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最大和最小（五年级下册第8讲）
【内容简介】
同学们在学习中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题，这一讲就来讲解这个问题，包括知道两个数的和定值求积最大值以及知道两个数的积定值求和最小值。主要的结论有几下几种：
结论1：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。
结论2：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。
结论3：把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。
【例1】
两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？
【分析与解答】
将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：
15=1+14，1×14=14；
15=2+13，2×13=26；
15=3+12，3×12=36；
15=4+11，4×11=44；
15=5+10，5×10=50；
15=6+9，6×9=54；
15=7+8，7×8=56。
由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。
【小结】
本题考查数字问题，需要结合具体数字问题的描述找到突破口解决问题。重要结论：如果两个自然数的和一定，那么这两个自然数的差越小，它们的乘积越大。特别的，当这两个自然数相等时，它们的乘积最大。
【例2】
比较下面两个乘积的大小，谁的积比较大呢？
a=57128463×87596512，
b=57128460×87596515。
【分析与解答】
对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即
57128463+87596512=57128460+87596515。
因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得a＞b。
【小结】
此题应明确：两因数之和相等，两个数越接近，这两个数的积越大。
【例3】
用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？
【分析与解答】
已知这个长方形的周长是36米，即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为长+宽=36÷2=18（米），
18＝17＋1＝16＋2＝15＋3＝14＋4＝13＋5＝12＋6＝11＋7＝10＋8＝9＋9
由上面的枚举法知道9×9＝81是两个乘数积最大的时候。
由结论知，围成长方形的最大的面积是9×9=81（平方米）。
【小结】
根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）÷2，那么a＋b＝C÷2，据此求出长与宽的和，当长与宽的差越小时，长方形的面积就越多，由此可以求出长与宽，然后根据长方形的面积公式：S＝ab,把数据代入公式解答。从这道题可以知道周长一定的长方形中，正方形的面积最大。
【例4】
两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？
【分析与解答】
48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。
所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：
48=1×48，1+48=49；
48=2×24，2+24=26；
48=3×16，3+16=19；
48=4×12，4+12=16；
48=6×8，6+8=14。
两个因数之和最小的是6+8=14。
【小结】
解答此题的关键是要理解：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。
【例5】
要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？
【分析与解答】
因为72＝8×9＝6×12＝2×36＝4×18＝3×24
所以当长为9米，宽为8米时，猪圈的围墙总长最少为：（8＋9）×2＝34（米）
答：这个猪圈的围墙最少长34米。
【小结】
考查了长方形面积和周长公式，关键是理解这个猪圈的围墙总长最少，就是边长之和最短。长方形的面积＝长×宽，因为面积是72平方米，而且边长都是自然数，可能是8和9，6和12，2和36，4和18，3和24．这个猪圈的围墙总长最少，就是边长之和最短，所以是8和9米，据此解答。
【例6】
24分解成三个不同自然数的乘积，这三个自然数的和最小是多少？最大是多少？
【分析与解答】
把24分解为三个因数的积，要使这三个自然数的和最小，则这三个数必须最大与最小差距越小越好，所以将24拆为：24＝2×3×4；由此得出和最小为2＋3＋4；要使这三个自然数的和最大，则这三个数必须最大与最小差距越大越好，所以将24拆为：24＝1×2×12；由此得出和最大为1＋2＋12。
则三个自然数的和最小是：2＋3＋4＝9；
则三个自然数的和最大是：1＋2＋12＝15。
【小结】
解答此题的关键是，知道要使三个自然数的和最小，必须使这三个数最大与最小差距越小越好；要使三个自然数的和最大，必须使这三个数最大与最小差距越大越好，由此将24裂项即可。
【例7】
把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？
【分析与解答】
假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。
如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。
由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。
将17拆成n个自然数且乘积最大，拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，并且拆成的数2的个数不要超过2个，
根据以上规律，得出：
17＝3＋3＋3＋3＋3＋2
所以，这个乘积是：3×3×3×3×3×2＝486
答：最大乘积是486。
【小结】
此题主要考查了拆数的规律，即拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，并且拆成的数2的个数不要超过2个。
由例6的分析得到结论3：把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。
【例8】
把49分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？
【分析与解答】
解：将49拆成n个自然数且乘积最大，拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，并且拆成的数2的个数不要超过2个，
根据以上规律，得出：49＝15×3＋2＋2，
所以，这个乘积是：315×22＝57395628，
答：乘积中最大的数为57395628；
故答案为：57395628．
【小结】
此题主要考查了拆数的规律，把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大．所以49可以分成15个3和2个2，然后计算乘积即可。
【练习】
试求和是91，乘积最大的两个自然数。最大的积是多少？
【分析与解答】
91=45+46
所以最大的积是45×46=2070
2.三个质数的和是80，这三个数的积最大是多少？
【分析与解答】
三个质数中一定有一个是2，剩下两个之和是78，这两个质数越接近则乘积越大，因此取78=37+41，
最大乘积为23741=3034.
答：这三个质数的积最大是3034.
3.比较下面两个乘积的大小：
A=123456789×987654321，
B=123456788×987654322。
【分析与解答】
A=123456789×987654321
=123456788×987654321+987654321
B=123456788×987654322
=123456788×987654321+123456788
987654321>123456788
故A>B
故答案为：A>B
4.现计划用围墙围起一块面积为5544平方米的长方形地面，为节省材料，要求围墙最短，那么这块长方形地的围墙有多少米长？
【分析与解答】
5544=2×2×2×3×3×7×11，
因为两个最接近的因数是2×2×2×3×3=72和7×11=77，
所以这块地长是77米，宽是72米，
(77+72)×2
=149×2
=298（米）
答：这块长方形地的围墙有298米长。
5.把19分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的积最大？
【分析与解答】
19-3=6……1
19=3+3+3+3+3+2+2
即把19分成5个3和2个2的和，乘积最大.
6.1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？
【分析与解答】
显然，数值大的数码应放在最高位上，但下一步怎么排呢？先考虑比较简单的情形.
设a、b、c、d是自然数，且a＞b>c>d，用a、b、c、d组成两个两位数，并且使它们的乘积最大.
如前所述，最高位必是a和b，但下一位的排法有两种：
10a+c、10b+d或10a+d、10b+c；现比较两组数的乘积的大小：
(10a+c)(10b+d)-(10a+d)(10b+c)
=100ab+10ad+10bc+cd-100ab-10ac-10bd-cd
=10ad+10bc-10ac-10bd=10(a-b)(d-c)有此可见，在大自然数a的后面放较小的数码d，在较小自然数b后面放较大的数码c所得的乘积较大.
根据上述结论，把8、7、6、5四个数字分成两组构成两个两位数时，85×76的乘积最大.
同理，考虑8、7、6、5、4，3六个数字组成两个三位数时853x764乘积最大.
同理，考虑8、7、6、5、4，3，2，1六个数字组成两个三位数时8531×7642乘积最大.（排列组合【乘法原理-计数问题】）
答：这两个四位数是8531、7642。
7.在数123456789101112…9899100中划去100个数字，剩下的数字组成一个新数，这个新数最大是多少？最小是多少？
【分析与解答】
最大数是9999978596061-99100，最小数是10000012340616263 99100。
解：要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为1~59中有109个数字，其中有6个9，所以剩下的数如果左边保留6个9，那么必须划掉109一6=103（个）数字，不合要求。因此左边只能保留5个9，即保留1~49之中的5个9，划掉1~49中其余的84个数字，然后在后面再划掉16个数字，
所以最大数是9999978596061-99100。
同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。2~50中有90个数字，其中有5个0，划掉非0的90-5=85（个）数字，然后在后面再划掉15个数字，
所以最小数是10000012340616299100。最大和最小（五年级下册第8讲）
【内容简介】
同学们在学习中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题，这一讲就来讲解这个问题，包括知道两个数的和定值求积最大值以及知道两个数的积定值求和最小值。主要的结论有几下几种：
结论1：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。
结论2：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。
结论3：把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。
【例1】
两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？
【分析与解答】
将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：
15=1+14，1×14=14；
15=2+13，2×13=26；
15=3+12，3×12=36；
15=4+11，4×11=44；
15=5+10，5×10=50；
15=6+9，6×9=54；
15=7+8，7×8=56。
由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。
【小结】
本题考查数字问题，需要结合具体数字问题的描述找到突破口解决问题。重要结论：如果两个自然数的和一定，那么这两个自然数的差越小，它们的乘积越大。特别的，当这两个自然数相等时，它们的乘积最大。
【例2】
比较下面两个乘积的大小，谁的积比较大呢？
a=57128463×87596512，
b=57128460×87596515。
【分析与解答】
对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即
57128463+87596512=57128460+87596515。
因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得a＞b。
【小结】
此题应明确：两因数之和相等，两个数越接近，这两个数的积越大。
【例3】
用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？
【分析与解答】
已知这个长方形的周长是36米，即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为长+宽=36÷2=18（米），
18＝17＋1＝16＋2＝15＋3＝14＋4＝13＋5＝12＋6＝11＋7＝10＋8＝9＋9
由上面的枚举法知道9×9＝81是两个乘数积最大的时候。
由结论知，围成长方形的最大的面积是9×9=81（平方米）。
【小结】
根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）÷2，那么a＋b＝C÷2，据此求出长与宽的和，当长与宽的差越小时，长方形的面积就越多，由此可以求出长与宽，然后根据长方形的面积公式：S＝ab,把数据代入公式解答。从这道题可以知道周长一定的长方形中，正方形的面积最大。
【例4】
两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？
【分析与解答】
48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。
所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：
48=1×48，1+48=49；
48=2×24，2+24=26；
48=3×16，3+16=19；
48=4×12，4+12=16；
48=6×8，6+8=14。
两个因数之和最小的是6+8=14。
【小结】
解答此题的关键是要理解：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。
【例5】
要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？
【分析与解答】
因为72＝8×9＝6×12＝2×36＝4×18＝3×24
所以当长为9米，宽为8米时，猪圈的围墙总长最少为：（8＋9）×2＝34（米）
答：这个猪圈的围墙最少长34米。
【小结】
考查了长方形面积和周长公式，关键是理解这个猪圈的围墙总长最少，就是边长之和最短。长方形的面积＝长×宽，因为面积是72平方米，而且边长都是自然数，可能是8和9，6和12，2和36，4和18，3和24．这个猪圈的围墙总长最少，就是边长之和最短，所以是8和9米，据此解答。
【例6】
24分解成三个不同自然数的乘积，这三个自然数的和最小是多少？最大是多少？
【分析与解答】
把24分解为三个因数的积，要使这三个自然数的和最小，则这三个数必须最大与最小差距越小越好，所以将24拆为：24＝2×3×4；由此得出和最小为2＋3＋4；要使这三个自然数的和最大，则这三个数必须最大与最小差距越大越好，所以将24拆为：24＝1×2×12；由此得出和最大为1＋2＋12。
则三个自然数的和最小是：2＋3＋4＝9；
则三个自然数的和最大是：1＋2＋12＝15。
【小结】
解答此题的关键是，知道要使三个自然数的和最小，必须使这三个数最大与最小差距越小越好；要使三个自然数的和最大，必须使这三个数最大与最小差距越大越好，由此将24裂项即可。
【例7】
把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？
【分析与解答】
假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。
如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。
由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。
将17拆成n个自然数且乘积最大，拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，并且拆成的数2的个数不要超过2个，
根据以上规律，得出：
17＝3＋3＋3＋3＋3＋2
所以，这个乘积是：3×3×3×3×3×2＝486
答：最大乘积是486。
【小结】
此题主要考查了拆数的规律，即拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，并且拆成的数2的个数不要超过2个。
由例6的分析得到结论3：把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。
【例8】
把49分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？
【分析与解答】
解：将49拆成n个自然数且乘积最大，拆的个数尽可能多，但不要拆成1，且拆成的数不要大于4，并且拆成的数2的个数不要超过2个，
根据以上规律，得出：49＝15×3＋2＋2，
所以，这个乘积是：315×22＝57395628，
答：乘积中最大的数为57395628；
故答案为：57395628．
【小结】
此题主要考查了拆数的规律，把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大．所以49可以分成15个3和2个2，然后计算乘积即可。
【练习】
试求和是91，乘积最大的两个自然数。最大的积是多少？
2.三个质数的和是80，这三个数的积最大是多少？
3.比较下面两个乘积的大小：
A=123456789×987654321，
B=123456788×987654322。
4.现计划用围墙围起一块面积为5544平方米的长方形地面，为节省材料，要求围墙最短，那么这块长方形地的围墙有多少米长？
5.把19分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的积最大？
6.1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？
7.在数123456789101112…9899100中划去100个数字，剩下的数字组成一个新数，这个新数最大是多少？最小是多少？

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