案】A　
【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元,则售价为80%x元,由题意得80%x-120=20%×120,解得x=180.故该超市该品牌粽子的标价为180元.故选A.
【例2】 某次数学竞赛共有20道题,已知做对一道得4分,做错一道或者不做扣1分,某同学最后的得分是50分,则他做对的题目道数是(　　)
A.14　　　B.15　　　C.16　　　D.17
【答案】A　
【分析】设他做对x道题,则做错或不做(20-x)道题,由题意得4x-(20-x)=50,解得x=14.
所以他做对14道题.
选择题
1．某轮船在静水中的速度为，水流速度为，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比？若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（ ）
A．商品的利润不变 B．商品的售价不变
C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变
4．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（ ）
A．53 B．56 C．59 D．62
5．如图，在数轴上，点、分别表示数、，且、互为相反数，若，则点表示的数为（ ）

A．8 B．4 C．0 D．
6．某小组计划做一批中国结，如果每人做5个，那么比计划多做了8个，如果每人做3个，那么比计划少6个．设计划做x个“中国结”，可列方程（ ）
A． B． C． D．
7．某市采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费2元；若用水超过，超过部分每立方米加收1元．小明家某月交水费82元，则该月用水（　　）．
A．38 B．28 C．34 D．44
8．2023年4月的日历上圈出了相邻的三个数、、，并求出了它们的和为36，这三个数在日历中的排布不可能是（ ）
B．
C． D．
9.由于换季,商场准备对某商品打折出售,如果按原售价的七五折出售,将亏损25元,而按原售价的九折出售,将盈利20元,则该商品的原售价为(　　)
A.230元　　　B.250元　　　C.270元　　　D.300元
10.我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何 ”意思是:现有几个人共买一件物品,每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱.问人数,物价各是多少 若设共有x人,物价是y钱,则下列方程正确的是(　　)
A.8(x-3)=7(x+4)　　　　B.8x+3=7x-4
C.
填空题
11．甲、乙二人分别从A、B两地出发相向而行．如果二人同时出发，则12小时相遇；如果甲走全程需要20小时，则甲、乙二人的速度比是 ．
12．某商场门口沿马路向东是公园，向西是某中学．该校两名学生从商场出来准备去公园，他们商议两种方案：（1）先步行回校取自行车，然后骑车去公园；（2）直接从商场步行去公园．已知骑车速度是步行速度的4倍，从商场到学校有3公里的路程．结果他们采用了所用时间较少的方案（1），那么商场到公园的路程至少大于 公里．
13．一项工作，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果两人合做几天后，余下的工作再由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合做了 天．
14．小明、小杰两人共有100本图书，如果小杰送给小明15本，两人的图书就一样多．如果设小明原来有本图书，根据题意，可以列出方程： ．
15．一游泳池计划注入一定体积的水，按每小时的速度注水，注水小时后，注水口发生故障，停止注水，经分钟抢修后，注水速度比原来提高了，结果比预定的时间提前了分钟完成注水任务，则计划注入水的体积为 ．
三、解答题
16．某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名
17.有一艘客轮和一艘货轮每天都要往返于A、B两个港口，客轮从A港口顺流而下到B港口需要4个小时，从港口逆流而上返回A港口需要5小时，已知水流的速度是，货轮逆流的速度与客轮顺流的速度相等．
(1)求客轮在静水中的速度；
(2)若客轮从A港口开往目的地B港口，先出发10分钟之后，货轮从B港口开往目的地A港口，问货轮开出几小时两船相距．
18.超市规定某品牌矿泉水销售方法如下：
购买矿泉水的数量 不超过30瓶 30以上但不超过50瓶 50瓶以上
每瓶价格 3元 元 2元
学校举行运动会时，六（）班集体购买这个品牌的矿泉水，由于天气炎热，第一次买的水不够喝，又买了一次（第一次多于第二次）．已知两次共购买水瓶，共付元．
(1)如果六（）班第一次直接买瓶水，可以少付多少钱？
(2)求这个班级第一次和第二次分别购买多少瓶水？
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1．D
【分析】根据题意逐项分析即可．
【详解】解：∵张老师骑自行车的速度为米/分，汽车速度是自行车速度的倍，
∴汽车速度是米/分，故C选项说法错误；
设乘坐汽车到达纪念馆所用的时间为分钟，
则
解得：
故乘坐汽车到达纪念馆所用的时间为分钟，故A选项说法错误；
则骑自行车到达纪念馆所用的时间为分钟，故B选项说法错误；
学校与刘禹锡纪念馆之间的距离为米千米，故D选项说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
2．A
【分析】根据“甲先做天，乙再参加合做”找到等量关系列出方程即可．
【详解】由题意可得：，
故选：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据工作量之间的关系列出方程．
3．B
【分析】先求出商品B的进价和售价，然后进行比较即可．
【详解】解：商品B的售价为（元），
设商品B的进价为x元，根据题意得：
，
解得：，
总进价为（元），
总售价为：（元），
∵，
∴该商店这次销售亏损了，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了销售盈亏问题，解题的关键是求出商品B的进价和售价．
4．D
【分析】根据往返的时间和等于5小时，列方程即可．
【详解】解：由题意得，可得．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
5．D
【分析】由的长度结合、表示的数互为相反数，即可得出，表示的数
【详解】解：∵，两点对应的数互为相反数，
∴设表示的数为，则表示的数为，
∵
∴，
解得：，
∴点表示的数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程．
6．D
【分析】设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可．
【详解】解：设计划做x个“中国结”，
由题意得，，
故选D．
【点睛】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程，正确找到实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
7．C
【分析】根据题意得出20立方米时交40元，题中已知五月份交水费82元，即已经超过20立方米，所以在82元水费中有两部分构成，列方程即可解答．
【详解】解：设他家该月用水，根据题意得：
，
解得：，
答：他家该月用水．
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
8．B
【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解，然后判断即可．
【详解】解：A．设最小的数是．，．故本选项不符合题意．
B．设最小的数是．，，故本选项符合题意．
C．设最小的数是．，，故本选项不符合题意．
D．设最小的数是．，，本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用．解题的关键在于掌握日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．
9.D　设该商品的原售价为x元,根据题意得75%x+25=90%x-20,解得x=300,则该商品的原售价为300元.故选D.
10.D　若共有x人,根据题意可得8x-3=7x+4,若物价是y钱,根据题意可得=.故选D.
11. D
【分析】设数轴上的动点表示的数是，根据数轴上的点向左移动时，点表示的数减去移动的长度，向右移动时，点表示的数加上移动的长度，得到点表示的数是，点表示的数是，根据点表示数是，推出，解之即可．
【详解】解：设数轴上的动点A表示的数是，
由于右移动7个单位长度到点，
∴点表示的数是，
再向左移动5个单位长度到，
∴点表示的数是．
∵点表示数是，
∴，即，
∴点A表示的数是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的数“左减右加”．
12．A
【分析】根据“阶梯价格”收费办法列出方程即可．
【详解】根据题意可得，．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
13．C
【分析】设体积为v，根据瓶子中水的体积不变列出方程求解即可．
【详解】解：设体积为v，则，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确瓶子中水的体积不变是解题的关键．
14．
【分析】根据题意，设小明原来有本图书，由等量关系“小杰送给小明15本，两人的图书就一样多”列出方程即可得到答案．
【详解】解：设小明原来有本图书，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键．
15．
【分析】设计划注入水的时间为x小时，根据“比预定的时间提前了10分钟完成注水任务”列出方程并解答．
【详解】解：设计划注入水的时间为x小时，
依题意得：，
解得．
，
∴计划注入水的体积为立方米．
故答案为：．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于根据题意找到等量关系列出方程．
16.解析　设应安排x名工人生产螺钉,则安排(22-x)名工人生产螺母,
依题意,得2×1 200x=2 000(22-x),
解得x=10,所以22-x=22-10=12.
答:应安排10名工人生产螺钉,12名工人生产螺母.
400
【分析】根据题意列一元一次方程，注意八折即原价的．
【详解】解：设成本为x元，则
解得，．
故答案为：400．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．
18.(1)元
(2)第一次购买瓶矿泉水，第二次购买瓶矿泉水
【分析】（1）计算直接买瓶水的费用为（元），计算两种方式购买费用的差即可．
（2）设六（）班第一次购买瓶矿泉水，依题意可分为三种情况求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，直接买瓶水的费用为（元），
故少支付：（元）．
（2）解：设六（）班第一次购买瓶矿泉水，依题意可分为三种情况：
①第一次买的超过瓶，第二次买的不超过瓶，
依题意得：，
解得：．（不符题意）
②第一次买的超过瓶但不超过瓶，第二次买的不超过瓶，
依题意得：，
解得：．
②次购买的瓶数都是超过瓶但不超过瓶．
依题意得：元，不符合题意．
答：六（）第一次购买 瓶矿泉水，第二次购买 瓶矿泉水．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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