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二次根式（二）（3个知识点+7种经典题型+试题练习）
本节知识导图
知识点合集
知识点1．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝ （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： ＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 ＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
【例1】（2023秋 青龙县期末）计算的结果为　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键．
【变式1】（2024春 荆门期末）计算：　2　．
【分析】根据二次根式的除法法则计算．
【解答】解：
，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
【变式2】（2024 广西模拟）　　．
【分析】根据计算，再化简即可得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握是解题的关键．
【变式3】（2023 衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答．
【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是，，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
【变式4】（2024春 东港区校级月考）在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值．
小刚是这样解的：．
把，代入，得．
显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程．
【分析】利用二次根式的性质结合，的关系得出它们的符号，进而化简求出答案．
【解答】解：，，
，，
．
把，代入，得原式．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
知识点2．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
【例2】（2023秋 驿城区期末）的相反数是　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：的相反数是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
【变式1】（2023秋 闵行区校级期末）的有理化因式为 　　．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：的有理化因式是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
【变式2】（2024 西城区校级开学）的相反数是　　；的倒数是　　．
【分析】先根据二次根式的除法法则求出，再由相反数的定义求解；根据倒数的定义，用1除以即可得到的倒数．
【解答】解：，3的相反数是，
的相反数是；
的倒数是．
故答案为；．
【点评】本题考查了二次根式的除法，分母有理化，相反数与倒数的定义，是基础知识，比较简单．
【变式3】（2024春 宁国市期末）如果，，那么下列各式中正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】先根据已知条件判断，的正负，
．根据二次根式的除法法则计算，然后进行判断；
．利用二次根式的乘法法则进行计算，然后判断即可；
．根据二次根式的除法法则进行计算，然后判断即可；
．根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可．
【解答】解：，，
，，
．，，，此选项计算错误，故此选项不符合题意；
．，，，此选项计算正确，故此选项符合题意；
．，，，此选项计算错误，故此选项不符合题意；
．，，，此选项计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的有关运算和性质，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则和二次根式的性质．
【变式4】（2024春 荆门期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查二次根式的分母有理化；主要根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．
知识点3．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【例3】（2024春 淮滨县期末）下列二次根式中，能与合并的是　　
A． B． C． D．
【分析】将各式化为最简二次根式后即可判断．
【解答】解：（A）原式，故不能合并，
（B）原式，故不能合并，
（C）原式，故能合并，
（D）原式，故不能合并，
故选：．
【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型
【变式1】（2024春 庐阳区校级期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则　　．
【分析】由同类二次根式的定义可知，从而可求得的值．
【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式，
．
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【变式2】（2023秋 邯郸期末）若与最简二次根式可以合并，则　2　．
【分析】根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可．
【解答】解：，
与最简二次根式可以合并，
，
解得：．
故答案为：2．
【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
【变式3】（2023秋 驿城区校级期末）若与最简二次根式能合并，则的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】，能与合并，则，进而可求出的值．
【解答】解：，
与最简二次根式能合并，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的特点是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
【变式4】（2023秋 武侯区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式．
（1）求的平方根；
（2）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※，如：3※，请求※※的值．
【分析】（1）根据最简二次根式和同类二次根式得出，求出，再根据平方根的定义求出的平方根即可；
（2）先根据新运算求出6※，再根据新运算求出6※的值即可．
【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
．
（1），
的平方根是；
（2），
※※，
※※
※
．
【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，平方根和有理数的混合运算等知识点，能求出的值是解此题的关键．
经典题型汇编
题型一、二次根式的乘法
1．（20-21·四川宜宾·期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．把原式变形为，然后逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】解：
．
故选A．
2．（2024·山西忻州·三模）计算： ．
【答案】5
【分析】根据二次根式的乘法运算解答即可．
本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】．
故答案为：5．
3．（23-24·甘肃陇南·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是零次幂的含义，二次根式的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键．
先利用平方差公式计算二次根式的乘法运算，零次幂和绝对值，再合并即可．
【详解】
．
题型二、二次根式的除法
4．（22-23·河南南阳·期末）化简 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，分子提，与分母约分，然后再化简．在进行二次根式的化简运算时，要先化简再计算可使计算更简便．
【详解】解：原式．
故答案为：
5．（23-24·福建泉州·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
【详解】解：A．不是同类项，不能合并，原运算错误；
B．，原运算错误；
C． ，原运算错误；
D． ，运算正确．
故选：D．
6．（23-24·四川眉山·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简二次根式，再利用二次根式除法运算法则求解即可；
（2）先化简二次根式，再利用二次根式加减运算法则求解即可；
（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（4）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并化简即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．
题型三、二次根式的乘除混合运算
7．（23-24·山西临汾·阶段练习）计算的结果是 .
【答案】1
【分析】根据二次根式的运算法则直接求解即可得到答案；
【详解】解：原式，
故答案为：1；
【点睛】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握：．
8．（23-24·重庆沙坪坝·阶段练习）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．
【详解】解：
，
，
，即，
的值应在4和5之间．
故选：A．
9．（22-23·四川乐山·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．特别注意二次根式相乘除时，分别把根号外的相乘除，根号内的相乘除．最后结果必须是最简二次根式．
直接利用二次根式的乘除法运算法则计算得出答案．
【详解】原式
题型四、最简二次根式的判断
10．（23-24·福建泉州·期末）写出一个最简二次根式 ．（填一个正确的即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：这个最简二次根式可以是，
故答案为：（答案不唯一）
11．（23-24·四川眉山·期中）下列二次根式、、、、、、中，最简二次根式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式、二次根式的性质．由于，可知．．的被开方数，可以利用完全平方公式因式分解．有意义的隐含条件是为非负数．
【详解】解：将根式整理化简得：
，
，
，
，
．
由此可知，最简二次根式有：、，共2个．
故选：B
12．（19-20·全国·单元测试）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1），（2），（3），（4），（5）．
【答案】（1）不是，；（2）不是，；（3）是；（4）不是，；（5）不是，.
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．
（2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；
（4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；
（5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
题型五、化为最简二次根式
13．（23-24·河南许昌·期末）下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式性质、最简二次根式定义、同类二次根式定义等知识，将选项中的二次根式化为最简二次根式，再由同类二次根式定义判定即可得到答案，熟记二次根式性质及同类二次根式定义是解决问题的关键．
【详解】解：；；；
与是同类二次根式，可以合并，
故选：C．
14．（24-25·全国·假期作业）已知，，化简 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为： ．
15．（23-24·江西九江·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，求方程的解．
【答案】或
【分析】根据题目所给的新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
，
，
，
，
或．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据平方根的定义解方程，二次根数化简，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则．
题型六、已知最简二次根式求参数
16．（22-23·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式．
17．（23-24·湖南衡阳·阶段练习）已知为最简二次根式，且与能够合并， ．
【答案】8
【分析】先化简，则，再根据同类二次根式的定义即可列式作答．
【详解】解：依题意，，
因为与能够合并，
即与能够合并，
因为为最简二次根式，
所以，
解得，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了同类二次根式以及最简二次根式；几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；熟练掌握这两个知识点的应用是解题的关键．
18．（·四川成都·阶段练习）如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值．
【答案】x＝8，y＝6.
【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．
【详解】解：由题意，得
3a﹣11＝19﹣2a，
解得　　　a＝6. 　　
所以　　　＋＝0.
因为　　≥0，≥0，
所以　　24－3x＝0，y－6＝0.
解得　 x＝8，y＝6.
【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键.
题型七、同类二次根式
19．（23-24·福建泉州·期中）下列根式中，能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先对各选项二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、 与不是同类二次根式，故A选项不符合题意；
B、与是同类二次根式，故B选项符合题意；
C、与不是同类二次根式，故C选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，故D选项不符合题意；
故选：B．
20．（21-22·四川眉山·期末）与是最简同类二次根式，则的值是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了同类二次根式的定义；
根据同类二次根式的定义可得，，求出a的值，然后计算即可．
【详解】解：∵与是最简同类二次根式，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
21．（23-24·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)化简：_______；______．
(2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
【答案】(1)，
(2)．
【分析】本题主要考查最简二次根 及二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握．
（1）由数轴可得，再根据二次根式的性质进行求解即可；
（2）根据最简二次根式和同类二次根式的定义列方程求解即可．
【详解】（1）由数轴得：，
，
．
故答案为：，；
（2）
解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：（不合题意，舍去）或．
∴
试题练习
一、单选题
1．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的化简，解题关键是熟练运用二次根式性质进行化简，准确进行计算．
【详解】，
故选：B．
2．（2024·云南昆明·二模）能使下列某个式子有意义，这个式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：根号下的数大于等于零，是解题的关键，根据二次根式有意义的条件逐一判断即可得到答案．
【详解】A、有意义的条件是，且，则，能使式子有意义，故此选项符合题意；
B、有意义的条件是，则，不能使式子有意义，故此选项不符合题意；
C、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意；
D、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查二次根式的运算，同底数幂的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
4．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；
C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确；
D、被开方数含分母，故D错误；
故选：C．
5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的计算，根据二次根式的性质可判断选项A；根据二次根式的性质可判断选项B；根据二次根式的除法可判断选项C；根据二次根式的乘法可判断选项D．熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
6．（23-24八年级上·山东德州·期末）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，二次根式的性质；把选项中不是最简二次根式的化为最简二次根式即可判断．
【详解】解：，，
则与是同类二次根式，
故选：C．
7．（19-20八年级上·甘肃酒泉·期中）若、为实数，且，则的值 (　　)
A．-2 B．1 C．2 D．-1
【答案】D
【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵，
∴x+2=0，y－2=0，
∴x=﹣2，y=2，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．
8．（23-24八年级上·山东济南·期末）下列算式的值是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的计算，以及有理数的概念，根据二次根式的运算法则计算各项，再根据有理数的定义判断各项，即可解题．
【详解】解：A、为无理数，不符合题意；
B、为无理数，不符合题意；
C、为有理数，符合题意；
D、为无理数，不符合题意；
故选：C．
9．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并成一项，
∴与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
10．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可．
【详解】解：∵，，
∴，故甲正确，
，故乙正确；
，故丙正确；
故选：D．
二、填空题
11．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）若最简二次根式可以和合并，则的值为 ．
【答案】2
【分析】
本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，根据，再结合同类二次根式能合并可得答案．
【详解】∵最简二次根式和能合并，
∴．
故答案为：2．
12．（21-22八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则 ； ．
【答案】 0
【分析】利用最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：0；．
【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键．
13．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）与最简二次根式是可以合并的二次根式，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【详解】解：由题意可得与最简二次根式是同类二次根式，且，
∴，解得：．
故答案为2．
14．（20-21八年级上·广东梅州·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法与减法运算，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则．先算乘法，再计算减法，即可得出结果．
【详解】解：
．
15．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式，被开方数的分子分母都乘以7，再根据分式的除法，可得答案．根据二次根式的除法，可化简二次根式．
【详解】解：原式=，
故答案为：．
16．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）化简： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可．
【详解】解：
．
故答案：
【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．
17．（2023·山东烟台·模拟预测）已知：，则 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的性质和除法运算，理解二次根式的性质是解题关键．
根据二次根式的性质和除法运算法则进行分析计算．
【详解】解：∵，
，
故答案为：．
18．（23-24八年级上·山东青岛·期中）的相反数是 ，的倒数是 ， ．
【答案】 / /
【分析】根据相反数的定义“正负号相反的两个数互为相反数”确定的相反数；两个乘积是1的数互为倒数，据此计算的倒数；首先比较与2的大小，然后化简绝对值即可．
【详解】解：的相反数是，
∵，
∴的倒数是，
∵，
∴，
∴．
故答案为：，，．
【点睛】本题主要考查了相反数、倒数、化简绝对值、实数比较大小、二次根式运算等知识，熟练掌握相关定义以及二次根式运算法则是解题关键．
三、解答题
19．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）当时，求代数式的值．
【答案】；
【分析】本题考查的是乘法公式的应用，二次根式的乘法运算，先计算整式的乘法运算，再把代入计算即可．
【详解】解：
．
当时，
原式
．
20．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与可以合并，求的值．
【答案】
【分析】本题考查的是同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的概念列方程，解方程即可．
【详解】解：最简二次根式与可以合并，
与是同类二次根式，
，
．
21．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知最简二次根式与可以合并，b是的立方根，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式，立方根定义，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先根据同类二次根式的定义得到，从而可确定a的值，再根据立方根定义确定b的值，最后求出平方根即可．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∵b是的立方根，
∴，
∴，
∴的平方根为．
22．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长都是1，和 关于直线对称．
(1)请在图中把和补充完整；
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了补画轴对称图形，勾股定理：
（1）根据轴对称图形的特点进行作图即可；
（2）利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，和即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得．
23．（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
【答案】4，±2．
【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴a=1，2b﹣5=1，
解得：a=1，b=3，
∴==4，
∴的平方根为±2．
【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键．
24．（22-23八年级上·四川成都·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】此题考查的是二次根式的乘除运算、零指数幂、立方根、算术平方根，掌握其运算法则是解决此题的关键．
（1）直接根据二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）先计算零指数幂、立方根、算术平方根，再合并即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
25．（23-24八年级上·辽宁丹东·阶段练习）(1)计算：；
(2)计算：．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先求算术平方根，二次根式的除法，绝对值，然后进行加减运算即可；
（2）先计算负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，零指数幂，然后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了算术平方根，二次根式的除法，绝对值，负整数指数幂，零指数幂等知识．熟练掌握算术平方根，二次根式的除法，绝对值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．
26．（21-22八年级上·山西晋中·期中）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：
＝…第一步
＝…第二步
＝…第三步
＝…第四步
＝…第五步
（1）二次根式，，，中，属于最简二次根式的是_____；
（2）以上第一步的化简中由“”化为“”所依据的数学公式是______；
（3）第_____步开始出现错误，写出该式的正确运算过程和结果．
【答案】（1）；（2）=（a≥0，b>0)；（3）二；＋；过程见解析．
【分析】（1）根据最简二次根式的定义进行判定即可；
（2）根据=（a≥0，b>0)进行求解即可得到答案；
（3）由于除法没有分配律即可得到是从第二步开始出错的，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解即可．
【详解】解：（1）是最简二次根式；，不是最简二次根式；不是最简二次根式；，不是最简二次根式；
故答案为：；
（2）∵=（a≥0，b>0)；
∴，
故答案为：=（a≥0，b>0)；
（3）∵除法没有分配律，
∴解题过程是从第二步开始错的，
+÷（－）
=+÷（－）
=+÷
=＋×
=＋．
故答案为：二．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，二次根式的化简，二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．中小学教育资源及组卷应用平台
二次根式（二）（3个知识点+7种经典题型+试题练习）
本节知识导图
知识点合集
知识点1．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝ （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： ＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 ＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
【例1】（2023秋 青龙县期末）计算的结果为　　
A． B． C． D．
【变式1】（2024春 荆门期末）计算：　　．
【变式2】（2024 广西模拟）　　．
【变式3】（2023 衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是　　
A．， B．， C．， D．，
【变式4】（2024春 东港区校级月考）在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值．
小刚是这样解的：．
把，代入，得．
显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程．
知识点2．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
【例2】（2023秋 驿城区期末）的相反数是　　
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋 闵行区校级期末）的有理化因式为 　　．
【变式2】（2024 西城区校级开学）的相反数是　　；的倒数是　　．
【变式3】（2024春 宁国市期末）如果，，那么下列各式中正确的是　　
A． B． C． D．
【变式4】（2024春 荆门期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
知识点3．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【例3】（2024春 淮滨县期末）下列二次根式中，能与合并的是　　
A． B． C． D．
【变式1】（2024春 庐阳区校级期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则　　．
【变式2】（2023秋 邯郸期末）若与最简二次根式可以合并，则　　．
【变式3】（2023秋 驿城区校级期末）若与最简二次根式能合并，则的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式4】（2023秋 武侯区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式．
（1）求的平方根；
（2）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※，如：3※，请求※※的值．
经典题型汇编
题型一、二次根式的乘法
1．（20-21·四川宜宾·期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西忻州·三模）计算： ．
3．（23-24·甘肃陇南·期末）计算：．
题型二、二次根式的除法
4．（22-23·河南南阳·期末）化简 ．
5．（23-24·福建泉州·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24·四川眉山·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
题型三、二次根式的乘除混合运算
7．（23-24·山西临汾·阶段练习）计算的结果是 .
8．（23-24·重庆沙坪坝·阶段练习）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
9．（22-23·四川乐山·期中）计算：．
题型四、最简二次根式的判断
10．（23-24·福建泉州·期末）写出一个最简二次根式 ．（填一个正确的即可）
11．（23-24·四川眉山·期中）下列二次根式、、、、、、中，最简二次根式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（19-20·全国·单元测试）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1），（2），（3），（4），（5）．
题型五、化为最简二次根式
13．（23-24·河南许昌·期末）下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25·全国·假期作业）已知，，化简 ．
15．（23-24·江西九江·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，求方程的解．
题型六、已知最简二次根式求参数
16．（22-23·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
17．（23-24·湖南衡阳·阶段练习）已知为最简二次根式，且与能够合并， ．
18．（·四川成都·阶段练习）如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值．
题型七、同类二次根式
19．（23-24·福建泉州·期中）下列根式中，能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
20．（21-22·四川眉山·期末）与是最简同类二次根式，则的值是 ．
21．（23-24·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)化简：_______；______．
(2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
试题练习
一、单选题
1．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式的结果为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·云南昆明·二模）能使下列某个式子有意义，这个式子是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（23-24八年级上·山东德州·期末）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（19-20八年级上·甘肃酒泉·期中）若、为实数，且，则的值 (　　)
A．-2 B．1 C．2 D．-1
8．（23-24八年级上·山东济南·期末）下列算式的值是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
10．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
二、填空题
11．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）若最简二次根式可以和合并，则的值为 ．
12．（21-22八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则 ； ．
13．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）与最简二次根式是可以合并的二次根式，则 ．
14．（20-21八年级上·广东梅州·期末）计算： ．
15．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式为 ．
16．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）化简： ．
17．（2023·山东烟台·模拟预测）已知：，则 ．
18．（23-24八年级上·山东青岛·期中）的相反数是 ，的倒数是 ， ．
三、解答题
19．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）当时，求代数式的值．
20．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与可以合并，求的值．
21．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知最简二次根式与可以合并，b是的立方根，求的平方根．
22．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长都是1，和 关于直线对称．
(1)请在图中把和补充完整；
(2)求线段的长．
23．（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
24．（22-23八年级上·四川成都·期中）计算：
(1)；
(2)．
25．（23-24八年级上·辽宁丹东·阶段练习）(1)计算：；
(2)计算：．
26．（21-22八年级上·山西晋中·期中）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：
＝…第一步
＝…第二步
＝…第三步
＝…第四步
＝…第五步
（1）二次根式，，，中，属于最简二次根式的是_____；
（2）以上第一步的化简中由“”化为“”所依据的数学公式是______；
（3）第_____步开始出现错误，写出该式的正确运算过程和结果．

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