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浙教版八年级上册数学 2.3等腰三角形的判定定理 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15或18 D．15
2.．若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角为( )
A．40° B．100° C．40°或100° D．无法确定
3.△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，若∠EBC＝∠BAD，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4.在平面直角坐标系中，已知点A（3，3），在x轴的正半轴上确定一点P，使得三角形AOP是等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A．2 个 B．3个 C．4个 D．1个
5.列说法错误的是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．到线段两端的距离相等的点，在线段的垂直平分线上
C．成轴对称的两个图形中，对称轴垂直平分连结两个对称点的线段
D．面积相等的两个三角形全等
6.如图，已知每个小方格的边长为1，A，B，两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点C，使是等腰三角形，这样的格点C有（　　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
7.如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8.已知∠MON=20° ，点A B分别是射线OM、ON上的动点(A、B不与点0重合),若ABOM，在射线ON上有一点C，设∠OAC=x°，下列x的值不能使△ABC为等腰三角形的是( )
A．20
B．45
C．50
D．125
9.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB＝90°+∠C；
②AE+BF＝EF；
③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab．
其中正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
10.．如图，△ABC，点D在AC上，连接BD，∠ABD＝2∠DBC，∠ADB＝2∠C，∠DBC＝∠A，则图中共有等腰三角形（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________．
12.图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．
13.如图，直角坐标系中，点、，点P在x轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点P共______个．
14.有下列三个等式①AB＝DC；②BE＝CE；②∠B＝∠C．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt△AED是等腰三角形，你认为这两个条件可以是_____（写出一种即可）
15.已知在中，且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则_______
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．
17.（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，请直接写出EF、BE、CF之间的关系　 　．
18.已知，如图，点在上，，与交于点．
求证：（1）．
（2）．
19.如图，D为的边的延长线上一点，过D作，垂足为F，交于E，且．求证：是等腰三角形．
20.已知：如图，△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB，AC上的点．若AD＝AE，DF＝BD，试求∠BDF的度数．
参考答案
选择题
1.【答案】D
【分析】分别从若腰长为3，底边长为6，若腰长为6，底边长为3，去分析求解即可求得答案，注意三角形的三边关系．
【详解】解：①若腰长为3，底边长为6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，舍去；
②若腰长为6，底边长为3，
则它的周长是：6+6+3=15．
∴它的周长是15，
故选：D．
2.【答案】C
【分析】三角形内角与相邻的的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，然后分别讨论40°为顶角时和40°为底角时，然后即可求得答案.
【详解】当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°；
当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°－40°×2＝100°，故选C.
3.【分析】发现∠ABC与∠C分别是∠BAD与∠EBC的余角，得到二角相等，根据等腰三角形的判定可得答案．
【解析】∵∠EBC+∠C＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠BAD
∴∠BAD＝∠CAD，∠CAD+∠C＝90°∠BAD+∠ABC＝90°
∴∠ABC＝∠C
∴AB＝AC
∴△ABC为等腰三角形．
故选：A．
4.【分析】分别从当OP＝AP时、当OA＝OP时、当OA＝AP时去分析求解即可求得答案．
【解析】如图所示，当OP＝AP时，P1（3，0），
当OA＝OP时，OP＝OA＝3，此时P1（3，0），
当OA＝AP时，P3（6，0）．
故符合条件的点P共有3个．
故选：B．
5.【答案】D
【分析】A.根据等腰三角形的判定进行判断即可；B.根据线段垂直平分线的判定进行判断即可；B.根据轴对称的性质进行判断即可；D.根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】A.根据等腰三角形的判定可知：有两个角相等的三角形是等腰三角形，故A正确；
B.根据线段垂直平分线的判定定理可知：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，故B正确；
C.根据轴对称的性质可知：成轴对称的两个图形，对称轴垂直平分连结两个对称点的线段，故C正确；
D.根据三角形的面积公式可知：面积相等的两个三角形不一定全等，故D错误．
故选：D．
6.【答案】D
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【详解】解：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；
当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有2个，
6+2=8．
故选：D．
7.【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定定理即可逐一判断．
【详解】解：①∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故①正确；
②∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，则AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，则AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，故③正确；
④∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
8.【答案】B
【分析】依据题意作出图形，按照选项画出C的位置，根据等腰三角形的判定进行判断.
【详解】A.当∠OAC=20°时，如图所示，
∠ACB=∠MON+∠OAC=40°，∠BAC=90°-∠OAC=70°，
∴∠ABC=180°-40°-70°=70°，
∴∠BAC=∠ABC
∴△ABC是等腰三角形，故A不符合题意；
B. 当∠OAC=45°时，如图所示，
∠ACB=∠MON+∠OAC=65°，∠BAC=90°-∠OAC=45°，∠ABC=70°，
∴△ABC不是等腰三角形，故B符合题意；
C. 当∠OAC=50°时，如图所示，
∠ACB=∠MON+∠OAC=70°，∠BAC=20°，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC
∴△ABC是等腰三角形，故C不符合题意；
D. 当∠OAC=125°时，如图所示，
∠BAC=∠OAC-90°=35°，∠ABC=∠BAC+∠BCA=70°，
∴∠BAC=∠BCA=35°，
∴△ABC是等腰三角形，故D不符合题意；
故选B.
9.【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④．
【详解】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，①正确；
∵EF∥AB，
∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，
∴∠FOB＝∠FBO，
∴FO＝FB，
同理EO＝EA，
∴AE+BF＝EF，②正确；
当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，
∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OD＝OH，
∴S△CEF＝×CF×OD×CE×OH＝ab，④正确．
故选C．
10.【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定分别证出DB＝DC，AB＝AD，AB＝CB即可．
【解答】解：图中共有等腰三角形3个，理由如下：
∵∠ADB＝∠C+∠DBC，∠ADB＝2∠C，
∴∠DBC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形，DB＝DC，
∵∠ABD＝2∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形，AB＝AD，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，AB＝CB，
故选：D．
填空题
11.【答案】100°或55°或70°
【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为105°或55°或70°．
故答案为：100°或55°或70°．
12.【答案】10°或80°或20°或140°
【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题．
【详解】解：如图，
在中，，
①当时，，，
②当时，，
③当时，，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
13.【答案】4
【分析】分AB=AP、BA=BP、PA=PB三种情况，画出图形即可得答案．
【详解】①AB=AP：以A为圆心，AB长为半径画弧，与x轴有2个交点P1、P2，
∴P1、P2，符号条件，
②BA=BP：以B为圆心，BA长为半径画弧，与x轴有2个交点P3、点(2，0)，
∵点(2，0)与AB不能构成三角形，
∴P3符合条件，
③PA=PB：作线段AB的垂直平分线，与x轴有1个交点P4，
∴P4A=P4B，
∴P4符合条件，
综上所述，符合条件的点共有4个．
故答案为：4．
14.【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）
【分析】依据条件判定△ABE≌△DCE，即可得到AE=DE，进而得出Rt△AED是等腰三角形．
【详解】解：当AB＝DC，BE＝CE，∠AEB＝∠DEC时，Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），故AE＝DE，即Rt△AED是等腰三角形；
当AB＝DC，∠B＝∠C，∠AEB＝∠DEC时，△ABE≌△DCE（AAS），故AE＝DE，即Rt△AED是等腰三角形；
当BE＝CE，∠B＝∠C，∠AEB＝∠DEC时，△ABE≌△DCE（ASA），故AE＝DE，即Rt△AED是等腰三角形．
故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）
15.【答案】123°或132°或90°或48°
【分析】根据题意作图，结合等腰三角形的性质分情况讨论即可求解．
【详解】解：如图，若BC=CD，AD=BD，
由题意可得：∠DBC=∠BDC=（180°-∠C）÷2=82°，
∴∠ABD=∠BAD=∠BDC=41°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=123°，
∵∠ADB=180°-82°=98°，
则在BC=CD的前提下只有AD=BD；
如图，若CD=BD，AB=BD，
由题意可得：∠DBC=∠C=16°，
∴∠ADB=2∠C=32°，
∴∠A=∠ADB=32°，
∠ABD=180°-∠A-∠ADB=116°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=132°，
符合最小的内角为∠C=16°，
如图，若BD=CD，AB=AD，
则∠C=∠DBC=16°，
∴∠ADB=∠ABD=2∠C=32°，
∴∠A=180°-2×32°=116°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°；
如图，若BD=CD，AD=BD，
∴∠ADB=2∠C=2∠DBC=32°，
∴∠A=∠ABD=（180°-32°）÷2=74°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°；
若BD=BC，
则∠C=∠CDB=16°，
∴∠ADB=180°-∠CDB=164°，
则只能满足AD=BD，
∴∠A=∠CDB=8°，
即∠A＜∠C，不满足；
综上：∠ABC的度数为123°或132°或90°或48°．
故答案为：123°或132°或90°或48°．
解答题
16.【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴BD＝AD，
即△ABD是等腰三角形；
（2）∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．
17.【解析】（1）EF＝BE+CF，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF；
（2）不成立，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．
故答案为EF＝BE﹣CF．
18.【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）只要证明△ABF≌△DCE（AAS）即可；
（2）只要证明AF=DE，OF=OE即可；
【详解】证明：（1）∵BE=CF，
∴BF=CE，
∵在△ABF和△DCE中
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB=DC；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，AF=DE，
∴OE=OF，
∴AF-OF=DE-OE，
∴．
19.【详解】解：证明：∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED
又∵∠BED=∠CEF，
∴∠BDE=∠CEF
又∵DF⊥AC，
∴∠A+∠BDF=90°，∠C+∠CEF=90°，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形．
20.【解答】解：∵CA＝CB，
∴设∠A＝∠B＝x．
∵DF＝DB，
∴∠B＝∠F＝x，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝∠B+∠F＝2x．
在△AED中，x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠B＝∠F＝36°，
∴∠BDF＝180°﹣2×36°＝108°．
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