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人教A版数学--空间向量和立体几何（一轮复习）专题一
知识点一 求点面距离,面面角的向量求法
典例1、如图，在长方体中，，，点E是棱AB的中点．
（1）证明：； （2）求点E到平面的距离； （3）求二面角的余弦值．
拓展练习：如图，在长方体中，，，E、M、N分别是、、
的中点.
（1）证明：平面；（2）求点C到平面的距离；
（3）设P为边上的一点，当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角 的余弦值.
典例2、如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点.
（1）求证:; （2）求二面角的大小.
拓展练习：如图，在正四棱锥中，，点M，N分别在上，且．
（1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
典例3、四棱锥中，底面为梯形，，，，，
为直二面角．
（1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．
拓展练习：如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，为正三角
形，E，F分别是棱上的点，且满足．
（1）求证：；（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
知识点二 证明线面平行,线面角的向量求法
典例4、如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①：、条件②：、条件③：平面平面、中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.
（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
拓展练习： 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，点，分别是，
的中点，若，.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
典例5、已知平行四边形，，，点是 的中点.沿把进行翻折，使得平面平面.
（1）求证：平面；
（2）点是的中点，棱上一点使得，求二面角的余弦值.
拓展练习：如图，斜三棱柱中，为正三角形，为棱上的一点，平面，
平面.
（1）证明：平面；（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.
典例6、如图，在四棱锥中，平面，，，且，，
．
（1）证明：；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在， 求与所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．
拓展练习：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PA的中点，
过C，D，E三点的平面与PB交于点F，且PA=PD=AB=2.
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点G，使得二面角的余弦值为若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
人教A版数学--空间向量和立体几何（一轮复习）专题一答案
典例1、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.
解:（1）由长方体性质知：面，面，则，
又，则为正方形，即，而，
∴面，而面， ∴.
（2）由题设，，则，
由，且E是棱AB的中点，则，
即，
若E到平面的距离为，则，可得.
（3）构建如下图示的空间直角坐标系，则，
∴，若是面的法向量，
∴，令，则，
又是面的一个法向量，
∴，则锐二面角的余弦值.
拓展练习：答案： （1）证明见解析；（2）；（3）.
解: （1）证明：连接，，如图，
因为E、M分别是、的中点，所以且，
又N是的中点，所以，
结合长方体的性质可得且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）因为，，为长方体，
E、M、N分别是、、的中点，
所以，，，
所以为等腰三角形，其底边上的高为，
所以， 设点C到平面的距离为，
则，
又， 所以，解得，
所以点C到平面的距离为；
（3）连接，如图，
由平面可得即为直线与平面所成角，
又，所以,
分别以、、作为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，， 所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令则，
得平面的一个法向量，
所以，
因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为.
典例2、答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）依题意，平面，如图，以为原点，
分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意，可得，，
， ，即；
∵，为的中点，∴
（2），平面,
平面，故为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
， 即，
令，得，故. ，
由图可得二面角为钝角，
二面角的余弦值为，则二面角的大小为.
拓展练习：答案： （1）证明见解析 2（2）
解：（1）证明：连接AN并延长交BC于点E，
因为正四棱锥P ABCD，所以ABCD为正方形，所以．
又因为，所以，所以在平面PAE中，，
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
（2）连接AC交BD于点O，连接PO，
因为正四棱锥P ABCD，所以平面ABCD，
又OA，平面ABCD，所以，，
又正方形ABCD，所以．
以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，所以，则，，
设平面AMN的法向量为，则，
取，； ，，
设平面PBC的法向量为， 则
取，； 所以，
设平面AMN与平面PBC所成的二面角为， 则，
所以平面AMN与平面PBC所成二面角的正弦值为．
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）取的中点,连接，交于,连接,所以,
因为，，， 所以且,
所以四边形为菱形，所以,
因为，为的中点，所以,
所以为的二面角的平面角，
因为二面角为直二面角， 所以，即,
因为，，平面,
所以平面,
又因为平面，所以.
又因为为的中点，为的中点，
所以,所以；
（2）由（1）知，，，，以为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，由,得，
所以， 所以，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，则，，
设直线与平面所成角为，则，
因为直线与平面所成角的正弦值为，，
所以，解得，
由（1）知，为的中点，所以. 所以的长度为.
拓展练习：答案：（1）证明过程见解析； （2）存在，.
解：（1）设的中点为，连接， 因为是圆O的直径，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，而平面， 所以；
（2）连接，因为，所以，
因为为正三角形，的中点为， 所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，
所以，建立如图所示的空间直角坐标系，
设， ，
设平面的法向量为， ，
所以有，
所以，，
假设存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，
所以有，或（舍去），
即存在，使得直线与平面所成角的正弦值为.
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）选①②：由，，，易知：，
又，，面，则面；
选①③：由，，，易知：.
又面面，面面，面，
∴平面
（2）由（1）知：，，又四边形是正方形，则，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，
∴，，
设面的一个法向量为，则，即
令，则，，即，
设直线与平面所成角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
拓展练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取中点，连接，
分别为中点，，；
四边形为矩形，为中点，，；
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在中，，，，由余弦定理知，
，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
（2）设是的中点，因为，，则为正三角形，
则，，且，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∴.
由题可知，，∴为正三角形，∴.
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
设，则，
，，
∵，∴，即，解得.
∴当点为棱的中点时满足题意，即，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，
又平面的一个法向量为，
∴， 由图可知，二面角为锐角，
∴二面角的余弦值是.
拓展练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）设，则为的中点.连结，则平面平面.
因为平面，平面，
平面 平面= ，所以，
从而为的中点，因此.
因为平面，所以.因为，所以平面.
（2）解法1： 以为坐标原点，为轴正方向，为单位长，
建立如图所示的建立空间直角坐标系，设.
则，
，故， .
设为平面的法向量则
即可取
设为平面的法向量，则即
可取. 由可得，所以.
设为平面的法向量，则，
即 可取.
因为，所以二面角的正弦值为.
解法2：
在平面内过点作，垂足为，因为平面平面，
所以平面，故.由（1）及题设平面，
所以，又，因此平面，所以，
因此.
以为坐标原点，为轴正方向，为单位长，
建立如图所示的建立空间直角坐标系，
可知，可得
设为平面的法向量，则
即{可取
设为平面的法向量，则，
即可取
因为，于是二面角的正弦值.
所以二面角的正弦值.
典例6、答案：（1）证明见解析 （2）存在，且与所成角的余弦值为
解：证明：连接，设，
因为，则，且为等腰直角三角形，
因为，则，
因为，由余弦定理可得，
所以，，则，
平面，平面，，
，平面，平面，.
（2）因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
由题意可得，
因为，解得，此时，，
，，
所以，，
因此，在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，
且与所成角的余弦值为.
拓展练习：答案： （1）证明见解析；（2）存在，.
解:（1）证明：由题意得，AB//CD， 又AB 平面PAB，CD平面PAB，
∴CD//平面PAB. 又CD 平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF，
∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD.
（2）取AD的中点为O，连接PO，PA=PD，PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO 平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴VP－ABCD=AB·AD·PO=，则AD·PO=4， 又PO2+=4，∴PO=，AD=2.
取BC的中点为H，以OA，OH，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，B(，2，0)，D(－，0，0)，C(－，2，0)，
∴=(，2，－)， =(0，－2，0).
假设存在点G，设，∴，
则，
∴=((1+λ)，2λ，(1－λ))，
设平面GCD的法向量为，
，可取，
又平面的一个法向量，二面角G－CD－B为锐角，
∴，解得λ=或λ=3（舍）.
存在点G，使得二面角G－CD－B的余弦值为，此时.
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人教A版数学--空间向量和立体几何（一轮复习）专题二
知识点一 证明线面平行,求平面的法向量,面面角的向量求法
典例1、如图所示多面体中，底面是边长为3的正方形，平面，，
，是上一点，．
（1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值．
拓展练习：在四棱锥中，，，，，且，
，平面平面.
（1）证明：//平面； （2）求二面角的余弦值.
典例2、如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，是的中点，，垂足为.
（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值.
拓展练习：如图，正三棱柱中，，点，分别为，的中点.
（1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值.
典例3、在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，．
（1）证明：；
（2）点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF与平面PAB所成的角的正弦值为．
拓展练习：在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，
是的中点．
（1）求证：．（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是60°．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
知识点二 证明线面平行,线面角的向量求法
典例4、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，丄平面，且
，，点是的中点.
（1）求证:平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值.
拓展练习： 如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线 与平面所成的角的正弦值．
条件①：； 条件②：； 条件③：到平面的距离为1．
典例5、如图，中，且，将沿中位线EF折起，使得，连结AB，
AC，M为AC的中点.
（1）证明：平面ABC； （2）求二面角的余弦值.
拓展练习：如图，在四棱柱中，四边形和四边形都是矩形，，四
边形是一个边长为4的菱形，.
（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.
典例6、如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，且．
（1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值；
（3）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
拓展练习：请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为，③∠ABC．
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F．
（1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由； （2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．
人教A版数学--空间向量和立体几何（一轮复习）专题二
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：过点作，交于点， 则，即，
因为，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面， 所以平面.
（2）由题意以为原点，分别以，，
所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，， 即，，
令，，则，，
设二面角为， 所以，
即，
所以二面角的正弦值为.
拓展练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）设点满足，即，结合条件，
即，，即；
由条件，即，可得：，显然线段不共线，
从而可得四边形为平行四边形，即可得：//，平面，
平面，故可得：//平面
（2）过点作作的垂线，垂足为，平面，
平面平面，平面平面，可得：平面
∵，∴，故可得，，，.在直角梯形中，，，可得，在中，根据余弦定理：，
根据上述分析可得：，从而可得：.
综上可得：三条直线两两垂直.故以点为原点，方向为轴，
方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系.则有点，， ，，，
设平面的法向量为，则可得：，
即有，令，可得；
平面与平面为同一个平面，显然平面的一个法向量为.
可得：，结合图形可知是锐二面角，
从而可得二面角的余弦值为
典例2、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）1.
解：（1）证明：连接交于点，连接，易知为中点，
在中，，分别为，中点，
∴为的一条中位线， ∴，
∵平面，平面， ∴平面.
（2）过点作交于点，则点到平面的距离，
即点到平面的距离，
∵平面，平面， ∴，
又，，平面，平面，
∴平面，则点到平面的距离即为的长度，
在中，，，故，
又，故，则，
∴， ∴，
∴，即点到平面的距离为.
（3）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（2）可得，，，，
∴，，，，
设平面的一个法向量为，则，
则可取，
设平面的一个法向量为，则，
则可取，
∴， ∴二面角的正弦值为1.
拓展练习：答案： （1）；（2）.
解：（1）取的中点，连结，则平面，
是等边三角形，，
以为原点，分别以，，所在直线为坐标轴
建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，，，，0，，
，，，，0，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，0，，
点到平面的距离为.
（2），，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，，， ，，
二面角的余弦值为.
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）点F在PD的中点处
解：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，∴
取AB中点E，连接DE，∵，
∴，又∵，∴．
∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边，∴，
又，PD面PAD， AD面PAD，
∴BD⊥面PAD，又PA面PAD，∴
（2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，分别以DA，DB，DP为x、y、z轴
建立如图空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)，
设平面PAB的一个法向量为，
则，则可取．
设点F的坐标是，则BF的坐标是(0,－,t)，
设BF与平面PAB所成的角为，
则
解得或
点F在线段PD上，则，即点F在PD的中点处满足题意.
拓展练习：答案：（1）证明见解析； （2）存在，为棱的中点.
解：（1）∵，是的中点，∴. 又平面，∴.
∵，平面，平面，∴平面.
∵平面，∴．
（2）以为原点，分别以，为x，y轴，如图建立坐标系.
则：，，，，，
，，，.
设平面的一个法向量，则：，
不妨取，，，所以.
假设在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是60°，
设且，，∴，
∴，，， ∴，
若直线与平面所成的角为60°，
则：，
解得. 即点为棱的中点
所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是60°.
典例4、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）连接BD交AC于F点，连接EF， 在中，∵EF是中位线，∴．
又∵平面AEC，平面AEC， ∴平面AEC．
（2）由题意知，AC，AB，AP两两互相垂直，如图，
以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴
建立空间直角坐标系A-xyz．
则，，， ∴，
易知平面PAB的一个法向量为，
设直线CE与平面PAB所成角为，
则．
∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为．
拓展练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取的中点为，连接.
分别是，的中点, . D是的中点，
直三棱柱， .，.
四边形为平行四边形.
又平面，平面，所以平面.
（2）选择条件①：；
直三棱柱，平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面.
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则， 所以，
设为平面的一个法向量， 则， 即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，
则
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件②：； 取的中点为，连接.
直三棱柱，分别是，的中点,
平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面..
分别是，的中点, ，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立
如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则 ，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，
则.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件③：到平面的距离为1． 过点作,垂足为，
直三棱柱， 平面，平面，，
，平面，
所以平面.平面.所以
由（1）知平面；因为到平面的距离为1，
所以.又，所以
又因为是的中点, ,所以是的中点, .
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，
则.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
典例5、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）设，则
，，平面
平面，
连接，，，
，
，即
又 ，平面ABC
（2），以点为坐标原点，
建立如下图所示的空间直角坐标系
设平面的法向量为，平面的法向量为
，令，则
同理可得，
又二面角为钝角，故二面角的余弦值为.
拓展练习：答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）由矩形得，由矩形得.又，
∴平面.又平面，∴.
又∵四边形为菱形，∴，而，∴平面.
（2）在菱形ABCD中，，，
由余弦定理可得，则，
于是均为正三角形，取的中点M，易得，且.
以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则取，得.
设平面的法向量为，
则取，得.
设平面与平面的夹角为，则.
典例6、答案： （1）证明见解析 （2） （3）存在，，理由见解析.
解：（1）在正方形中，，又因为，，
所以面，因为面，所以，
因为，，，所以面，
因为面，所以， 因为，所以平面；
（2）由已知可得，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，连接，可得，
因为，所以，
所以，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
由，令，则，，所以，
设平面的一个法向量，
由，则，令，则，所以，
所以，
（3）因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
存在，理由如下：
假设在棱上是否存在一点满足条件，设，，
则，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
所以
解得：，，
所以在棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是
且的长为.
拓展练习：答案： （1）存在，G是线段AB的中点，证明见解析；（2）详见解析
解:(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．
证明如下：如图所示：
设PC的中点为H，连结FH， 因为，， ，，
所以 所以四边形AGHF为平行四边形， 则AF∥GH，
又GH 平面PGC，AF 平面PGC， ∴AF∥平面PGC．
(2)选择①AB⊥BC： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
∵PA＝AB＝2， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，
(﹣2，﹣1，1)，
设平面FAC的一个法向量为(x，y，z) ∴，
取y＝1，得(﹣1，1，﹣1)， 平面ACD的一个法向量为(0，0，1)，
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ，
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．
选择②FC与平面ABCD所成的角为：
∵PA⊥平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，
则FM∥PA，且FM＝1，∴FM⊥平面ABCD，
FC与平面ABCD所成角为∠FCM，∴，
在Rt△FCM中，CM， 又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，
∴AE，AD，AP彼此两两垂直， 以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
∵PA＝AB＝2， ∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，
C(，1，0)， D(0，2，0)，
E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，
∴(0，1，1)，( ，0，1)，
设平面EAC的一个法向量为(x，y，z) 则，
取x，得( ，﹣3，3)，
平面ACD的一个法向量为：(0，0，1)，
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，
则cosθ． ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．
选择③∠ABC： ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，
∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，
∵E是BC的中点，∴BC⊥AE， ∴AE，AD，AP彼此两两垂直，
以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA＝AB＝2，∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，
C(，1，0)， D(0，2，0)，
E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，
∴(0，1，1)，( ，0，1)，
设平面EAC的一个法向量为(x，y，z)，则，
取x，得( ，﹣3，3)，
平面ACD的法向量(0，0，1)，
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ， θ则cosθ．
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题三
知识点一 求点面距离,面面角的向量求法
典例1、已知正三棱柱底面边长为2，M是BC上一点，三角形是以M为直角顶点等腰直角三角形.
（1）证明M是BC中点；（2）求二面角的大小；（3）直接写出点C到平面的距离.
拓展练习：如图，三棱柱的棱长均为2，点在底面的射影O是的中点.
（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面所成角的余弦值.
典例2、已知四棱锥中，，，，，，面
面ABE，.
（1）求证： （2）求面ADE与面BCE所成的锐二面角的余弦值
拓展练习：如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，
，，．
（1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值．
典例3、如图，在正方体中，为棱的中点，棱交平面于点．
（1）求证：平面平面；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值．
拓展练习： 如图，三棱柱中，面面，．过
的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值．
知识点二 线面角的向量求法,线面平行的性质
典例4、如图，在三棱柱中，，D为中点，四边形为正方形．
（1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
拓展练习：如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为
的中点，为上一点，平面.
（1）求证：为的中点；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
典例5、如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC
上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.
（1）求证：；
（2）若，从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面 所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
拓展练习：如图，在四棱锥中，平面，，，，
，点，分别为棱，的中点.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
典例6、如图，PO是三棱锥的高，点D是PB的中点，.
（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，证明另一个条件成立；条件①：平面；条件②：.注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（2）若，OB平分，，，在（1）的条件下，求平面PAB与平面PAC夹角的余弦值.
拓展练习：如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
①；②；③与平面所成的角为.
若平面，，且______________，求二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题三答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）证明：在正三棱柱中，有底面，面，，
又是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 且
，面 面，
面， ，
底面是边长为2的正三角形， 点为中点．
（2）过作，交于．
以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系．
由（1）知，，，，
，则、，，，
所以，，，
设面的一个法向量为，
则，取，得，
令面的一个法向量为， 则，
令，则
设二面角的大小为，由图知为锐角，
故，解得． 故二面角的大小为．
（3）过点作，由（1）知且，平面，
平面， 在平面内， ，
又，平面， 平面
由（1）知，，，，
， ，
点到平面的距离为．
拓展练习：答案：（1）；（2）.
解:（1）由点在底面的射影O是的中点，可得平面，
又由是等边三角形，所以两两垂直，
以分别为建立如图所示的空间直角坐标系，
因为三棱柱的棱长都是2，所以得，
可得，所以，
在平面中，，
设法向量为，则有，可得，
取，可得，所以平面的一个法向量为，
记点到平面的距离d，则.
（2）在平面中，，
设法向量为，则有，可得，
取，可得，所以，
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值.
典例2、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：过C作交AB于G，连接，
∵面面ABE，且AB为交线，平面， ∴面ABE，
又平面，∴，
∵，∴，
即，
即， ∴，即，
∵平面， ∴面ABCD，
又平面，∴；
（2）过D作交AB于O， ∴，∴面ABE，
由（1）得，
以O为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴正方向
建立空间直角坐标系，如图，
由，，得，，，
∴，，，，，
∴，，，，
设面ADE，面BCE的法向量分别为，，
∴，即，令，则，
，即，令，则，
∴，
∴面ADE与面BCE所成的锐二面角的余弦值为.
拓展练习：答案： （1）证明见解析 （2）．
解：（1）证明：∵，， ∴，，又，，
∴，且四边形为直角梯形，，则，
∴， ∴，∴，
又∵平面，平面，∴，
又∵，平面，∴平面，
∵平面AOP，∴．
（2）以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，
，则，，．
易知平面的法向量为．
设平面的法向量为，
∵，，
由，有，
令，从而，，∴．
设二面角的平面角为，则，
即二面角的余弦值为．
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）
解：（1）在正方体中，平面.
因为平面，所以．
又因为是正方形，所以．
又因为，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）在正方体中，平面平面.
又平面平面，平面平面，则．
又因为且，所以是平行四边形．所以．
所以.
（3）因为底面，，所以两两垂直. 以所在直线分别为 轴、轴和轴，建立空间直角坐标系．设正方体边长为，
则， ，
，．
设平面的一个法向量为， 由得
令， 得.
因为平面，所以是平面的一个法向量
所以．
由图可知，二面角的余弦值．
拓展练习：答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）在三棱柱中，，平面，
平面，则平面，
又平面平面，平面，于是得，
而平面平面，平面平面，
平面平面，
则，所以四边形为平行四边形.
在平面内过点A作，因平面平面，
平面平面，
于是得平面，又，以点A为原点，
建立如图所以的空间直角坐标系，
因，，则，
，
，
设平面的法向量，则，
令，得，
点B到平面的距离，
解得，
因此，，而，设直线与平面所成角为，
于是得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
典例4、答案： （1）证明见解析； （2）
解：（1）证明：取的中点，连接，
在三棱柱中，因为是的中点，所以，，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
又由且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）若选条件①：
因为，，且，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，
如图所示：因为且四边形为正方形，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
若选条件②：因为四边形为正方形且，可得，
又因为，所以， 由，所以，
以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，
如图所示：因为且四边形为正方形，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
拓展练习：答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）取的中点，易知.
因为平面,平面,所以平面.
因为平面，平面，
所以平面平面.
因为平面，所以平面.
因为平面，且平面平面，所以.
因为为的中点，所以为的中点.
（2）选择条件①：，
因为底面是边长为2的正方形，所以.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以两两垂直，
以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
选择条件②：，
因为，,所以.
因为，,所以, 所以，即.
因为底面是边长为2的正方形，所以.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以两两垂直，
以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角为， 则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
典例5、答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）在三棱柱中，，又面，面，
所以平面，又面面，面，
所以.
选①②：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，所以，
又面面，面面， 平面，
所以平面，平面， 故，又，所以.
（2）以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，
令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选②③：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，故，且，又，.
所以，则.
又，面，所以面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，
令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选①③：取中点，连接，.
在中，因为，所以，且，.
又面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，又，， 所以，则.
由，面，则面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，
令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
拓展练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为平面，，，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为， 则，
令，则，，
则平面的一个法向量为，
所以，则，又平面 平面；
（2）由（1）得，所以，
设直线与平面所成角为． ．
直线与平面所成角的正弦值为．
典例6、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）选择条件①：平面PAC，证明条件②：成立. 延长BO交AC于点Q，连结PQ，
因为平面PAC，平面，平面PAC平面，则，
∵是PB的中点，∴，
连结OA，∵，∴，
∵是三棱锥的高，∴平面ABC，、平面ABC，
∴，，∴， ∴，∴；
选择条件②：，证明条件①：平面成立.
取AB的中点E，连结OE、PE、DE，则， ∵PO是三棱锥的高，
∴平面ABC，平面ABC，∴，
又，平面POE，，
∴平面POE，平面POE，∴，
∵，∴，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，
又∵D是PB的中点，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，
∵，平面， ∴平面平面PAC，平面，
∴平面PAC；
（2）选择条件①：由（1）得，取AB的中点E，连结OE，则，
∵，，∴，，
以点O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴，z轴，过和平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，
设是平面的一个法向量，则，
∴，令，则，∴，
设是平面的一个法向量，则，
∴，令，则，∴，
∴，由图，平面与平面夹角为锐二面角，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
选择条件②：由（1）得，∵，，
∴，
以点O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴，z轴，过和平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，
设是平面的一个法向量，则，
∴，令，则，∴，
设是平面的一个法向量，则，
∴令，则，∴，
∴，平面与平面夹角为锐二面角，
∴平面PAB与平面PAC夹角的余弦值为.
拓展练习：答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）设AC,BD交于点O，因为是菱形，所以O为BD的中点.
连结OF.因为为的中点，所以为的中位线，所以.
因为面，面， 所以平面.
（2）过O作.以O为原点，为x、y、z轴正方向
建立空间直角坐标系.
选条件①：.
在菱形中， .因为，所以,.所以,,,,,,.
所以,.
设为面ACF的一个法向量，则：，不妨令x=2，则.
显然为面ACD 的一个法向量. 设二面角的平面角为，
由图示，为锐角，
所以.
选条件②.
在菱形中，，所以,所以.
因为，所以,.
所以,,,,,,.
所以,.
设为面ACF的一个法向量，则：，
不妨令x=2，则. 显然为面ACD 的一个法向量.
设二面角的平面角为，由图示，为锐角，
所以.
选条件③：与平面所成的角为.
因为平面，所以为与平面所成的角，即.
在直角三角形中，由可得：.所以,.
所以,,,,,,.
所以,.
设为面ACF的一个法向量，则：，
不妨令x=2，则. 显然为面ACD的一个法向量.
设二面角的平面角为，由图示，为锐角，
所以.
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题四
知识点一 面面平行证明线线平行,面面角的向量求法,点到平面距离的向量求法
典例1、已知是边长为4的等边三角形，E，F分别是，的中点，将沿着翻折，得到四棱锥，平面平面，平面平面.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点C到平面的距离.
拓展练习： 如图所示，在中，斜边，，将沿直线AC旋转得到， 设二面角的大小为．
（1）取AB中点E，过点E的平面与AC，AD分别交于点F，G，当平面平面BDC时，求FG的长；
（2）当时，求二面角的余弦值．
（3）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
典例2、如图所示，平面平面，且四边形为矩形，，，，．
（1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
拓展练习：如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点．
（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的大小；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
典例3、如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，且平面平面.
（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.
拓展练习：如图，直三棱柱，.
（1）证明：；（2）设为的中点，，求二面角的余弦值.
知识点二 证明线面平行,面面角的向量求法
典例4、如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点F为的中点．
（1）已知点G为线段的中点，求证：CF∥平面；
（2）若，直线与平面所成的角为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥唯一确定，求：
（ⅰ）直线到平面的距离； （ⅱ）二面角的余弦值．
条件①：平面； 条件②：； 条件③：平面平面．
拓展练习：如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）从①三棱锥的体积为1；②与底面所成的角为60°；③异面直线与所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角的余弦值．
典例5、如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点.
（1）证明：平面；（2）若，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：异面直线与所成的角为45°；
条件②：是等腰三角形.
拓展练习：如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件① 条件② 条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 条件①：；条件②：；条件③：平面平面.
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.
典例6、如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PB的中点，______．从①；②平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分．
（1）求证：四边形ABCD是直角梯形． （2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
（3）在棱PB上是否存在一点F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
拓展练习：如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，为的中点.
（1）证明:平面;
（2）在①，②这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若________，求与平面所成的角. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题四答案
典例1、答案： （1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）在中，E，F分别是，的中点，所以.
在四棱锥中，因为，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）在四棱锥中，取的中点O，的中点D，连结，，
因为，，又平面平面，平面平面，
平面， 所以平面，
因为平面，所以.
以点O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，， ，
，.
设是平面的一个法向量，
则，令，得，，即，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2），点C到平面的距离.
拓展练习：答案：（1）1；（2）；（3）不存在.
解:（1）如图所示：
因为平面平面BDC，平面平面BDC=BD，
平面平面EFG=EG， 所以，
因为E为AB的中点，所以G为AD的中点，
同理可证F为AC的中点， 所以，
在中，斜边，，
所以，即， 所以；
（2）过点B作，连接DO，则，面，
因为，则平面平面ABC，因为平面平面ABC=AC，
所以平面ABC，
以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系；
在中，斜边，，
所以，
则， 所以 ，
设平面BCD的一个法向量为， 则，即，
令 ，得 ，则， 因为平面ACD，
所以是平面ACD的一个法向量，
所以.
即二面角的余弦值是．
（3）假设存在，则，，
，
解得，则， 因为， 所以不存在，使得.
典例2、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）．
解:（1）证明：∵四边形为直角梯形，四边形为矩形， ∴，，
又∵平面平面，，且平面平面，
∴平面
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
则，．
∵，， ∴为平面的一个法向量．
又， ∴，即平面．
（2）由（1）知， 由（1）知，，
设平面的一个法向量，
则，∴， ∴平面AEF的一个法向量，
则，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（3）由（1）知，又平面的一个法向量，
所以点到平面的距离．
拓展练习：答案： （1）证明见解析； （2）； （3）.
解：（1）证明：连接，，， ，
又，四边形为平行四边形.
点， 分别为，的中点， ，.
，，为的中点，
，, ，.
四边形为平行四边形. .
平面，平面， 平面.
（2）平面，，可以建立以为原点，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系：
依题意可得，，，，，，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即.
设平面的法向量为，
则，令，则，，即.
设平面与平面夹角为， 则.
所以平面与平面夹角为.
（3）设，即，
则，所以.
由知平面的法向量为，
由题意可得，
即，整理得， 解得或.
因为，所以. 所以，，
则.
典例3、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）设，则中点为M，且
∵平面平面且交线为，平面，∴平面，
∵平面，∴， 又直三棱柱，∴，
∵平面， ∴平面，
∵平面，∴.
（2）由（1）知平面， 所以直线与平面所成的角为，
不妨设
以B为原点，分别为x，y，z轴正向建立坐标系，，
设平面的法向量为 ，故可设，
设平面的法向量为， ，故可设，
设平面与平面所成锐二面角为， ∴.
拓展练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）直三棱柱， 平面，并且平面 ，
又，且，平面 平面，
又平面， .
（2），，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，
如图，则，所以的中点，则，，，
设平面的一个法向量，则，可取，
设平面的一个法向量，则，可取，
则，因所求角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
典例4、答案：（1）证明过程见详解 （2）（ⅰ）；（ⅱ）.
解：（1）取的中点，连接，，，；
因为分别为的中点，所以，平面，
平面，所以平面，
又因为分别为的中点，四边形为平行四边形，
所以且，则四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）选择条件①和③
（ⅰ）因为平面，所以即为直线与平面所成的角，
由题意可知：，又，所以.
因为平面平面，且平面平面，因为平面，
所以，所以平面，平面，所以,
则四边形为矩形，因为，所以，
设点到平面的距离为，由平面可知：，
在中，，
因为为的中点，所以，
所以，，
因为，平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离也就是直线到平面的距离.
因为，即，
也即，所以 故直线到平面的距离为.
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，则，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则有，也即，令，则；
则有，也即，令，则，
则，
由图可知：二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
拓展练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：取的中点，连接，，因为，分别是棱，的中点，
则，， 四边形为平行四边形，
， 平面，平面， 平面．
（2）在平面ACC1中过点作于，连接，
平面平面，平面平面， 平面，
选择条件①：
三棱锥的体积，，
在中，， 点为的中点，，
故以为原点，、、分别为、、轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，平面平面，平面， 平面，
平面即平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，， ，
显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．
选择条件②：
与底面所成的角为，，， 点为的中点，，
故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，平面平面，平面，
平面，
平面即平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，， ，
显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．
选择条件③：
， 即为异面直线与所成的角，即，
，， ，即，，
故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，平面平面，平面， 平面，
平面即平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，， ，
显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．
典例5、答案： （1）证明见解析 （2）答案见解析
解：（1）取的中点为，连接，，因为是的中点，
所以且， 又因为且，
所以且，
所以四边形是平行四边形， 即，平面
而平面，所以平面.
因为，，且，平面， 所以，
（2）又因为，所以分别以，，
所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系.
选择条件①，因为为异面直线与所成的角，即，
所以，，
设，则， 解得， 所以，，
，， 所以，，，
设平面的法向量，则
令，则，，即，
所以.
选择条件②，设，则，，，
因为是等腰三角形，所以上式中只能，即，
所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
令，则，，即，
所以.
拓展练习：答案： （1）证明见详解 （2） （3）存在点；
解：（1）因所求问题包括线面角大小，需要求出边长，故①必选，
选②缺垂直条件，因为，又四边形是边长为4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面
所以，选①②无法证明平面；
故只能选择①③，理由如下：因为平面平面，平面平面，
四边形是边长为4的正方形，所以，所以平面，
又因为平面，所以，，所以，
又因为，所以，平面，，
所以平面；
（2）由（1）知两两垂直，故以方向为轴，方向为轴，
方向为轴，
建立空间直角坐标系，则，故，，设平面的方向量为，则，即，令，得，故，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为；
（3）假设存在设点，使得平面，则，因为平面，所以，，所以，，解得，故，，
所以存在点，为中点，使得平面，此时.
典例6、答案：（1）证明见解析 （2） （3）存在，
解：（1）选择①：证明：平面，平面，，，
因为，，
，，，
，平面，平面，
平面，， ，，
四边形是直角梯形．
选择②：证明：平面，平面，，，
，，， ，，
，平面，平面，
平面，， ，四边形是直角梯形．
（2）过作的垂线交于点， 平面，，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，2，，，0，，，，，
为的中点，，，，
，，，，2，，，2，，
设平面的法向量为，，，则，
令，得，1，，
设直线与平面所成角为， 则，．
直线与平面所成角的正弦值为．
（3）设，则，，，，，
，，， 平面，，
，解得． 故存在点F，且．
拓展练习：答案：（1）证明见解析；（2）
解:（1）连接，交于，连接，
底面是菱形，为中点， 为中点，，
平面，平面，平面；
（2）选①：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴
建立如图空间直角坐标系，
底面是菱形，，，，
则，
设平面的法向量为， 则，
取可得，
设与平面所成的角为， 则，
所以与平面所成的角为；
选②：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴
建立如图空间直角坐标系，
取中点，连接，
底面是菱形，，，平面，为的中点，
，平面，，，
，
则，
设平面的法向量为， 则，
取可得，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成的角为；
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题五
知识点一 锥体体积的有关计算,证明线面垂直,已知面面角求其他量
典例1、如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点．
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积．
随堂练习：已知平面四边形，，（如图1所示），现将 沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点，为线段上一点，（如图2所示）．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
典例2、已知，如图四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，平面ABCD，E，M分别是BC，PD中点，点F是棱PC上的动点．
（1）证明：平面PAD；
（2）请确定F点的位置，使得直线AF与平面PCD所成的角取最大值．
随堂练习：已知正方体和平面，直线平面，直线平面.
（1）证明：平面平面；
（2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值.
典例3、如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且．
（1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值．
随堂练习：如图所示，在四棱锥中，，且平面.
（1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值.
知识点二 证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,已知面面角求其他量
典例4、如图，在四棱锥中，平面平面，点在棱上，设.
（1）证明：.
（2）设二面角的平面角为，且，求的值.
随堂练习：如图，四棱锥的底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面与平面相互垂直，、分别为、的中点.
（1）求证：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值.
典例5、如图，在直三棱柱中，E，F，G分别为线段及的中点，P为线段上的点，，三棱柱的体积为240．
（1）求点F到平面的距离；
（2）试确定动点P的位置，使直线与平面所成角的正弦值最大．
随堂练习：如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．
（1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求到平面的距离．
典例6、在三棱锥中，，，，分别为，的中点，，，分别为，，的中点，平面，与平面所成的角为．
（1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值．
随堂练习：在正方体中，E，F分别是，的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求平面与平面EDC所成的二面角的正弦值．
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题五答案
典例1、答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）由题设，底面圆，又是切线与圆的切点，
∴底面圆，则，且，而， ∴平面.
（2）由题设，若，可构建为原点，
、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，
又，可得，
∴，，，有，，
若是面的一个法向量，则，
令，则， 又面的一个法向量为，
∴，可得，
∴该圆锥的体积．
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为， 所以为等边三角形，
因为为的中点，所以． 因为平面平面，
平面平面平面， 所以平面，
又平面，所以，
又因为平面， 所以平面．
（2）如图所示以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，，
设， 则，
设平面的一个法向量为， 则，即 ，
取，有， 即．
平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，
则，
解得，即为中点． 此时，
又因为，
所以．
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在正方形中有，，，
，又因为，所以平面，而平面，
所以平面平面.
（2）连接MN,由题意可得，，
，由，所以为直角三角形，
即，
设点到平面的距离为，由得，
，即，得，
即四棱锥的体积为
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）连接，因为，所以,
又因为，，所以，即,
又因为底面ABCD，底面ABCD，所以 BC，
又因为平面PCD，，
所以平面PCD,又因为平面PBC， 所以平面PCD⊥平面PBC.
（2）在直角三角形中，
在直角三角形中，
所以，
所以， 所以.
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）连接，由已知，，且，
∴四边形为菱形，∴，
在圆锥中，∵平面，平面， ∴．
∵，平面，平面， ∴平面．
又∵平面， ∴平面平面．
(2）取中点，易知平面，，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
∵，∴，
∴， ∴，．
设平面的一个法向量为．
因为所以，令，则，， ∴，
易知平面即平面，∴平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
∴平面与平面的夹角的余弦值为．
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：平面平面.
. 平面，
平面.
又平面平面平面.
（2）由（1）易知两两垂直.
如图，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，
则.
.
设平面的法向量为，
则即取，得.
易知平面的一个法向量为， ,
由图可知，平面与平面的夹角为锐角，
平面与平面夹角的余弦值为.
典例4、答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）证明：取的中点，连接. 因为，所以.
又，所以四边形是平行四边形，从而.
因为，所以，从而.
因为，所以，则.
因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，平面，从而.
又，平面，
所以平面，因为平面，所以；
（2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，
，可得.
设平面的法向量为， 由，
不妨令，则.
因为平面，所以可取平面的一个法向量为，
因为，所以，
解得或（舍去）.
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）6.
解：（1）在四棱锥中，是正三角形，是的中点，则，
又平面平面，平面平面，平面，
则有平面，而平面， 所以.
（2）取的中点，连接，
在直角梯形中，，、分别为、的中点，
则，又，即有，
由（1）知平面，又、平面，则，.
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
，设平面的一个法向量，
则，令，得，
由（1）知，平面，则是平面的一个法向量，
，
因二面角的余弦值为，则，又，
解得，的值是6.
典例5、答案：（1） （2）P为中点
解：（1）在中，，为的中点，，即，
由直三棱柱的体积，
则=240 解得，
以为原点，并分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
由为的中点，则，由为的中点，则，
在平面中，取，，设该平面的法向量为，
则，即，令，则，
故平面的一个法向量为，
取，由点面距公式，
可得到平面的距离.
（2）由（1）可知：，，，，，
由，平面，则设，，
设，即，，
在平面内，取，，设其法向量，
则，即，令，则，
故平面的一个法向量，取，
设直线与平面所成角为，则，
则
当时，P与B重合， 当时，，
令，
当时，即，P为中点时，
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）证明：连接，，连接，
在直三棱柱中为矩形，则为的中点，
又为的中点，所以，
平面，平面． 平面．
（2），，，，．
由直三棱柱中，底面，底面，
，．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，
所以，
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为；
（3）设到平面的距离为，则；
典例6、答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）连结． ∵，分别为，的中点，
∴，即四边形是梯形，
∵，为分别为，的中点，
∴，而平面，平面
∴平面，
∵、为分别为 、的中点，
∴，而平面，平面
∴平面，又，平面，平面，
∴平面平面，平面， ∴平面；
（2）∵，为的中点， ∴，
∵平面，故，，两两垂直．
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
不妨设，由得，，
∵与平面所成的角为，而平面， ∴，∴，
∴，，，
易知为平面的法向量， ，，
设为平面的法向量， ∴，
令，则为平面的一个法向量，
∴，
∴平角与平面的夹角的余弦值为.
随堂练习：答案：（1）见解析； （2）.
解：（1）如图，连接，，连接，
∵BC∥且BC＝，∴四边形是平行四边形，
∴∥且，
∵E是中点，G是中点，∴∥CG且，
∴四边形是平行四边形，∴∥CE，
∵平面，CE平面，∴CE∥平面；
（2）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，取；
设平面EDC的法向量为，
则，
取，则；
设平面与平面EDC所成的二面角的平面角为α，
则， ∴
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题六
知识点：证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,线面角的向量求法
典例1、如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.
（1）求证：平面平面ABC；
（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
随堂练习：如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成二面角的大小．
典例2、如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PB的中点，______．从①；②平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分．
（1）求证：四边形ABCD是直角梯形． （2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
（3）在棱PB上是否存在一点F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
随堂练习：如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，为的中点.
（1）证明:平面;
（2）在①，②这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若________，求与平面所成的角. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
典例3、如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点.
（1）设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？
（2）设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求.
随堂练习：已知正三棱柱中，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．
典例4、如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，，，是等边三角形，且.
（1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，且，，，点在上．
（1）求证：； （2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．
典例5、如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，，M，N分别是对角线BD，AE上异于端点的动点，且．
（1）求证：直线平面CDE；
（2）当MN的长最小时，求二面角A-MN-D的正弦值．
随堂练习：如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，
（1）证明：平面ABD；
（2）若，求二面角的余弦值．
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题六答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在菱形中，，∴和均为等边三角形，
又∵E为AC的中点，∴，，，平面，
∴平面， 又∵平面ABC， ∴平面平面ABC.
（2）过作于点，∵平面平面ABC，平面，
∴平面ABC.
∴.
过M作于点，连接，
∵平面ABC，∴，∵平面，
∴平面，
∵平面，∴. ∴即为二面角的平面角，
，∴，，
∴，∴.
故二面角的余弦值为.
随堂练习：答案：（1）证明过程见解析 （2）
解：（1）因为平面，AB平面ABCD， 所以PA⊥AB，
因为， 所以⊥AD， 因为PAAD=A，平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，
因为CF平面CFG， 所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）平面，AD，AC平面ABCD， 所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因为，，
由勾股定理得：，则∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，
故，，，
过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，
在△BCP中，由余弦定理得：，
则，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因为，所以DE⊥PC，
所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：，
故平面与平面所成二面角的大小为.
典例2、答案：（1）证明见解析 （2） （3）存在，
解：（1）选择①：证明：平面，平面，，，
因为，，
，，，
，平面，平面，
平面，， ，，
四边形是直角梯形．
选择②：证明：平面，平面，，，
，，，
，，
，平面，平面，
平面，， ，四边形是直角梯形．
（2）过作的垂线交于点， 平面，，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，2，，，0，，，，，
为的中点，，，， ，，，
，2，，，2，，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，1，，
设直线与平面所成角为，
则，．
直线与平面所成角的正弦值为．
（3）设，则，，，，，
，，， 平面，，
，解得． 故存在点F，且．
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）
解:（1）连接，交于，连接，
底面是菱形，为中点， 为中点，，
平面，平面，平面；
（2）选①：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴
建立如图空间直角坐标系，
底面是菱形，，，，
则，
设平面的法向量为， 则，
取可得，
设与平面所成的角为， 则，
所以与平面所成的角为；
选②：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴
建立如图空间直角坐标系，
取中点，连接，
底面是菱形，，，平面，为的中点，
，平面，，，
，
则，
设平面的法向量为， 则，
取可得，
设与平面所成的角为，
则， 所以与平面所成的角为；
典例3、答案：（1）G为中点时，平面平面； （2）
解：（1）G为中点时，平面平面，
理由如下：连接，取的中点，连接，
因为E，F分别是的中点，则，
平面，平面，则平面，
同理可得，平面，平面，则平面，
又，平面，则平面平面；
（2）由F是的中点得，
又，平面，平面，则平面，
又点M是线段上的一个动点，
则，
则，则.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，，则为的中点，
因为为的中点，则，
平面，平面，故平面.
（2）因为平面，与平面所成的角为，
因为是边长为的等边三角形，则，
平面，平面，，则，
所以，，
平面，，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为为的中点，则，
则.
典例4、答案：（1）证明见解析；（2）.
解:（1）取中点，连接，，，所以，
由余弦定理得：，得，
，又，且，则平面，
故，又，所以平面，
则，由等边三角形得，且，
则平面，故， 又，因此.
（2）连接，过点作平面于点，连接，，
由平面得平面平面，
则点在平面内的射影位于直线上，
由等边三角形得点在平面内的射影位于的中垂线上，
因此，由几何关系可确定点在平面内的射影位于的重心，
又由（1）知平面，平面，则，，，，五点共面，
如图，以点为原点，以射线，为，轴的正半轴，
建立空间直角坐标系Gxyz，
不妨设，则，，，
在和中，由余弦定理得，，
则， 解得，
因此，，，
设平面的法向量， 由得，
取，
设直线与平面所成角为，则 ，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）
解:（1）取的中点，连结，则，
所以四边形为平行四边形，，
又，，
又平面，平面，
且，平面，平面
又平面，
（2）以为坐标原点，分别所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设，易得，
设平面的法向量为，，
则，令则．
又平面的法向量为，
由题知，解得，
即， 而是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为， 则．
故直线与平面所成的角的正弦值为．
典例5、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）过N作与ED交于点，过M作与CD交于点，连接．
由已知条件，可知矩形ABCD与矩形ADEF全等．
∵，，
∴ ∴
又，则四边形为平行四边形， 所以．
∵平面CDE，平面CDE， ∴平面CDE．
（2）由平面ABCD⊥平面ADEF，平面平面，
又平面ADEF，AF⊥AD， ∴AF⊥平面ABCD．
以A为原点，分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
过M点作MG⊥AD，垂足为G，连接NG，易知NG⊥AD，设
可得，， ∴，
可知当时，MN长最小值为． 此时，，
又，， ∴，，
设平面AMN的法向量为， 由可得，
令，可得
设平面MND的法向量为， 由可得，
令，可得 ∴，
∴ 则二面角A-MN-D的正弦值为．
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）证明：过D作，垂足为G，
∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF，
∴平面ABC，∵平面ABC，∴，
∵E是等腰直角三角形ADC斜边AC的中点，
∴，又，DE，平面DEF，
∴平面DEF，∵平面DEF，∴，
∵，∴， ∵平面ABD，平面ABD，∴平面ABD．
（2）由题意可知，在等腰直角三角形ADC中， ∵，∴，
由（1）可知，EF为直角三角形BAC的中位线，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴， ∴，．
以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面CDF的法向量，
则，，，，，
由得，令，则，
显然，平面ABC的法向量，．
二面角的余弦值．
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题七
知识点：证明线面平行,线面角的向量求法
典例1、如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.
（1）求证：；
（2）若，从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面 所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，，，
，点，分别为棱，的中点.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
典例2、如图，已知底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，D为AB中点，E为CC1的中点.
（1）证明:平面CDC1⊥平面C1AB；（2）求二面角A-BC1-E的余弦值.
随堂练习：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且，E是MN的中点.
（1）求证：平面AEC⊥平面AMN； （2）求二面角M-AC-N的余弦值.
典例3、如图所示，在直三棱柱中，
（1）当P为的中点时，求证：平面；
（2）当时，求三棱锥的体积.
随堂练习：如图，在三棱柱中，侧棱平面，，，，，点是的中点．
（1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积．
典例4、在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为的中点，点P在平面内的投影F恰好在直线上．
（1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值．
随堂练习：如图，在中，，，为的中点，，.现将 沿翻折至，得四棱锥.
（1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正切值
典例5、四棱雉 中， 平面， 底面 是 等腰梯形，
且， 点 在棱 上.
（1）当 是棱 的中点时， 求证: 平面;
（2）当直线 与平面 所成角 最大时， 求二面角 的大小.
随堂练习：在如图所示的圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，、、 都是圆柱的母线．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题七答案
典例1、答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）在三棱柱中，，又面，面，
所以平面，又面面，面，
所以.
选①②：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，所以，
又面面，面面， 平面，
所以平面，平面， 故，又，所以.
（2）以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，
令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选②③：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，故，且，又，.
所以，则.
又，面，所以面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，
令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选①③：取中点，连接，.
在中，因为，所以，且，.
又面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，又，， 所以，则.
由，面，则面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，
令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为平面，，，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
则平面的一个法向量为，
所以，则，又平面 平面；
（2）由（1）得，所以，
设直线与平面所成角为． ．
直线与平面所成角的正弦值为．
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）∵△ABC为等边三角形，D是AB的中点， ∴AB⊥CD.
∵CC1⊥平面ABC，AB 平面ABC， ∴CC1⊥AB.
∵CC1 平面CDC1，CD 平面CDC1，CC1∩CD=C， ∴AB⊥平面CDC1.
∵AB 平面C1AB， ∴平面CDC1⊥平面C1AB；
（2）解法一：取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，作OH⊥BC1于点H，连接AH.
∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，，
∴AO⊥平面BCC1B1，
又平面，，,平面，
平面，
所以平面，又平面， ∴AH⊥BC1，AO⊥OH，
∴∠AHO为二面角A-BC1-E的平面角.
设AB=2a，那么AO=a，BO=a. ∵AA1=AB， ∴∠C1BC=45°， ∴OH=BO=a.
在Rt△AOH中，tan∠AHO=， ∴cos∠AHO=，
故二面角A-BC1-E的余弦值为；
解法二：取BC的中点O，连接AO， 则AO⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC， ∴AO⊥平面BCC1B1.
以O为原点，OA所在直线为x轴、OB所在直线为y轴
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
易知平面BC1E的一个法向量为.
设AB=2a，则. ∵AA1=AB，
∴C1. ∴.
设平面ABC1的法向量为. 则，即，
取y=，则x=1，z=， ∴为平面ABC1的一个法向量，
∴， 易知二面角A-BC1-E为锐二面角，
∴二面角A-BC1-E的余弦值为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD， 所以∥，
又因为，四边形ABCD是边长为1的正方形，
所以四边形为矩形，
所以，
又因为E是MN的中点， 所以⊥，⊥，
又因为， 所以⊥平面, 又因为平面AMN
所以平面AEC⊥平面AMN；
（2）连接BD交AC与点O，连接MO，NO，则O为AC中点，
因为都是边长为的等边三角形， 所以,
所以为二面角M-AC-N的平面角， 在中，，
所以.
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）连接交于点，连接，因为为棱柱，
所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，所以，
因为平面，平面 所以∥平面..
（2）因为为直棱柱，所以平面，平面，
所以，
又，交于C点， 平面，
所以平面，同理平面，
又平面，所以，
因为，， 平面，
所以平面，平面，所以
在直棱柱中.，则，
所以，则. 所以，
所以
又，平面，
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）4.
解：（1）证明：设与的交点为，连接，
∵是的中点，是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面．
（2）取的中点，连接，，
直三棱柱中，平面，而平面， 故，
∵为的中点，∴且．
又∵，，， ∴平面，
∴平面．
∵， ∴．
典例4、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）因为，，E为的中点，所以，
所以四边形为长方形，，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以平面， 平面，所以．
（2）连接，由（1）平面，平面，所以，
因为，所以，
所以，即，，，
所以，即，
过做交于，分别以所在的直线为轴的正方向
建立空间直角坐标系，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则， 所以，
设直线PB与平面PAD所成角的为，所以
，
所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为．
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）7
解:（1）设为的中点，为的中点，，则，
故，则， 又，则，
所以是的角平分线，且三点共线.
由，且,得面，则；
（2）法一：连结. 由平面得，平面平面，交线为，
所以在面上的射影点在上， 为直线与平面所成角.
在中，，由余弦定理得，
，故，，
又，在得，由余弦定理得，则，
所以，
由（1）得为角平分线，
在中，，由余弦定理得，则，
所以，所以直线与平面所成角的正切值为7.
法二：如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系.
，
设，由， 得，
得.,
平面法向量为，设直线与平面所成角为，所以
，,则，
所以直线与平面所成角的正切值为7.
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）取中点， 的中点为， ，且，
∴四边形是平行四边形， ，平面，
平面；
（2）等腰梯形中，，
作于，则中，
由余弦定理得，，，即，
底面，则两两垂直
如图，以为原点，为轴、轴、轴为正方向建立空间直角坐标系，
则， ，
设平面法向量，则
∴平面的一个法向量，
设，则，
，
，∴当时，取得最大值， ，
设平面法向量，则
∴平面的一个法向量，
设平面法向量，则，
∴平面的一个法向量，
， ∴二面角的大小为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：连接、， 在圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，
则，且，
故、、均为等边三角形，
所以，在底面中，，则，
平面，平面，所以，平面，
因为、、都是圆柱的母线，则，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因为平面，因此，平面.
（2）连接，因为是边长为的等边三角形，则，
因为，由余弦定理可得，
，，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，所以，，
由图可知，二面角为锐角，因此，二面角的余弦值为.
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题八
知识点一 证明线面垂直,求线面角,面面垂直证线面垂直,线面角的向量求法
典例1、如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点．
（1）若平面，求；
（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
随堂练习：如图，在三棱柱中，底面，D为的中点，点P为棱上的动点（不包括端点），，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
典例2、如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形．
（1）证明：平面；
（2）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
随堂练习：如图所示，在三棱锥中，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求三棱锥的体积.
典例3、如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：平面平面；
（2）试确定点的位置，使平面与平面所成的锐二面角为．
随堂练习：如图，在直三棱柱中，，，.
（1）证明：平面平面； （2）求二面角的大小.
知识点二 求点面距离,线面角的向量求法,点到平面距离的向量求法
典例4、如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知 ，动点 在棱 上，点 在棱 上，且 .
（1）求证： ;
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值;
（3）在满足（2）的条件下，求点到平面的距离.
随堂练习：如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，
点为棱的中点．
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
典例5、如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，．
（1）求证：；
（2）已知点E在棱上，且，设，若二面角的余弦值为，求．
随堂练习：如图，在三棱锥中， 二面角是直二面角， ， 且， 为上一点， 且平面．分别为棱上的动点， 且．
（1）证明： ；
（2）若平面与平面所成角的余弦值为， 求的值．
典例6、如图1，已知△ABC是边长为4的正三角形，D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到达如图2所示的点P的位置，M为DP边的中点．
（1）证明：平面MEF．
（2）若平面平面BCED，求平面MEF与平面PDE所成锐二面角的余弦值．
随堂练习：如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
（1）求证：平面ABE；
（2）当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题八答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）如图，取AC的中点O，连接OD，，因为，，
所以为等边三角形，所以.
又因为，点O，D分别为线段AC，BC的中点，
所以，所以，
因为，，平面，所以平面，
∵平面，则，
又因为，平面ABC，所以平面ABC，
又因为平面，所以平面平面ABC.
（2）如图，过B作于点G，由（1）得平面平面ABC，
且平面平面，平面，所以平面，
在直角ABC中，，，，所以，
由，
又因为点D为线段BC的中点，所以点D到平面的距离h为点B到平面的距离BG的一半，即.
因为点E，F分别为线段，的中点，所以，
又因为，所以的面积为，，
所以三棱锥的体积为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）因为侧面是矩形，则，又因为，，，
即有，则，又，平面，
因此平面，而平面， 所以平面平面．
（2）由（1）知，平面，而平面，则，
因为，于是得，而是边长为2的菱形，
因此是正三角形，，
所以三棱柱的体积.
典例2、答案：（1）证明见解析；（2）.
解:（1）因为四边形为菱形，所以．
因为平面，平面，所以．
又因为，平面，平面， 所以平面．
（2）以B为坐标原点，分别以，BC所在的直线为x轴和z轴，
以过B点垂直平面的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图所示．
设，则，，， ．
所以，．
设平面的法向量为，则
即令，得．
由条件知为平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，易知为锐角．
则，解得．
所以．
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）在三棱锥中，，O为的中点.
，且，连接，
，得，
则，又，得，
，平面ABC.
（2）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴
建立空间直角坐标系
由已知得，
，取平面的一个法向量
设，则
设平面的法向量为，
取，得，
二面角为，
解得：（舍去）或，则，
所以，
典例3、答案：（1）见解析； （2）为的中点.
解：（1）因为底面，底面，故，
而，平面，，
故平面，而平面，故，
，为的中点，故，
平面，，故平面，
因平面，故平面平面.
（2）因为底面，，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则， ，，
设平面的法向量为，
则即，取，则即.
设平面的法向量为，
则即，取，则即.
因为平面与平面所成的锐二面角为，
故，解得即为的中点.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）.
解：（1）连接，由三棱柱为直三棱柱可得平面，
平面，所以，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以四边形是正方形，所以，
又因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为，，，根据勾股定理可知：，
从而有：，，两两垂直，以为原点，
分别以，，所在直线为轴，
轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设平面的法向量为，因为，，
则，， 令，则，
设平面的法向量为，因为，，
则，，令，则，
设二面角的平面角为， 根据几何体特征可知为锐角，
所以， 所以二面角的大小为.
典例4、答案：（1）证明见解析； （2）； （3）点到平面的距离为.
解：（1）因为四边形是矩形，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
（2）因为平面平面 ，平面平面，
平面，， 所以平面，又，
所以两两相互垂直，
以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，,
设，则，
所以，，
设平面的法向量为，， 则，，
取，可得，
设直线 与平面的夹角为，
则，
所以， 化简可得，又，
所以，所以；
（3）由(2) 平面的法向量为，，又，
设点到平面的距离为， 则.
所以点到平面的距离为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） （3）1
解：（1）连接BD，交AC于点O， 又P，O分别为DF和DB的中点， 所以BF//PO，
因为PO 平面APC，BF 平面APC， 所以BF//平面APC；
（2）直线AF⊥平面，AB 平面ABCD， 所以AF⊥AB，
由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB， 所以以A为原点，
AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系， ，
所以，，，
设平面BCF的法向量，则 ，
令，则
设直线DE与平面BCF所成角的正弦值θ，
所以 ，
所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（3）由（2），
设平面APC的法向量为，则，
令，则
所以平面APC的法向量，
则点E到平面APC的距离，
所以E到平面APC的距离1．
典例5、答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）证明：因为是正三角形，所以
因为，公共边，所以，所以，
因为是直角三角形，所以，
取的中点O，连接，，则，，
因为是正三角形，所以，
因为，所以平面，
又因为平面，所以．
（2）在直角中，，
因为，所以，所以，
以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
可得平面的法向量为
设，由，可得，
可得
设面的法向量为，则，
取，可得，所以，
则，
又因为，解得．
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：平面平面，平面平面，，
且平面，
平面， 又平面， ，
又平面，平面， ，
且，平面，
平面， 又平面， ．
（2）如图，
以点为原点，分别以，，
过点且与平面垂直的直线为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，
设，则， ，，，，
则，，，
由，可得，
，
，，
因为平面与平面所成角的余弦值为，所以，
设为平面的法向量，则，
即，令，则，，
所以，
取平面的法向量， 则，
令，则，化简得，即（负值舍去），
所以．
典例6、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：连接DF，DC，设DC与EF交于点，连接MQ．
因为D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，所以且，
则四边形DFCE为平行四边形，所以为DC的中点，
因为为DP的中点，所以，
又因为平面，平面MEF，所以平面MEF
（2）取DE的中点，连接OP，OF，则，
因为平面平面BCED，平面平面，
所以平面BCED，PO，OD，OF两两垂直．
如图所示，以为原点，以的方向为轴的正方向
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，．
设平面MEF的法向量为，则，
即令，得．
易知为平面PDE的一个法向量，由，
得平面MEF与平面PDE所成锐二面角的余弦值为．
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF，
因为M，F分别为ED和EC的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）如图所示，过E作交AB于O，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高，
要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧的中点，所以O与AB的中点，
取CD的中点G，连接OG，因为，，所以，
因为平面ABCD，所以，，所以EO，AB，OG两两垂直，
以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴
建立空间直角坐标系，
设，所以，
可得，，，则，，
设平面的一个法向量，则，可得，
令，则平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，则，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二成角的余弦值为．
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题九
知识点一 证明面面垂直,面面角的向量求法
典例1、如图1，在梯形ABCD中，，，，现将沿AC翻折成直二面角，如图2．
（1）证明：平面平面PAC；
（2）若异面直线PC与AB所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．
随堂练习：如图，图1是由正方形，直角梯形组成的一个平面图形，其中，将正方形沿折起，使得.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
典例2、在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，为棱上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的平面角的正切值为，求的长；
（3）在（2）的条件下，若为线段上一点，求与面所成角为，求的最大值．
随堂练习：如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.
典例3、如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，G为的重心，M为线段的中点，与交于点F．
（1）当时，证明：平面；
（2）当平面与平面所成锐二面角为时，求三棱锥的体积．
随堂练习：如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，且二面角的大小为30°，求四棱锥的体积．
知识点二 证明线面平行,面面角的向量求法
典例4、如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，沿DE把 折起，得到如图2所示的四棱锥.
（1）证明：平面.
（2）若二面角的大小为60°，求平面与平面的夹角的大小.
随堂练习：已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
（1）若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线平面EMC；
（2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．
典例5、已知是锐角三角形，分别以为直径作三个球.这三个球交于一点.
（1）若，求到平面的距离；
（2）记直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为，证明：为定值.
随堂练习：如图所示，在三棱柱中，，，，平面平面，点是线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）若点在线段上，且平面，求点到平面的距离.
典例6、三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，点在线段上.
（1）求证：；
（2）若点在上，满足，点满足，求实数使得二面角 的余弦值为.
随堂练习：如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.
（1）求证：平面ABCD；
（2）设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题九答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：取AB的中点E，连接CE， 因为AB＝4，CD＝2， 则AE＝DC，AE∥DC，
故四边形ADCE为平行四边形， 所以CE＝AD＝2 则CE＝AE＝EB，
故∠ACB＝90°，即CB⊥CA，
又平面PAC⊥平面ACB，且平面PAC∩平面ACB＝AC，CB 平面ACB，
故CB⊥平面PAC， 又CB 平面， 故平面平面PAC；
（2）取AC的中点O，连接OE，则OE∥CB， 所以OE⊥AC，且OP⊥AC，
则OC，OE，OP两两互相垂直， 故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设|OC|＝a（a＞0）， 则，，，
故， 所以
因为异面直线PC与AB所成角的余弦值为 所以，解得，
故 ，
设面的法向量为， 则，
令，可得
设面的法向量为，
，令，可得
又由图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）如图：连，
在直角三角形中，，
在三角形中，，，，满足，
所以，
又，， 所以平面，
因为平面，所以，
又，， 所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为，所以平面.
因为平面， 所以平面平面.
（2）由（1）知，两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，， ，
，，，，
设平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
由，得， 取，得，得，
由，得， 取，得，得，
典例2、答案：（1）见解析； （2）
解：（1）因为在平面中，，故，
因为，故，而，
，平面，故平面.
因为平面，故， 因为，，故，
因为，平面，故平面.
因为分别为棱的中点，故，
而，故，
故四点共面，而平面， 故平面平面.
（2）取的中点为，连接， 由（1）可得，，
故，而平面，
故平面，故为直线与平面所成的角， 故，
因为平面，平面，故，
故为等腰直角三角形，而，故，故，
故直角梯形的面积.
又平面，故平面平面，
而为等边三角形，故，且.
因为平面，平面平面， 故平面，
故四棱锥的体积为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析. （2）.
解：（1）由题意底面， ,， 则底面为直角梯形，
连接 ，则,故四边形为矩形，
则 ， 所以四边形为正方形，所以 ，
因为侧面为等边三角形，O是 的中点，
所以 ，平面，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以， 因为平面 ，
所以平面， 因为平面 ，所以平面平面.
（2）因为底面中， ,，
侧面 为等边三角形，O是的中点，
所以,,, ，
因为平面，平面， 所以 ，
所以 ，
因为 ， 所以,所以 ,
设点到平面的距离分别为，
因为 ，所以 ,
即，故，
因为三棱锥的体积为，
所以 所以 ，解得，
所以，即 因为，所以 .
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）延长交于N，连接，
因为G为的重心， 所以点N为的中点，且，
因为，故，所以， 故，故，
因为平面，所以， 因为底面为矩形，所以，
又因为，所以平面，故，
因为，所以， 又因为，
所以平面，所以平面.
（2）以C为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设点G到平面的距离为，
则，
故，
设平面的法向量为，则,即，
取，则，即，
设平面的法向量为，则,即，
取，则，则，所以，
解得， 又，
故点G到平面的距离为，
因为，所以， 所以.
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）．
解：（1）因为侧面底面， 侧面底面，
又底面为矩形， 所以，平面，
平面，平面， 所以，
又侧面是正三角形，M是的中点，
所以，，，平面， 所以平面．
（2）取中点O，过点O作的平行线连接， 由（1）同理知平面，
以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
记平面的法向量，则，，
从而，则可得，
因为平面， 则平面的法向量跟共线，可取，
因为二面角的大小为30°，
， 解得，
所以四棱锥的体积为．
典例4、答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）在中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以，
则在图2中，，而平面，平面，
所以平面.
（2）依题意，是正三角形，四边形是菱形，
取DE的中点M，连接，FM，如图，
则，，即是二面角的平面角，，
取中点N，连接，则有，在中，
由余弦定理得：，
于是有，，即，
而，，，
平面，则平面，
又平面，从而有平面平面，
因平面平面，平面，
因此，平面，过点N作，则两两垂直，
以点N为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴
建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
令，得，
设平面的法向量，则，
令，得，
显然有，即，
所以平面与平面的夹角为.
随堂练习：答案： （1）点O在EA的延长线上，且，证明见解析；（2）存在，.
解：（1）依题意，四边形是矩形，点M为AB的中点，如图1，延长FM与EA的延长线交于点O，
又平面ADE，即有平面ADE，因，且，
因此点A为线段EO中点，即AO=2，M为线段FO的中点，
连接DF交CE于N，连接MN，矩形CDEF中，N是线段DF中点，
于是得，而平面，平面， 所以平面.
（2）依题意，，，，平面，平面，
则平面，且为二面角的平面角，即.
连接，而，
即有为正三角形，取的中点H，连接DH，则，
由平面，平面，得平面平面，
又平面，平面平面，于是得平面，
取BF中点G，连接HG，由矩形得，即有两两垂直，
以点H为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图2，
则点，，.
假设存在点M满足条件，因点M在线段AB上，设，，
，，.
设平面的一个法向量，则，
令，得，
因直线DE与平面EMC所成的角为60°，
则，解得或，
即存在点满足直线DE与平面EMC所成的角为60°，
点为线段AB的靠近点A或B的四等分点.
设平面的一个法向量，则，
令，得，
则.
令平面MEC与平面ECF的夹角为，
则，
显然或时，. 由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
典例5、答案：（1）； （2）证明见解析.
解：（1）依题意得，故可以为轴，为轴，
为轴建立空间直角坐标系.
而，故，故，
则，
设平面的法向量为 则，
故，
设到平面的距离为d，则.
（2）按（1）方式建系，设，
则，故，
设平面的法向量为，
同（1）可得：，
，，
故
故为定值.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）取线段的中点，连结，
因为平面平面，，
所以平面，所以平面，
因为，，所以是正三角形，
又点是线段的中点，所以.可以建立以为原点，
分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，
，，，
证明：，，设为平面的法向量，
则，即， 不妨令，可得，
又，故， 因此平面.
（2）依意，，由（I）知为平面的法向量.
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）依题意，设，，
所以，因此
，
设为平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得，
，因为平面，所以，解得，
所以，
设点到平面的距离为，，
则， 所以点到平面的距离为.
典例6、答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）证明：因为，，则且，
，平面，
所以为直线与平面所成的线面角，即，
，故，，
，平面， 平面，因此，.
（2）设，由（1）可知且，，
因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，则，
由已知可得，解得.
当点为线段的中点时，二面角的平面角为锐角，合乎题意.
综上所述，.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取CD的中点E，连接BE，
四边形ABCD为直角梯形，，
且E为CD的中点，且，所以，四边形ABED为矩形，
， ，
，
，
，平面，平面，平面PAD，
平面PAD，，
，平面，平面，平面ABCD；
（2）由（1）可知，PA AB AD两两垂直，以点A为坐标原点，分别以AB AD AP所在直线为x y z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则， 所以，，
设平面PBD的法向量为， 由，得，
令，得.
，
设平面PAM的法向量为，
由，得，
令，则， ，
由于平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为，
则，整理可得，
，解得.
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十
知识点一 证明线面垂直,面面角的向量求法
典例1、如图，在四棱锥中，底面是矩形且，M为的中点，，．
（1）证明：平面；
（2）若，与平面所成的角为45°，求二面角的正弦值．
随堂练习：如图，四边形是正方形，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
典例2、边长为1的正方形中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥.
（1）证明：平面平面； （2）求四棱锥的体积.
随堂练习：如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．
（1）证明：平面PCD⊥平面PBC； （2）若，求三棱锥的体积．
典例3、如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．
（1）求二面角的大小；
（2）在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置并证明，若不存在请说明理由．
随堂练习：如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，，，为棱上的一点．
（1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值．
知识点二 面面垂直证线面垂直,线面角的向量求法
典例4、如图，在四棱锥 中， 已知底面， 底面是正方形，.
（1）求证： 直线 平面； （2）求直线 与平面所成的角的正弦值.
随堂练习：如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
典例5、如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.
（1）证明：；
（2）若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.
随堂练习：边长为1的正方形中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥.
（1）证明：平面平面； （2）求四棱锥的体积.
典例6、已知矩形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，且.
（1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值.
随堂练习：如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AC = CD = 2，，，PC = 3.
（1）证:AD⊥PC
（2）求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值.
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十答案
典例1、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）因为在和Rt中，
，， 所以，
因为，， 所以，
因为，，平面， 所以平面，
因为平面， 所以，
因为，，平面， 所以平面．
（2）因为， 所以，
因为平面，平面， 所以，
因为，，平面， 所以平面，
所以为与平面所成的角， 则， 所以，
由勾股定理知：，
可如图建立空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，，
由（1）知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则有，
即，
取，得， 所以，
设二面角的大小为， 则．
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）四边形是正方形，有，
而平面，平面，则，
又，平面， 所以平面.
（2）由（1）知，两两垂直，以为原点分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
即有，，，
由（1）知是平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面与平面夹角为，
则有
所以平面与平面夹角的余弦值为.
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）F为PC的中点
解：（1）连接AC，∵底面ABCD为菱形，， ∴△ABC为正三角形，
∵E是BC的中点，∴， 又， ∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
∵，PA、平面PAD， ∴平面PAD，
（2）由（1）知，AE、AD、AP两两垂直，以AE、AD、AP所在直线分别x，y，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
∴，，．
设，．
设平面PCD的法向量为， 则
令，则，， ∴．
设直线AF与平面PCD所成的角为，
则
当时，最大，此时F为PC的中点．
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）最大值为.
解:（1）证明：连接，则，
因为平面，平面，所以；
又因为，所以平面；
因为平面，所以；
同理；因为，所以平面；
因为平面，过直线作平面与平面相交于直线，则；
所以平面；又平面， 所以平面平面；
（2）设正方体的棱长为，以为坐标原点，
，，分别为，，轴正方向
建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，.
设平面的法向量为， 则，即，
取，则；
设，则，因为，
所以；
设直线与平面所成的角为，
则，
所以当时，取到最大值为，此时的最大值为.
典例3、答案： （1） （2）存在；设是的中点，为线段的中点；证明见解析.
解：（1）如图，设分别是和的中点，连接，，,
则, ∵，是的中点, ∴;
又在正方形中有, ∴为二面角的平面角,
∵，，是的中点, ∴,
同理可得，又, ∴是等边三角形，故,
∴二面角为.
（2）存在点，使平面平面，此时为线段的中点．
证明如下 :设，，分别为，和的中点，连接，，，,
由（1）知是等边三角形，故,
为的中点，故，
又∵，平面,
∴平面,平面 ，故,又,
平面,∴平面,
∵，分别为和的中点 ∴ ,
又为线段的中点,∴，故四边形为平行四边形,
∴,∴平面,又平面,
∴平面平面.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取中点，联结，则 ，
因为平面平面且平面 平面，
所以平面，而 平面，所以，
因为，所以 ，
因为 平面且 平面， 所以 平面，
又因为 平面，所以平面平面；
（2）取PD的中点F，则 ，由（1）的结论知： 平面，
平面PAD，
， 平面PBD， 平面PBD， ，
平面 PBD，即平面 PAB在平面PBD上的投影是PBF，
在 中， ， ，
在 中， ， ， ，
设二面角的平面角为，由面积射影法， ，
即二面角的余弦值为；
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）因为 平面， 且平面，所以 .
在正方形 中，. 而,
平面， 故 平面.
（2）以为坐标原点，分别以为轴，
建立如图所示空间直角坐标系.
设 ，则，
从而.
设平面 的法向量为， ，令 ， 则.
设直线 与平面所成的角为，则，
故直线 与平面的所成角的正弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）在直三棱柱中，平面，
因为平面， 所以 ．因为 ，
，平面,
所以 平面，因为平面，
所以 ．又因为 ，
平面， 所以平面.
（2）由（1）知知 两两垂直，
则以点A为原点，的方向分别为轴的正方向
建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ,, ，
因为 ，∴ ，故,
由（1）知平面 故平面的一个法向量为 ，,
设直线与平面所成角为，
则.
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）连接，
平面平面，
同理，，，
.
又平面,平面.
平面.
取的中点，连接为的中点， ，.
， ，
为的中点， .
又平面，平面.
平面.
（2）.
，且四边形为矩形，即，
又由（1），平面，， 平面.
∴.
连接，中，中.
为中点，点到平面的距离中，
.
由（1）知面， 在中，，
中， ∴，
.
设点到平面的距离为，则即，
解得.所以点到平面的距离为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在正方形中有，，，
，又因为，所以平面，而平面，
所以平面平面.
（2）连接MN,由题意可得，，
，由，所以为直角三角形，
即，
，
设点到平面的距离为，由得，
，即，得，
即四棱锥的体积为
典例6、答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）如图，在上取一点H，使得 ，连接,
因为 ，
所以,平面,平面,
故平面，
因为 , ，再由条件知，所以是平行四边形，
所以 ，平面,平面,故平面，
又平面 ， 所以平面平面.
由条件可知 ，
又因为平面平面 ，交线为 ，平面,
所以平面，所以平面，平面, 所以.
（2）由（1）知平面，而，故平面，
故分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， 则 ,
设平面的法向量为 ，
则 ， 令 ，得 ，
平面的一个法向量为 ，
设平面与平面 的夹角为 ，
则 .
随堂练习：答案： （1）证明详见解析 （2）
解：（1）设是的中点，连接.
由于，所以，
由于平面平面且交线为，
平面，所以平面，
由于平面，所以，则， 所以，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以.
（2）在三角形中，延长，过作，交的延长线于，
由于，所以，
，所以，
，则，
所以.
平面平面且交线为，，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则平面的法向量可设为， ，
，
设平面的法向量为， 则，故可设，
设平面和平面的夹角为，
则，所以.
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十一
知识点一 锥体体积的有关计算,证明面面垂直
典例1、如图，在三棱柱中，，，，点D，E，F分别为线段BC，，的中点，且.
（1）证明：平面平面ABC； （2）若，求三棱锥的体积.
随堂练习：如图，三棱柱中，侧面为矩形，是边长为2的菱形，，．
（1）证明：平面平面； （2）若，求三棱柱的体积．
典例2、已知四棱锥 中，底面 ，平面平面 ，，.
（1）求证：平面 ；
（2）若 ，求二面角的余弦值.
随堂练习：如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形且垂直于底面，分别为的中点．
（1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值．
典例3、如图，已知底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，D为AB中点，E为CC1的中点.
（1）证明:平面CDC1⊥平面C1AB；（2）求二面角A-BC1-E的余弦值.
随堂练习：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且，E是MN的中点.
（1）求证：平面AEC⊥平面AMN； （2）求二面角M-AC-N的余弦值.
知识点二 证明线面垂直,求点面距离,证明面面垂直
典例4、如图,在四棱锥中,已知棱两两垂直且长度分别1,1,2,,．
（1）若中点为,证明:平面; （2）求点到平面的距离．
随堂练习：在边长为2的正方形外作等边（如图1），将沿折起到的位置，使得（如图2）.
（1）求证：平面平面；
（2）若F，M分别为线段的中点，求点P到平面的距离.
典例5、如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，点在线段上，且.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面所成角的正弦值.
随堂练习：已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，，F为棱PC上的点，过AF的平面分别交PB，PD于点E，G，且BD∥平面AEFG．
（1）证明：EG⊥平面PAC．
（2）若F为PC的中点，，求直线PB与平面AEFG所成角的正弦值．
典例6、如图1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图
（1）证明： （2）求二面角余弦值.
随堂练习：如图，在直三棱柱，，．
（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十一答案
典例1、答案：（1） （2）当时，直线与平面所成角的正弦值最大.
解：（1），所以，解得，
由于三角形是等边三角形，圆是其外接圆，是圆的直径，
所以垂直平分，，
在三角形中，由正弦定理得，则，
由于平面，所以， 由于，
所以三角形是等腰直角三角形，
所以, 所以.
（2）由（1）得，设，，
结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，，
设， 则，
设平面的法向量为， 则，
故可设，
设直线与平面所成角为，
则，
由于，
当且仅当时等号成立，所以，
即当时，直线与平面所成角的正弦值最大.
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）.
解:（1）因为，，所以.
因为底面，平面，所以.
又因为，所以.
因为，，，，平面，
所以平面.
（2）如图，取的中点E，连接. 由，可得平面，
又由，可得，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
由，，可得， 所以，，
，，.
设点P的坐标为，平面的法向量为.
由，，有，
取，则，，可得平面的法向量.
又由，设直线与平面所成的角为.
由，，， 有.
令，， 有
， 故当时，，的最大值为，
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明；因为平面平面，平面平面，
在平面内作，则 平面，平面，
所以.
因为PA⊥底面ABCD，平面，所以,
平面，则平面，
因为,∴平面.
（2）由（1）可知平面,平面,所以，
以A为原点分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为， 则，
所以
设平面的法向量为，则 ,即 ,
令，则取.
设平面 的法向量为，则,即,
令,则取.
所以，
由图可知所求二面角为钝角，故二面角的余弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）如图，取中点，连接，
则, 因为平面平面，且平面平面，平面
所以平面,
因为平面，所以 , 又因为F为CD的中点，所以，
又，平面PGB， 所以平面，平面，
所以， ，为的中点，
所以，又，平面，
平面， 所以平面.
（2）不妨设正方形的边长为2，以点为坐标原点，为轴，
垂直于的直线为轴，为轴建立空间坐标系，
则,
，
设平面与平面的法向量分别为，夹角为，
则
不妨设,所以，
， 所以.
典例3、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）∵△ABC为等边三角形，D是AB的中点， ∴AB⊥CD.
∵CC1⊥平面ABC，AB 平面ABC， ∴CC1⊥AB.
∵CC1 平面CDC1，CD 平面CDC1，CC1∩CD=C， ∴AB⊥平面CDC1.
∵AB 平面C1AB， ∴平面CDC1⊥平面C1AB；
（2）解法一：取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，作OH⊥BC1于点H，连接AH.
∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，
，∴AO⊥平面BCC1B1，
又平面，，,
平面，平面，
所以平面，又平面， ∴AH⊥BC1，AO⊥OH，
∴∠AHO为二面角A-BC1-E的平面角.
设AB=2a，那么AO=a，BO=a. ∵AA1=AB， ∴∠C1BC=45°， ∴OH=BO=a.
在Rt△AOH中，tan∠AHO=，
∴cos∠AHO=， 故二面角A-BC1-E的余弦值为；
解法二：取BC的中点O，连接AO， 则AO⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC， ∴AO⊥平面BCC1B1.
以O为原点，OA所在直线为x轴、OB所在直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
易知平面BC1E的一个法向量为.
设AB=2a，则. ∵AA1=AB，
∴C1. ∴.
设平面ABC1的法向量为. 则，即，
取y=，则x=1，z=， ∴为平面ABC1的一个法向量，
∴， 易知二面角A-BC1-E为锐二面角，
∴二面角A-BC1-E的余弦值为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD， 所以∥，
又因为，四边形ABCD是边长为1的正方形，
所以四边形为矩形，
所以，
又因为E是MN的中点， 所以⊥，⊥，
又因为， 所以⊥平面,
又因为平面AMN 所以平面AEC⊥平面AMN；
（2）连接BD交AC与点O，连接MO，NO，则O为AC中点，
因为都是边长为的等边三角形， 所以,
所以为二面角M-AC-N的平面角， 在中，，
所以.
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明:取中点为,连接,如图所示:
分别为中点, ,且,
,, ,
故四边形为平行四边形, 故,
不含于平面,平面, 故平面;
（2）连接,两两垂直且长度分别为1,1,2,
且,, ,
将底面拿出考虑如下:
,,,
, , ,
记到平面的距离为, 则,
解得:, 故到平面的距离为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）由于，所以，
由于四边形是正方形，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面， 所以平面平面.
（2）连接，由于三角形是等边三角形，所以，
由于平面平面且交线为，平面，
所以平面.
由于是的中点，所以到平面的距离是，
且到平面的距离等于到平面的距离，设这个距离为.
由于平面，所以，
所以，，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，，
在三角形中，，
则为锐角，，
所以，
， 由得，
解得， 所以点P到平面的距离为.
典例5、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴,
过D作AP平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，得，
，，
所以，，即，，又，
所以平面；
（2）由可是，
由，可得，所以，
设为平面的法向量，
则不妨设，则，故，
设直线与平面所成角为，所以，
则直线与平面所成角的正弦值为；
（3）因为为平面的法向量，设二面角的大小为，
所以，所以.则二面角的正弦值为．
随堂练习：答案：（1）见解析 （2）
解：（1）连接相交于，连接,
因为底面ABCD为正方形，所以，又，为中点，
所以,,平面，所以平面,
又平面平面,平面 ,BD∥平面AEFG,
因此,所以 EG⊥平面PAC
（2）由，为的中点,故， 又，
且为的中点，所以，
平面 所以平面，
设正方形的边长为2，则，
所以，，，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，,,
，，，
所以，，，
记平面的法向量为，所以即，
令，解得，，所以，
记直线与平面所成的角是，
则．
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
典例6、答案：（1）证明见解析 （2）或
解：（1）在直角梯形ABCD中，连接AC交BE于F，
由题意知：且，四边形CEAB是平行四边形，
又 ，，四边形CEAB是菱形
故，即在折叠后端的图形中，
又 ，面
面，又平面，
（2）由 可得，又
设二面角的平面角为，则，或
过作于则面 ，则可过点作轴
如图建系：或，
设面的一个法向量为，则
则
或取
而面ABD的一个法向量为
或
由图可知二面角为锐角
则二面角余弦值为或.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）连接，如下图：
由直三棱柱的性质可知，，
因为，， 所以平面．
因为平面，所以，
因为，则四边形为正方形， 所以，
又因为，平面，平面， 所以平面，
因为平面， 所以．
（2）由（1）得平面，从而点到平面的距离为，
故，即.
以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴
建立如图空间直角坐标系:
则，，，，
设平面的法向量为，，
则，
令，则，即，
设平面的法向量为，，，
则，
令，则，，即，
设平面与平面夹角为， 则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十二
知识点一 证明面面垂直,求二面角
典例1、如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.
（1）求证：平面平面ABC；
（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
随堂练习：如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成二面角的大小．
典例2、如图，已知在四棱锥中，，，，，E，F分别为棱PB，PA的中点．
（1）求证：平面平面EFDC；
（2）若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥的体积．
随堂练习：如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）点在棱上，满足且三棱锥的体积为，求的值.
典例3、如图，已知等边中，E，F分别为AB，AC边的中点，N为BC边上一点，且，将沿EF折到的位置，使平面平面，M为EF中点.
（1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值.
随堂练习：如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
1、证明：平面；
2、若为上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求平面与平面夹角的余弦值.
知识点二 线面垂直证明线线垂直,面面垂直证线面垂直,面面角的向量求法
典例4、四棱锥，底面为矩形，侧面底面，．
（1）证明：；
（2）设与平面所成的角为，求二面角的大小．
随堂练习：如图，直三棱柱中，，E，F分别是AB，的中点．
（1）证明：EF⊥BC；
（2）若，直线EF与平面ABC所成的角为，求平面与平面FEC夹角的余弦值．
典例5、如图，在四棱锥中，底面ABCD，梯形ABCD中，，，E是PD的中点.
（1）求证：平面平面PBC； （2）若，求P到平面AEC的距离.
随堂练习：如图，D，O是圆柱底面的圆心，是底面圆的内接正三角形，为圆柱的一条母线，P为的中点，Q为的中点，
（1）若，证明：平面；
（2）设，圆柱的侧面积为，求点B到平面的距离.
典例6、如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且．
（1）若，求证：面；
（2）若平面与平面所成的锐二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
随堂练习：三棱柱中，，，侧面为矩形，，二面角的正切值为．
（1）求侧棱的长；
（2）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十二答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在菱形中，，∴和均为等边三角形，
又∵E为AC的中点，∴，，，平面，
∴平面， 又∵平面ABC， ∴平面平面ABC.
（2）过作于点，∵平面平面ABC，平面，
∴平面ABC.
∴.
过M作于点，连接，
∵平面ABC，∴，∵平面，
∴平面，
∵平面，∴. ∴即为二面角的平面角，
，∴，，
∴，∴.
故二面角的余弦值为.
随堂练习：答案：（1）证明过程见解析 （2）
解：（1）因为平面，AB平面ABCD， 所以PA⊥AB，
因为， 所以⊥AD，
因为PAAD=A，平面PAD， 所以AB⊥平面PAD，
因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，
因为CF平面CFG， 所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）平面，AD，AC平面ABCD， 所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因为，，
由勾股定理得：，则∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，
故，，，
过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，
在△BCP中，由余弦定理得：，
则，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因为，所以DE⊥PC，
所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：，
故平面与平面所成二面角的大小为.
典例2、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）因为平面，面，所以，，
因为，所以两两垂直，
如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
所以，，，
因为，，所以，，
即，，因为，所以平面
（2）由（1）知：平面，取平面的法向量，
因为，，
设平面的一个法向量为，
由，取，则，，所以，
设二面角的平面角为，且为锐角， 则，所以
所以，
整理可得：，解得：，所以的长为.
（3）由（2）知的长为，即，
因为为线段上一点，所以，设，
所以，
平面的一个法向量，
则 ，
当时，最小为，
所以最大值为， 综上所述：的最大值为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）.
解: （1）取，中点，，连接，，.
由，得，，
又， 所以平面.
由，知四边形是平行四边形，则，
平面，平面，所以平面，
同理平面，且，
所以平面平面， 所以平面.
（2）由， 知四边形是以的等腰梯形.
连接，则， 又平面，所以，
所以平面，又平面， 所以平面平面，
于是点在底面内的射影在上.
（在平面中，，点在以AC为直径的圆上运动）
取中点，则， 于是当底面时，
四棱锥的体积最大.
如图，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正半轴，
建立空间直角坐标系.
由题意得，，， ，.
所以，，.
设平面的法向量， 由，得，
取，则.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
典例3、答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）证明：因为为等边的边的中点，
所以是等边三角形，且，，
因为是的中点，所以，，
又由于平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，所以，且，
则四边形是平行四边形，则，
在正中，知，所以，
而，所以平面.
又因为平面， 所以平面平面.
（2）设等边的边长为4，取中点，连接，
由题设知，由（1）知平面，
又平面，所以，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的一个法向量为，
则由，得，令，则，
平面的一个法向量为，
所以，
显然，二面角的平面角为锐角，
二面角的平面角的余弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为，所以，
所以点在以为直径的圆上，所以.
又因为，，平面 所以平面.
（2）取中点，连接，因为，所以，
由（1）得平面，又因为面，
所以平面面，因为为两平面交线， 所以面，
以为原点，为轴，过且与垂直的直线为轴，为轴
建立直角坐标系，
设，则，，，，
由，得， 所以，
设平面的法向量为， 所以，即，
取，则，，所以，
又因为平面的法向量， 所以,
因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为.
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）取中点，连接，由，故，
而平面平面，平面平面，平面，
平面，而平面，，
而，故，故，
而平面，平面，，平面，
又平面，，
（2）如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，设，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，令得，
而与平面所成的角为，故，
解得，
而，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令得，
同理得平面的一个法向量为 则，
而二面角为钝角，故二面角大小为
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取BC中点H，分别连结EH，FH，因为F为的中点，所以，
因为三棱柱为直棱柱，所以平面ABC，所以FH⊥平面ABC，
由平面ABC，所以FH⊥BC，
又E为AB的中点，则，且，所以，
因为EH，平面EFH，，
所以BC⊥平面EFH，因为平面EFH，所以．
（2）由（1）知∠FEH为EF与平面ABC所成的角，所以，
由，得．
如图，以CA，CB，分别为x轴，y轴，z轴正向，建立空间直角坐标系．
则，，，，，
，，，
，，，
设平面CEF的一个法向量为，
由得，取，
平面的法向量为，
由得，取，
设平面CEF与平面的夹角为，则．
所以平面CEF与平面夹角的余弦值为.
典例5、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）∵PC⊥平面ABCD，平面ABCD，∴.
取AB的中点M，连接CM， ∵，，∴，，
∴四边形ADCM为平行四边形.
∵，∴为菱形，∴.
∵，∴四边形BMDC为平行四边形, ∴,
∴.又有，平面PBC,
∴AC⊥平面PBC.平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.
（2）∵，，，∴，
又有，，，∴.
，E为PD的中点，，
∴在中，.
由, 得,
求得.
在中，，则，∴的面积.
设P到平面AEC的距离为d，又，解得.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）∵D，O为圆柱底面的圆心， ∴平面.
而为圆柱的一条母线， ∴.
又∵P为的中点，Q为的中点，
∴， ∴四边形为平行四边形， ∴.
又∵P在上，而平面， ∴O为P在内的投影，
且是圆内接正三角形. ∴三棱锥为正三棱锥.
∴， ∴，
即. ∵，平面.
∴平面，
∵， ∴平面.
（2）设点B到面的距离为h，设圆柱底面半径为r，
由母线及圆柱的侧面积为， 得，解得，
则.
在中，， 则，
， 又，
且， ∴，解得.
故点B到平面的距离为.
典例6、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）如图，连接，.
已知，不妨设，.
已知点在底面的投影落在中点，所以四棱锥为正四棱锥，
即，
底面为正方形，，得，同理得，
为的中点，，，得，
，，同理可得，
平面，平面，且，平面.
（2）如图，过点做底面垂线，垂足为中点.
以所在直线为轴，以过点且与平行的直线为轴，
以所在直线为轴如图建立空间直角坐标系.
不妨假设底面正方形的边长为，.
因此得，，，，，.
，，，，
设平面的法向量为，
由，得，解得：，，，故；
设平面的法向量为，
由，得，解得：，，，故；
由平面与平面所成的锐二面角为，
得，解得或（舍）.
得，，设直线与平面所成角为，
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
随堂练习：答案： （1）2； （2）在侧棱上存在点，证明见解析.
解：（1），. 侧面为矩形，，
，平面，平面，
平面，则.
则 是二面角的平面角，则，
所以，.
设. ，， ，
， ，
又，
在中，由余弦定理
得：， 即，
平方整理得，得或（舍， 即侧棱的长为2.
（2）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
过作底面. ，，则，
， 则，.
所以，0，，，0，，，，，，，
则，，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，，
则，令，则，即，0，， ，0，，
设，0，，，
，，，0，，，，
与平面所成角的正切值，.
即
平方得，得，即在处．
即在侧棱上存在点，使得直线与平面所成角的正切值为．
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十三
知识点 证明面面垂直,面面角的向量求法
典例1、如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且．
（1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值．
随堂练习：如图所示，在四棱锥中，，且平面.
（1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值.
典例2、如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①：、条件②：、条件③：平面平面、中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.
（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
随堂练习： 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，点，分别是，的中点，若，.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
典例3、如图，在三棱柱中，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）记和的交点为M，点N在线段上，满足平面，求直线与平面所成角的正弦值．
随堂练习：如图，在三棱柱中，F是 的中点．
（1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值．
典例4、在高为、底面半径为的圆锥内作一内接圆柱体．则圆柱体的半径为多大时：
（1）圆柱体的体积最大？ （2）圆柱体的表面积最大？
随堂练习：如图，圆形纸片的圆心为，半径为5，该纸片上的正方形的中心为，，，， 为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到四棱锥，设．
（1）试把四棱锥的体积表示为的函数； （2）多大时，四棱锥的体积最大？
典例5、如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.
（1）记平面与平面的交线为，求证：直线平面；
（2）若，点是的中点，求二面角的正弦值.
随堂练习：如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且，，，M，N， P，D分别为，BC，，的中点.
（1）求证：面；
（2）求平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值.
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十三答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）连接，由已知，，且，
∴四边形为菱形，∴，
在圆锥中，∵平面，平面， ∴．
∵，平面，平面， ∴平面．
又∵平面， ∴平面平面．
(2）取中点，易知平面，，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
∵，∴，
∴， ∴，．
设平面的一个法向量为．
因为所以，令，则，， ∴，
易知平面即平面，∴平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
∴平面与平面的夹角的余弦值为．
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：平面平面.
.
平面， 平面.
又平面平面平面.
（2）由（1）易知两两垂直.
如图，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，
则.
.
设平面的法向量为，
则即取，得.
易知平面的一个法向量为， ,
由图可知，平面与平面的夹角为锐角，
平面与平面夹角的余弦值为.
典例2、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）选①②：由，，，易知：，
又，，面，则面；
选①③：由，，，易知：.
又面面，面面，面，
∴平面
（2）由（1）知：，，又四边形是正方形，则，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
设面的一个法向量为，则，即
令，则，，即，
设直线与平面所成角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取中点，连接，
分别为中点，，；
四边形为矩形，为中点，，；
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
典例3、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：∵在三棱柱中，平面，因为平面，故，
因为，，所以平面，
∵平面，∴，因为∥，所以，
因为，故四边形为菱形，故，
∵，∴平面
（2）由平面，平面，平面平面，
故，又M为中点，故N为中点.
以B为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
则
，，设平面的法向量，
由，得，取，
又，设直线与平面所成的角大小为，
则
即直线与平面所成角的正弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取中点为G，连接，在中，
根据勾股定理可得， 因此，
而已知平面，
∴，∴，
由余弦定理可得， 故 ,
因此平面，
而平面， ∴．
（2）由（1）得，，又平面，
故以C为坐标原点，分别 为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系，
则：， ，
设平面的法向量为，则 ，
令，可取，又，
所以与平面所成角的正弦值
．
典例4、答案：（1）；（2）.
解:（1）当圆柱的底面半径为时，设圆柱体的高为，
可得，所以，
圆柱的体积 ，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以圆柱的最大体积为.
（2）由（1）可得：圆柱体的表面积
则，
①当时，，所以在上是增函数，所以函数 没有最大值；
②当时，令，解得，
当时，；当时，，
所以当时，取得最大值．
随堂练习：答案： （1）；（2）．
解：（1）连接，交于点，
，， 四棱锥的高，
∴．
（2）， 令，，
， 令得，
当时，，在上递增，
当时，，在上递减，
∴当且仅当时，有最大值，．
典例5、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）因为分别是的中点 所以，
又因为平面，平面 所以平面
又平面，平面与平面的交线为， 所以，
而平面，平面， 所以平面
（2）如图，因为是圆的直径，点是的中点，
所以，
因为直线平面 所以
所以以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则 ，，
所以，
设平面的法向量，则，即
令，则 得
因为直线平面 所以为平面的法向量
所以 所以二面角的正弦值为
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）解法一： 以点A为坐标原点，AB AC 所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
取向量为平面的一个法向量，，
∴， ∴.
又∵平面， ∴平面.
解法二： ∵P，D分别为，的中点，
∴，且平面，平面， ∴平面，
∵D，N分别为，BC的中点， ∴，
且平面，平面，
∴平面，又， ∴平面平面，
又∵平面PDN， ∴平面.
以点A为坐标原点，AB AC 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
∴，,
取向量为平面的一个法向量，
设平面PMN的法向量为，则，即，
令，则，，则，
∴，
由图示可知平面PMN与平面的夹角为锐角，
∴平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为.
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十四
知识点：证明线面平行,线面角的向量求法
典例1、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，丄平面，且，，点是的中点.
（1）求证:平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值.
随堂练习： 如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线 与平面所成的角的正弦值．
条件①：； 条件②：； 条件③：到平面的距离为1．
典例2、在直角梯形中，，，，，M为线段中点，将 沿折起，使平面平面，得到几何体.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
随堂练习：如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD为折痕把△ABD折起，使点A到达点P的位置，且PC⊥BC．
（1）证明：PD⊥平面BCD；
（2）若M为PB的中点，二面角P﹣BC﹣D等于60°，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．
典例3、如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，．
（1）求证：平面，且平面．
（2）已知，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
典例4、如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值.
随堂练习：如图，已知是以的直角三角形铁皮，米，分别是边上不与端点重合的动点，且.现将铁皮沿折起至的位置，使得平面平面，连接，如图所示.现要制作一个四棱锥的封闭容器，其中铁皮和直角梯形铁皮分别是这个封闭容器的一个侧面和底面，其他三个侧面用相同材料的铁皮无缝焊接密封而成（假设制作过程中不浪费材料，且铁皮厚度忽略不计）．
（1）若为边的中点，求制作三个新增侧面的铁皮面积是多少平方米？
（2）求这个封闭容器的最大体积．
典例5、如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：平面平面；
（2）试确定点的位置，使平面与平面所成的锐二面角为．
随堂练习：如图，在直三棱柱中，，，.
（1）证明：平面平面； （2）求二面角的大小.
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十四答案
典例1、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）连接BD交AC于F点，连接EF， 在中，∵EF是中位线，∴．
又∵平面AEC，平面AEC， ∴平面AEC．
（2）由题意知，AC，AB，AP两两互相垂直，如图，
以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴
建立空间直角坐标系A-xyz．
则，，， ∴，
易知平面PAB的一个法向量为，
设直线CE与平面PAB所成角为，
则．
∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为．
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取的中点为，连接.
分别是，的中点, . D是的中点，
直三棱柱， .，.
四边形为平行四边形.
又平面，平面，所以平面.
（2）选择条件①：；
直三棱柱，平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面.
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量， 则， 即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，
则
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件②：； 取的中点为，连接.
直三棱柱，分别是，的中点,
平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面..
分别是，的中点, ，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立
如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则 ，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，
则.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件③：到平面的距离为1． 过点作,垂足为，
直三棱柱， 平面，平面，，
，平面，
所以平面.平面.所以
由（1）知平面；因为到平面的距离为1，
所以.又，所以
又因为是的中点, ,所以是的中点, .
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，
则.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在直角梯形中，，，，
∴，，从而
又平面平面，且平面平面
∴平面，平面，∴.
又，且，∴平面
（2）取的中点O，连接，
由题设知为等腰直角三角形，
又平面平面，且平面平面，平面
连接，因为M，O分别为和的中点，
由（1）可知，以分别为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则
设直线与平面所成角为θ，
故直线与平面所成角的正弦值为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）∵BC⊥CD，BC⊥PC，且PC∩CD＝C， ∴BC⊥平面PCD，
又∵PD 平面PCD，∴BC⊥PD．
∵PD⊥BD，BD∩BC＝B， ∴PD⊥平面BCD；
（2）∵PC⊥BC，CD⊥BC， ∴∠PCD是二面角P﹣BC﹣D的平面角，则∠PCD＝60°，
因此， 取BD的中点O，连接OM，OC，
由已知可得OM，OC，OD两两互相垂直，
以O为坐标原点，分别以OC，OD，OM所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
设OB＝1，则P（0，1，），C（1，0，0），D（0，1，0），M（0，0，），
，，．
设平面MCD的一个法向量为，
由，取z，得．
∴cos．
故直线PC与平面MCD所成角的正弦值为．
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：分别取的中点，连接，
设，则， ，
又平面平面，平面平面平面，
平面，
同理可证平面，，
又因为，所以四边形是平行四边形，，
又平面平面，平面；
（2）如图，取的中点为，则，
以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，
则，
则， 则，
设平面的一个法向量为， 则，
令，得平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为， 则，
令，得平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）平面，平面，，
又，，平面，平面；
为等边三角形，，又，，
平面，平面，平面.
平面，平面，；
（2）以为坐标原点，为轴正方向，作轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，；
设平面的法向量，
则，令，则，，；
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
典例4、答案： （1）证明见解析 （2）6
解：（1）过点作交与点，
平面平面，且两平面的交线为
平面 又平面
又且 平面
（2）过点作交与点,连接
平面平面，且两平面的交线为
平面 又平面 到平面的距离相等
且，平面
又， 令
则，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
即，当且仅当时取得最大值.
如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设与所成角为，则，则，
即当几何体体积最大时，与所成角的正切值为6.
随堂练习：答案：（1） （2）
解:（1）由于，且，则，即，
又平面平面，且平面平面，所以平面，
易得，又为边的中点，
则米，米，
于是得米，米，米，
取的中点为，则，且米，
则（平方米），（平方米），
（平方米），
故制作三个新增侧面的铁皮面积是平方米．
（2）依题意，设米，则米，且．
由，知与相似，则，得米．
由（1）知，底面，
则四棱锥的体积（），
则，
易知在上单调递增，在上单调递减，则立方米．
故这个封闭容器的最大体积是立方米．
典例5、答案：（1）见解析； （2）为的中点.
解：（1）因为底面，底面，故，
而，平面，，
故平面，而平面，故，
，为的中点，故，
平面，，故平面，
因平面，故平面平面.
（2）因为底面，，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则， ，，
设平面的法向量为，
则即，取，则即.
设平面的法向量为，
则即，取，则即.
因为平面与平面所成的锐二面角为，
故，解得即为的中点.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）.
解：（1）连接，由三棱柱为直三棱柱可得平面，
平面，所以，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以四边形是正方形，所以，
又因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为，，，根据勾股定理可知：，
从而有：，，两两垂直，以为原点，
分别以，，所在直线为轴，
轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设平面的法向量为，因为，，
则，， 令，则，
设平面的法向量为，因为，，
则，，令，则，
设二面角的平面角为， 根据几何体特征可知为锐角，
所以， 所以二面角的大小为.
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2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十五
知识点：证明线面平行,面面角的向量求法
典例1、如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
随堂练习：如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
典例2、如图所示，在直三棱柱中，D是的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，求三棱锥的体积．
随堂练习：已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.
（1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积．
典例3、在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，，，且______.
（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
随堂练习： 已知底面为菱形的四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面平面 ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点.
（1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；
①F是AB的中点；②E是PC的中点；③平面PFD.
（2）若.求PB与平面PDC所成角的正弦值.
典例4、蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值．
随堂练习：双层的温室大棚具有很好的保温效果，某农业合作公司欲制作这样的大棚用于蔬菜的种植，
如图（1）所示，工人师傅在地面上画出一个圆，然后用钢丝网编织出一个网状空心球的上部分钢结
构，使得地面上的圆为空心球的一个截面圆，同时在其外部用塑料薄膜覆盖起来作外部保温.如图（1）
所示，用塑料薄膜覆盖起来的内部保温层钢结构为一个圆柱面，制作方法如下：工人师傅将圆柱
面的下底面圆置于球O在地面上的截面圆内（可与截面圆重合），把下底面的圆心固定在球
O在地面上截面圆的圆心位置上，圆柱面的上底面圆的圆周固定在球的内壁上，已知球O的半
径为3．如图（2），取圆柱的轴截面为矩形PQRS，．
（1）设为圆上任意一点，RO与底面所成的角为，将圆柱体积V表示为的函数并判断的范围； （2）求V的最大值．
典例5、如图1，在梯形ABCD中，，，，现将沿AC翻折成直二面角，如图2．
（1）证明：平面平面PAC；
（2）若异面直线PC与AB所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．
随堂练习：如图，图1是由正方形，直角梯形组成的一个平面图形，其中，将正方形沿折起，使得.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十五答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为四边形为菱形，则，
平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因为平面，平面.
（2）取的中点，连接、，
因为四边形为菱形，则，
因为，则为等边三角形，
因为为的中点，则，同理可得，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则.
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
随堂练习：答案： （1）见解析；（2）.
解:（1）连接，
，分别为，中点 为的中位线
且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面 平面
（2）设， 由直四棱柱性质可知：平面
四边形为菱形
则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则：，，，D（0，-1,0）
取中点，连接，则
四边形为菱形且 为等边三角形
又平面，平面
平面，即平面
为平面的一个法向量，且
设平面的法向量，又，
，令，则，
二面角的正弦值为：
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）.
解： （1）连，交于，则为的中点，连，
因为为的中点，所以， 因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，，所以， 所以，
所以.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）取三等分点，
所以，，即
又因为，，，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面， 即平面.
（2）因为为三等分点，所以，
，平面，平面平面，
且平面平面，过点作的垂线交延长线于，
如下图所示：
由线面垂直的性质有平面，
所以点到平面的距离为，记，
因为，，，
所以，，，
.
即三棱锥的体积为.
典例3、答案：选条件①（1）证明见解析；（2）；选条件②（1）证明见解析；（2）；选条件③（1）证明见解析；（2）.
解:方案一：选条件①.
（1）∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面. 又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面. 又平面，
∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为， 又，
设直线与平面所成角为，
则.
方案二：选条件②.
（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.
又，，，平面，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，. 又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为， 又，
设直线与平面所成角为， 则.
方案三：选条件③.
（1）∵平面，平面，∴.
又，，平面，， ∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面
（2）由（1）可得平面的一个法向量为， 又，
设直线与平面所成角为，
则.
随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2）
解：（1）选①F是AB的中点，②E是PC的中点为已知条件，证明③平面PFD，
取的中点，连接， 所以，，
，所以四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面PFD.
选②E是PC的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ①F是AB的中点，
取的中点，连接，
所以，因为，所以，
即平面平面，
因为平面PFD，所以，
所以四边形是平行四边形，，
（2）因为，所以 即F是AB的中点.
选①F是AB的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ②E是PC的中点，
取的中点，连接， 所以，
四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面PFD，
因为平面PFD，，所以平面平面，
平面，所以平面，
平面平面，所以，
因为是的中点，所以E是PC的中点.
取的中点，连接，
因为底面为菱形，，所以，
是边长为2的等边三角形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，
所以平面，以为原点，
分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
所以，，，，
，，，
设平面的法向量为，所以，即，令，
则， 所以，
设PB与平面PDC所成角的为，
所以.
所以PB与平面PDC所成角的正弦值为.
典例4、答案： （1）；（2）；
解:（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，根据定义其度量值等于 减去三个菱形的内角和，再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和，
即蜂房曲顶空间的弯曲度为.
（2）设底面正六边形的边长为1， 如图所示，连接AC，SH，则，
设点在上底面ABCDEF的射影为O，则,
令，则， 菱形SAHC的面积，
的面积为，
令正六棱柱的侧面积为定值时， 蜂房的表面积为，
，令得到，
经研究函数的单调性， 得到函数在处取得极小值，
此时， 在中，令，
由余弦定理得, 顶点的曲率为，
其余弦值为.
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）由题意，，，
所以，
即，
（2）当P、Q点落在球面被地面所截得的圆周上时，
RO与地面所成的角取得最小值为，
此时，所以，所以；
因为，所以令， ，
所以，因为，
所以，
所以在时单调递减，
所以时，．
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：取AB的中点E，连接CE， 因为AB＝4，CD＝2， 则AE＝DC，AE∥DC，
故四边形ADCE为平行四边形， 所以CE＝AD＝2 则CE＝AE＝EB，
故∠ACB＝90°，即CB⊥CA，
又平面PAC⊥平面ACB，且平面PAC∩平面ACB＝AC，CB 平面ACB，
故CB⊥平面PAC， 又CB 平面， 故平面平面PAC；
（2）取AC的中点O，连接OE，则OE∥CB， 所以OE⊥AC，且OP⊥AC，
则OC，OE，OP两两互相垂直， 故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设|OC|＝a（a＞0）， 则，，，
故， 所以
因为异面直线PC与AB所成角的余弦值为 所以，解得，
故 ，
设面的法向量为，
则，令，可得
设面的法向量为，
，令，可得
又由图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）如图：连，
在直角三角形中，，
在三角形中，，，，
满足， 所以，
又，， 所以平面，
因为平面，所以，
又，， 所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为，所以平面.
因为平面， 所以平面平面.
（2）由（1）知，两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，， ，
，，，，
设平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
由，得， 取，得，得，
由，得， 取，得，得，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
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