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2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是函数的导函数，则满足的函数是( )
A. B. C. D.
2.如图是学校高二、班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )
A. 两个班名学生的数学成绩优秀率可能相等
B. 班名学生的数学成绩优秀率一定高于班
C. 班名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
3.对于函数，若系数，，可以发生改变，则改变后对函数的单调性没有影响的是( )
A. B. C. D. ，
4.某地根据以往数据，得到当地岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王岁时身高，他父亲身高，则小王身高的残差为( )
A. B. C. D.
5.若函数，在时有极大值，则的极小值为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润元，她每天能够售出的工艺品单位：件均值为，方差为，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )
A. B. C. D.
8.若样本空间中的事件，，满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量服从正态分布，已知，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数及其导函数的定义域都是，若函数的图象关于点对称，为偶函数，则( )
A. B.
C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期是
11.设，都是不小于的整数，当，，，时，，设集合，，，，，如果与不能同时成立，则( )
A. 若，则，，或，，
B. 若，则的可能取值为或或
C. 若的值确定，则
D. 若为奇数，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为______．
13.已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为，那么在次运行中，平均准点班次约为______次
14.已知，是的两个不同的极值点，且，若恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者名，其中名痊愈，名未痊愈；抽到服用白开水的患者名，其中名痊愈，名未痊愈．
根据上述信息完成下列列联表；
疗法 疗效 合计
痊愈 未痊愈
服用白开水
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论．
附：参考公式：．
16.本小题分
口袋中装有个红球和个白球，把从口袋中不放回的随机抽个球称为“一次抽取”．
求第次至少抽到一个红球的概率；
设“一次抽取”中抽到红球的个数为，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
年我国汽车出口跃居世界首位整车出口万辆，同比增长作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量单位：与速度单位：在的函数关系为假设电价是元．
当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？
已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用电费司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？
18.本小题分
国家对化学元素镓相关物项实施出口管制镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比设表示一天的次检测得到的镓含量单位：的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差设表示镓合金中镓含量单位：，且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答：
记表示一天中抽取次的镓含量的次数，求及的数学期望；
当一天中至少次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进已知某天监测数据的最小值为，最大值为，经计算得若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？
若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示．
19.本小题分
设为自然对数的底数，已知函数．
当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程；
当实数满足且，求的最大值．
参考答案
1.
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4.
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6.
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8.
9.
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13.
14.
15.解：补全列联表如下：
疗法 疗效 合计
痊愈 未痊愈木拴
服用姜汤
服用白开水
合计
零假设：疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异：，
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯错误的概率不大于．
16.解：设“第次至少抽到一个红球“，则“第次抽到个球都是白球”，
第次抽取的样本空间包括个样本点，即，而，
所以；
由题意知，，，且每次抽到红球个数的概率相等；
，，，
的分布列为：

．
17.解：由，可得，
令可得，或舍去，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低；
设司机的工资为元，
则行车的总费用为，
，
由题意知时，，得，
即司机每小时的工资为元．
18.解：由题意得次监测镓含量的概率为，镓含量的概率为，
，
，；
由题意可知，，
，
改天至少次监测镓含量中，故必须作改进；
设余下的数据的平均数，则，，
，
．
19.解：由题意得，，
设函数的图象上一点为，
则该点处的切线为，即切线为，
，解得或，
此时或，
切线的方程为或；
设，则，
设，则，
由得在上单调递增，
同理得在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，
易得，
当时，，当时，，
时，的最大值为，即，，
由，得，
，而，，
必存在，使得，且当时，，
当时，，即在上单减，在上单增，
而，
当时，，
当时，，即，当且仅当时等号成立，
，
故当时，，即当时，，当且仅当时等号成立，
，
，当且仅当时等号成立，
的最大值为．
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