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全等三角形
知识梳理
1.全等三角形的相关概念
能够重合的两个三角形叫作全等三角形.
两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫作全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫作全等三角形的对应边，互相重合的角叫作全等三角形的对应角.
2.全等三角形的判定和性质
由全等三角形的定义可以得到下面的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
全等三角形判定和性质见表2-1.
表 2-1
一般三角形
判定 边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、边边边(SSS)
性质 对应边相等,对应角相等; 对应中线、对应高、对应角平分线相等; 对应周长、面积相等
典型例题
例 1
如图 2-1所示,点 A,E,B,D 在同一直线上,若△ABC≌△DEF,则以下成立的有 .
① AC∥DF;
② BC=EF;
③∠1=∠2;
④AE=BD
分析 △ABC≌△DEF,则BC=EF,AB=DE,∠1=∠2,∠CAB=∠FDE.因为∠CAB=∠FDE,则AC∥DF;因为AB=DE,则AE=BD.
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解 ①②③④
例 2
如图2-2所示,AD 平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C.
分析 根据AC=AB+BD,我们在 AC 上截取AE,使得AE=AB.这是几何证明中常用的方法---截长补短.
解 如图2-3 所示,在AC上取一点E,使得AE=AB,再连接DE.
因为 AD 平分∠BAC
所以∠BAD=∠CAD
又因为AE=AB,AD=AD
所以△ABD≌△AED
所以 BD=ED,∠B=∠AED
又因为AC=AB+BD,AC=AE+EC
所以EC=BD
所以ED=EC
所以∠EDC=∠C
所以∠AED=∠EDC+∠C=2∠C,即∠B=2∠C
例3
如图2-4 所示，△ABC 是等边三角形，在三边上分别取点 D，E,F,满足 AD=BE=FC.
(1) 试说明 DE=EF;
(2)求∠DEF 的度数.
分析 因为等边三角形三条边相等,AD=BE=FC,所以BD=AF=CE,又因为∠A=∠B=∠C=60°,即可证△BED≌△CFE.
解 (1) 因为△ABC是等边三角形
所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°
又因为AD=BE=FC,BD=AB-AD,CE=BC-BE
所以△BED≌△CFE(SAS)
所以DE=EF
(2)因为∠BED=∠CFE,∠CEF+∠CFE=180°—60°=120°所以∠BED+∠CEF=120°
所以∠DEF=60°
例4
把两个含有 45°角的直角三角板(即△ABC 与△CDE 均为等腰直角三角形)按如图2-5所示放置(其中一组直角边重合)，先连接BE,再连接AD 并延长交BE 于点F.试说明AF 与BE 的关系.
分析 找出△CEB≌△CDA 这对全等三角形是关键，经等量代换得到
解 AF⊥BE,理由如下:
因为(
所以△CEB≌△CDA(SAS)
所以∠BEC=∠ADC
又因为
所以∠BEC=∠BDF
因为
所以
所以
所以AF⊥BE
双基训练
1.根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是( ).
A. AB=3,BC=4,AC=8 B. AB=4,BC=3,∠A=30°
C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4 D.∠C=90°,AB=6
2.下面四个命题：
① 两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等；
② 两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等；
③ 两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等；
④ 两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等.其中真命题是( ).
A. ②③ B.①③ C. ③④ D. ②④
3.根据下列条件,能判定△ABC≌△DEF 的是( ).
A. AB=DE,BC=EF,∠A=∠D B.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF
C.∠B=∠E,∠A=∠D,AC=EF D. AB=DE,BC=EF,∠B=∠E
4.如图2-6所示,已知AB∥DC,AD∥BC,BE=DF,图中全等三角形有( ).
A.3对 B.4对
C.5对 D. 6 对
5.在△ABC 和△A'B'C'中,AB=A'B',∠B=∠B',补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A'B'C'，则补充的条件是( ).
A. BC=B'C' B.∠A=∠A' D.∠C=∠C'
6.具有下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是( ).
A.两角相等，且其对应角所对的边也相等
B.两角相等，且有一边也相等
C.一边相等，且这条边上的高也相等
D.两边相等，且其中一条对应边所对的角相等
7.在△ABC和△A'B'C'中,①AB=A'B',②BC=B'C',③AC=A'C',④∠A=∠A',⑤∠B=∠B',⑥∠C=∠C',则下列条件组不能保证△ABC≌△A'B'C'的是( ).
A. ①②③ B. ①②⑤ C.②④⑤ D. ①③⑤
8.如图2-7所示,如果正方形ABCD 中,CE=MN,∠MCE=35°,那么∠ANM 的度数是 .
9.如图2-8所示,△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则.
10.如图2﹣9所示,AB,CD 相交于点O,AD=CB,请你补充一个条件,使得 △COB.你补充的条件是 .
11. 如图2-10所示,BE,CD 是△ABC的高,且BD=EC,判定. 的依据是 .
12. 如图 2 -11 所示,△ABC≌△ADE,∠B=100°,∠BAC =30°,那么∠AED =
13.△ABC 中,. ,且 则 = .
14. 如图2-12所示,点 B,E,C 在同一直线上,已知I ,求
15.填空，完成下列证明过程.
如图2-13所示,△ABC 中,∠B=∠C,D,E,F 分别在AB,BC,AC上,且BD=CE,∠DEF=∠B
求证:ED=EF.
证明:因为∠DEC=∠B+∠BDE( ),
又因为∠DEF=∠B(已知),
所以∠ =∠ (等式性质).
在△EBD 与△FCE 中,
∠ =∠ (已证),
= (已知),
∠B=∠C(已知),
所以△EBD≌△FCE( ).
所以ED=EF( ).
16.如图2﹣14所示,直线 AE∥BD,点C在BD 上,若 AE=4,BD=8,△ABD 的面积为16,则△ACE 的面积为多少
17.如图2-15所示，O 为码头，A，B 两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB 为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB 的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B 的距离相等，此时轮船有没有偏离航线 画出图形并说明你的理由.
18.如图2-16所示,AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求 AD.
19.如图2-17 所示, 求证:.
20.已知:如图2-18所示,AB=CD,∠A=∠D,求证:
能力提升
21.地基在同一水平面上，高度相同的两幢楼上分别住着甲、乙两位同学，有一天，甲对乙说：“从我住的这幢楼的底部到你住的那幢楼的顶部的直线距离，等于从你住的那幢楼的底部到我住的这幢楼的顶部的直线距离.”你认为甲的话正确吗 答： .
22.如图2-19 所示,D 是△ABC 的边AB 上一点,DF 交 AC 于点 E,给出 3 个论断:①DE=FE;②AE=CE;③FC∥AB.以其中一个论断为结论,其余两个论断为条件,可作出3个命题.其中正确的命题个数是 .
23.如图2-20所示,在等边△ABC 中,AD=BE=CF,D,E,F 不是中点,连接AE,BF，CD，构成一些三角形.如果三个全等的三角形组成一组，那么图中全等的三角形的组数是( ).
A.3组 B. 4 组 C. 5 组 D. 6组
24.若在△ABC 中,∠BAC 的平分线交BC 于D, 则 的度数为( ).
A. 45° B. 60° C.75° D.90°
25.已知:如图2-21所示,在△ABC 中,AB=AC,D 是BC的中点,DE⊥AB 于E,DF 于 F，则图中共有( )全等三角形.
A.5对 B. 4 对 C.3对 D. 2 对
26.将一张长方形纸片按如图2-22所示的方式折叠，BC，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( ).
A.60° B.75° C.90° D. 95°
27.如图2-23所示,OM 平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A,B 为垂足,AB 交 OM 于点 N.
求证:∠OAB=∠OBA.
28.如图2-24所示,四边形ABCD中,AB∥DC,BE,CE 分别平分 且点 E 在AD 上.求证:BC=AB+DC.
29.已知:如图2-25所示, 求证：
30.如图2-26所示, ，F 是 AD的延长线上的一点.求证：
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31.如图 2 - 27 所示,P 是 平分线AD 上一点， 求证： 32.如图2-28所示，正方形 ABCD 的对角线相交于点O，点O 是正方形. 的一个顶点.如果两个正方形的边长都等于2，那么正方形 绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积是一个定值，请你写出这定值，并证明你的结论.
33.已知:如图2-29所示, ,F 是CD 中点,求证:.
34.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图 2-30所示,其中 ,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且. ,M 在BC 的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
35. 如图2-31所示,把 纸片沿DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时.
(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
(2)设 的度数为x， 的度数为y，那么. 的度数分别是多少 (用含有 x 或y的代数式表示)
(3)∠A 与. 之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.
1. C 2. A 3. D 4. D 5. C 6. A 7. D
8.55° 9. 120° 10.∠A=∠C 11. SAS 12. 50° 13. 40° 14.∠AED=90°
15. 三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和,∠FEC=∠BDE,∠FEC=∠BDE,BD=CE,ASA，全等三角形对应边相等
16.8
此时轮船没有偏离航线.画图及说理略.
18. 延长AD 到E,使 AD=DE,再连接BE
因为 D 是 BC 中点
所以 BD=DC
在△ACD 和△BDE 中
AD=DE
BD=DC
所以
所以 AC=BE=2
因为在△ABE中
AB-BE因为AB=4
即
1所以AD=2
19.由AB∥ED,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180°,
因为∠EAB=∠BDE,
所以∠AED=∠ABD,
所以四边形 ABDE 是平行四边形.
所以AE=BD,
因为AF=CD,EF=BC,
所以△AEF≌△DBC,
所以∠F=∠C.
20.延长BA,CD 交于点E,
因为∠A=∠D
所以AE=DE
又因为AB=CD
所以 BE=CE(等量加等量)
所以∠B=∠C.
21. 正确 22. 3 个 23. C 24. B 25. A 26. C
27. 因为OM 平分∠POQ
所以∠POM=∠QOM
因为 MA⊥OP,MB⊥OQ
所以∠MAO=∠MBO=90°
因为OM=OM
所以△AOM≌△BOM (AAS)
所以OA=OB
因为ON=ON
所以△AON≌△BON (SAS)
所以∠OAB=∠OBA
28. 在 BC 上截取BF=AB,连接EF
因为 BE 平分∠ABC
所以∠ABE=∠FBE
又因为 BE=BE
所以△ABE≌△FBE(SAS)
所以∠A=∠BFE
因为AB∥CD
所以∠A+∠D=180°
因为.
所以∠D=∠CFE
又因为∠DCE=∠FCE(CE平分∠BCD)
CE=CE
所以△DCE≌△FCE(AAS)
所以CD=CF
所以 BC=BF+CF=AB+CD
29. 过 C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点G
CG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC
所以△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又 EF∥AB
所以∠EFD=∠1
∠1=∠2
所以∠CGD=∠2
所以△AGC为等腰三角形,AC=CG
又 EF=CG
所以EF=AC
30. 在△ABD 与△ACD 中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
所以△ABD≌△ACD
所以∠ADB=∠ADC
所以∠BDF=∠FDC
在△BDF 与△FDC 中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
所以△FBD≌△FCD
所以 BF=FC
31. 在 AC 上取点E,使 AE=AB.
因为AE=AB
AP=AP
∠EAP=∠BAP,
所以△EAP≌△BAP
所以PE=PB.
PC所以 PC<(AC-AE)+PB
所以PC-PB32.定值为1.提示:△FOD≌△EOC
33. 证明:连接BF 和EF
因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
所以△BCF≌△EDF(SAS)
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形 BEF 中,BF=EF
所以∠EBF=∠BEF.
因为∠ABC=∠AED.
所以∠ABE=∠AEB.
所以AB=AE.
在△ABF 和△AEF 中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
所以△ABF≌△AEF.
所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2).
34. 连接 EM 和MF
因为AB∥CD
所以∠B=∠C
因为 M 是 BC 中点
所以BM=CM
在△BEM 和△CFM 中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
所以△BEM≌△CFM(SAS)
所以∠BEM=∠CFM
假设E，M，F 不在一条直线上，设延长EM 于CD 交于O
故∠BEM=∠MOC
所以 O 与 F 重合
所以E，F，M 恰好在一条直线上
35.1)△EAD≌△EA'D,其中∠EAD=∠EA'D,∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE;
(3) 规律为:∠1+∠2=2∠A.

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