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6.3.3 余角和补角 学案
（一）学习目标：
1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质。
2.初步接触和体会演绎推理的方法和表述，能用简单的代数思想- -方程思想来处理图形的数量关系。
3.通过探索互余、互补角的性质，培养积极的情感态度，促进良好的数学观的养成。
（二）学习重难点：
重点:互余、互补角的概念和性质。
难点:互余、互补角的正确判断及用代数方法计算角的度数。
阅读课本，识记知识：
1.余角：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角；
2.补角：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角；
3.互余的性质：同角或等角的余角相等；
4.互补的性质：同角或等角的补角相等；
5.一个锐角的余角可表示为（）；一个角的补角可以表示为（），显然，一个锐角的补角比它的余角大90°。
【例1】若∠A=48°40',则∠A补角的大小是(　　)
A.41°20'　　　　B.41°60'
C.131°20'　　　　D.131°60'
【答案】C　
【分析】∠A的补角=180°-48°40'=131°20'.
【例2】 将一副直角三角板的顶点重合放置在一起,如图所示,则∠1与∠2的大小关系是(　　)
A.∠1>∠2　　　　B.∠1=∠2
C.∠1<∠2　　　　D.不能确定
【答案】B　
【分析】根据同角的余角相等,可得∠1=∠2.
选择题
1．如果一个角的补角是，那么这个角的余角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．互余且相等的两个角各是
B．一个角的余角一定小于这个角的补角
C．如果，那么的余角与的余角的和等于的余角
D．如果，那么的余角与的余角的和等于的补角
3．若，则补角的大小是( )
A． B． C． D．
4．下列说法（1）两个数比较．绝对值大的反而小；（2）0乘以任何数都得0；（3）两数相除，同号得正，异号得负；（4）等角的补角相等；（5）如果一个数的绝对值等于这个数本身，那么这个数是正数．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．将一副三角板如图放置，若，则（ ）

A．122° B．132° C．142° D．152°
6．如图，将一副三角板顶点靠在一直尺的边上，若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
7．若锐角α的补角是，则锐角α的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．已知一个角的度数为，则下列角中，与已知角的度数为互补关系的可能是（ ）
A． B．
C． D．
9.若∠1与∠2互为余角,∠1与∠3互为补角,则下列结论:①∠3-∠2=90°;②∠3+∠2=270°-2∠1;③∠3-∠1=2∠2;④∠3<∠1+∠2.其中正确的是(　　)
A.①　　　　B.①②
C.①②③　　　　D.①②③④
10. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30°,那么这个角的度数是(　　)
A.50°　　　B.70°　　　C.130°　　　D.160°
填空题
11．一个角的补角是它的余角的倍，则这个角余角的度数是 ．
12．已知，则的补角等于 ．
13．已知，若和互补，和互余，则 ．
14．如图，、、三点在一条直线上，如果，，那么的值等于 ．

15．如图，把一个三角板绕点旋转一定的角度，若，则 ，你的理由是 ．
三、解答题
16．如图,O是直线AB上一点,OC为任意一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.
(1)图中∠AOD的补角是　　　　和　　　　,∠BOD的余角是　　　　和　　　　;
(2)已知∠COD=40°,求∠COE的度数.
17.如图，已知，分别是和的角平分线，．
求：
(1)的余角的度数是多少？
(2)的补角的度数是多少度？
18.如图，中，，是的角平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若是的中点，的面积为27，，求的长．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1．B
【分析】首先根据补角的定义求得这个角的度数，然后根据余角的定义即可求出这个角的余角．
【详解】解：根据定义一个角的补角是，
则这个角是，
这个角的余角是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查的是补角和余角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为；互为补角的两个角的和为．
2．C
【分析】根据如果两个角的和为，称这两个角互为余角；如果两个角的和为，称这两个角互为补角，以此计算即可．
【详解】A. 互余且相等的两个角各是，正确，不符合题意；
B. 设这个为，则它的余角为，它的补角为，
故，正确，不符合题意；
C. 的余角为，的余角为，的余角为，
的余角与的余角的和等于，
错误，符合题意；
D. 的余角为，的余角为，的余角为，
的余角与的余角的和等于，
正确，不符合题意；
故选Ｃ．
【点睛】本题考查了余角，补角的计算，正确理解定义是解题的关键．
3．D
【分析】两个角的和为 则这两个角互为补角，根据补角的含义可得答案．
【详解】解：∵，
∴的补角为
故选D．
【点睛】本题考查的是互补的两个角之间的关系，掌握“两角互补的含义”是解本题的关键．
4．C
【分析】根据有理数的大小比较法则，有理数乘法和除法法则，补角的性质和绝对值的性质逐一判断即可．
【详解】解：（1）两个负数比较．绝对值大的反而小，原说法错误；
（2）0乘以任何数都得0，说法正确；
（3）两数相除，同号得正，异号得负，说法正确；
（4）等角的补角相等，说法正确；
（5）如果一个数的绝对值等于这个数本身，那么这个数是正数或0，原说法错误．
综上，正确的说法有（2）（3）（4），共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数乘法和除法法则，补角的性质和绝对值的的性质等知识，掌握基本定义和性质是解题的关键．
5．D
【分析】根据补角的定义即可．
【详解】解：由图知与互为补角，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了补角的定义，理解补角的定义并能熟练运用是本题的关键．
6．B
【分析】根据补角的定义及余角的定义可知，进而即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了补角的定义，余角的定义，角的和差运算，掌握补角的定义是解题的关键．
7．B
【分析】和为的两个角互为补角，根据定义计算即可．
【详解】解：∵锐角α的补角是，
∴锐角α的度数是，
故选：B．
【点睛】此题考查了补角的定义，熟记定义并正确计算是解题的关键．
8．A
【分析】求出角的补角的度数，判断角的形状.
【详解】解：∵这个角的度数为，
∴这个角的补角为，属于钝角，
故选：A．
【点睛】本题考查了补角的知识，属于基础题，掌握互补的两角之和为是关键.
9.C　根据题意得(1)∠1+∠2=90°,(2)∠1+∠3=180°,
(2)-(1)得,∠3-∠2=90°,所以①正确;
(1)+(2)得,∠1+∠2+∠1+∠3=270°,所以∠3+∠2=270°-2∠1,所以②正确;
(2)-(1)×2得,∠1+∠3-2(∠1+∠2)=0°,所以∠3-∠1=2∠2,所以③正确;
由③可得∠3=∠1+2∠2,所以∠3>∠1+∠2,所以④错误.故选C.
10.C　设这个角的度数是x°,根据题意,得x=2(180-x)+30,解得x=130,
即这个角的度数为130°.故选C.
11./30度
【分析】根据补角和余角的定义，“利用一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果．
【详解】解：设这个角的度数是，
则，
解得．
这个角的余角．
则这个角的余角度数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查余角和补角的知识，一元一次方程的应用，设出未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法．
12．
【分析】利用补角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的补角等于：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查补角，度分秒的换算，解答的关键是明确互补的两角之和为180°．
13．/10度
【分析】根据互余两角之和为，互补两角之和为，求解即可．
【详解】解：∵，与互补，
∴，
∴，
∵与互余，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键在于掌握互余两角之和为，互补两角之和为．
14．45
【分析】根据平角的定义及补角的定义求解即可．
【详解】∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了平角的定义和补角的定义，即和为180度的两个角互为补角，熟练掌握平角的定义，列出一元一次方程是解题的关键．
15． /度 同角的余角相等
【分析】根据题意可得，由此可利用同角的余角相等得到．
【详解】解：由三角板中角度的特点可知，
∴（同角的余角相等），
∵，
∴，
故答案为：，同角的余角相等．
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，正确理解题意是解题的关键．
16.【解析】　(1)∠BOD;∠COD;∠COE;∠AOE.
(2)因为OD平分∠BOC,∠COD=40°,
所以∠BOC=2∠COD=80°,
由题意可知,∠AOB是平角,∠AOB=∠AOC+∠BOC,
所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-80°=100°,
因为OE平分∠AOC,所以∠COE=∠AOC=50°.
17.(1)
(2)
【分析】（1）由、分别是和的平分线，利用角平分线定义可得，，从而得出，算出再根据余角的定义解答即可；
（2）由（1）得出的度数，根据补角的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∴的余角的度数是：；
（2）由（1）得到，
∴的补角的度数是：．
【点睛】此题考查了余角、补角和角平分线定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
18.(1)
(2)9
【分析】（1）先利用互余计算出，再利用角平分线的定义得到；
（2）先利用是的中点得到，再根据三角形面积公式得到，然后解关于的方程即可．
【详解】（1），
，
是的角平分线．
；
（2）是的中点，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及线段中点，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义．
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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