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备战2025年高考数学：数列高考模拟题训练
一、选择题
1．（2024·雅安模拟） 已知数列满足且，则（　　）
A．3 B． C．-2 D．
2．（2024高三下·社旗模拟）设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·重庆市模拟）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·诸暨模拟）设，已知，若恒成立，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·金华模拟）满足的正整数的最小值为（　　）
A．12 B．13 C．17 D．18
6．（2024·秦皇岛）已知等比数列的前项和为，满足，，则的公比为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
7．（2024高三下·江西模拟）在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前n项和．记数列的前n项和为，利用上述方法求（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三下·大理模拟） 已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（　　）
A．存在，使得数列为等差数列
B．当时，
C．当时，
D．当时，数列是等比数列
二、多项选择题
9．（2023·临海模拟）已知等差数列的公差为d，前n项和是，满足，则（　　）．
A．的最小值为 B．
C．满足的n的最大值为4 D．
10．（2023高三上·广东月考）已知数列的首项，且，满足下列结论正确的是（　　）
A．数列是等比数列
B．数列是等比数列
C．
D．数列的前n项的和
11．（2023高三下·浙江模拟）定义：若存在正实数M使，则称正数列为有界正数列．已知数列满足，为数列的前n项和．则（　　）
A．数列为递增数列 B．数列为递增数列
C．数列为有界正数列 D．数列为有界正数列
三、填空题
12．（2024·秦皇岛）已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为　 　
13．（2024高三下·大理模拟） 已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则=　 　．
14．（2024·诸暨模拟）记为正项数列的前项积，已知，则　 　；　 　．
四、解答题
15．（2024·雅安模拟） 已知为各项均为正数的数列的前项和，.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的最大值.
16．（2024·诸暨模拟）已知函数的所有正零点构成递增数列．
（1）求函数的周期和最大值；
（2）求数列的通项公式及前项和．
17．（2024·新疆维吾尔自治区模拟）若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（2024·广东模拟）已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，，求数列的前100项和.
19．（2024·雄安模拟）已知为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有．设，对于，定义，其中表示数集中最小的数．
（1）若，写出，的值；
（2）若存在满足，求的最小值；
（3）当时，证明：对所有．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】B,D
10．【答案】B,C
11．【答案】B,C
12．【答案】21
13．【答案】
14．【答案】2；2025
15．【答案】（1）解：当时，由题设得，即，又，解得.
由知：.
两式相减得：，即.
由于，可得，即，
所以是首项为，公差为的等差数列，所以
（2）解： 由得：
.
因为，所以，则数列是递增数列，
所以，故实数的最大值是
16．【答案】（1）解：由题可得，
因此函数的周期，最大值．
（2）解：由得，
因此函数的所有正零点为，
，，因此是首项为，公差为1的等差数列；
，
17．【答案】（1）解：设，由题意得数列是等比数列，，，
则，即，
由累乘法得：，
于是，故.
（2）解：由（1）得
，
令，则，
∴
.
18．【答案】（1）解：设数列的首项为，公差为，
因为，，，成等比数列 ，所以，即，
解得，所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）得，
即数列的偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列，
奇数项是以为首项，16为公比的等比数列，
数列的前100项中偶数项有50项，奇数项有50项，
数列的前100项和，
，
，
故.
19．【答案】（1）解：由，则，故，
，故，，故．
（2）解：由题意知，当时，因为，，所以，
因为，且，均为正整数，所以或，所以，
因为，，是互不相等的正整数，所以必有一项大于2，
所以，所以，不合题意，
当时，对于数列，有，
综上，的最小值为4．
（3）证明：因为，
所以，．
(i)若，则当时，至少以下情况之一成立：
①，这样的至多有个；
②存在，，这样的至多有个．
所以小于的至多有个，所以，
令，解得，所以．
(ii)对，若，且，
因为，所以当时，至少以下情况之一成立：
①，这样的至多有个；
②存在，且，这样的至多有个．
所以．
令，解得，即，
其中表示不大于的最大整数，所以当时，
．综上，定义，
，则，
依次可得，，，，，，，，，
所以．
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