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等腰三角形
知识梳理
1.等腰三角形的概念
有两边相等的三角形叫作等腰三角形.三条边都相等的三角形叫作等边三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形.
2.等腰三角形的性质
(1)在同一个三角形中，等边对等角.
(2)等腰三角形三线合一.
3.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.(即在同一个三角形中，等角对等边.)
4.等边三角形的判定定理
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(2)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
典型例题
例1
如图3-1所示,已知O是四边形ABCD 内一点,OA=OB=OC, ,则 的大小是( ).
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C. 140° D. 150°
分析 因为OA=OB=OC,所以∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO,∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°.所以.
解D
例2
如图3-2所示,已知AD=BC,AC=BD,求证:△EAB 是等腰三角形.分析 要判断△EAB 是等腰三角形,则需得证∠CAB=∠DBA.解 因为AD=BC,AC=BD,AB=BA
所以△ADB≌△BCA(SSS)
所以∠DBA=∠CAB
所以AE=BE,即△EAB 是等腰三角形
例3
如图3-3 所示,已知△ABC 为等边三角形,点 D,E 分别在BC,AC 边上,且AE=CD, AD 与BE 相交于点F.
(1) 求证:△ABE≌△CAD;
(2) 求∠BFD 的度数.
分析 利用等边三角形的隐含条件：三边相等，三角相等.
解 (1)因为AE=CD,AB=CA,∠BAE=∠ACD=60°
所以△ABE≌△CAD(SAS)
(2) 因为△ABE≌△CAD
所以∠ABE=∠CAD
所以∠AFE=180°-(∠CAD+∠AEF)=180°-(∠ABE+∠AEF)=∠BAC=60°
所以∠BFD=60°
例4
如图3-4 所示,在边长为4 的正三角形ABC 中,AD⊥BC 于点D，以 AD 为一边向右作正三角形ADE.
(1) 求△ABC的面积S;
(2)判断AC,DE 的位置关系,并给出证明.
分析 利用等边三角形三线合一的性质.
解
(2) AC⊥DE
因为在正三角形ABC中,AD⊥BC
所以∠BAD=∠CAD=30°
又因为△ADE 是正三角形
所以
所以∠EAF=∠CAD
所以AC⊥DE
双基训练
1.等腰三角形的周长为26厘米，一边长为6厘米，那么腰长为( ).
A.6 厘米 B. 10厘米 C. 6厘米或10厘米 D. 14厘米
2.已知△ABC,AB=AC,∠B=65°,∠C 的度数是( ).
A.50° B.65° C.70° D.75°
3.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( ).
A.过顶点的直线 B.底边的垂线
C.顶角的平分线所在的直线 D.腰上的高所在的直线
4.如图3-5所示,△ABC 是等边三角形,D,E,F 为各边中点,则图中共有( )正三角形.
A.2个 B.3个
C. 4个 D. 5个
5.△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则BC:AB等于( ).
A.2:1 B.1:2 C.1:3 D. 2 :3
6.等腰三角形的两个 相等(简写成“ ”).
7.已知△ABC,AB=AC,∠A=80°,∠B的度数是 .
8.等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是 .
9.等腰三角形的腰长是6，底边长5，则周长为 .
10.等边三角形的周长为 6厘米，则它的边长为 .
11.等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是 .
12.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则△ABC 是 三角形.
13.△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=3厘米,则AB= .
14.如图3-6所示,AB=AD,AD∥BC,求证:BD 平分∠ABC.
15.如图3-7 所示,在△ABC中,AB=AC,D,E 分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A 的度数.
16.如图3-8 所示,△ABC 是等边三角形,点D 在边BC 上,DE∥AC,△BDE 是等边三角形吗 试说明理由.
17.如图3-9所示,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B 和∠C 的度数.
18.如图3-10所示,AC和BD交于点O,且AB∥DC,OC=OD,求证:OA=OB.
19.已知(如图3-11 所示)P,Q 是△ABC 边BC 上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC 的度数.
20.如图3-12所示,AD∥BC,BD 平分∠ABC,求证:AB=AD.
能力提升
21.如图3-13 所示,在 Rt△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D. E,F 分别是CD,AD 上的点,且CE=AF.如果∠AED=62°,那么∠DBF=( ).
A.62° B.38°
C. 28° D.26°
22.一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为 .
23.等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为 .
24.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为 .
25.如果等腰三角形的周长为25，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是2，则这个等腰三角形的底边长为 .
26.如图 3-14所示,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在AC 上,且BD=BC=AD,求△ABC中各角的度数.
27.已知:如图3-15所示,△ABC中,∠ACB=90°,AD=BD,∠A=30°,求证:△BDC是等边三角形.
28. 如图3-16 所示, ,CE 交AB 于E,求证:(
29. 如图 3 -17 所示, ,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D,求∠DBC 的度数.
30. 如图3-18所示,D,E 分别是AB,AC 的中点,CD⊥AB 于D,, 于E,求证:AC=AB.
拓展资源
31.上午8时，一条船从海岛A 出发，以 20海里/时的速度向北航行，11 时到达海岛 B处,从 A,B 望灯塔C,测得 如图 所示，求从海岛 B 到灯塔C 的距离.
32.正三角形给人以“稳如泰山”的感觉，它具有独特的对称性，请你按要求将图3-20中的正三角形进行分割.
(1)分割后得到的四个等腰三角形面积相等；
(2)分割成四个全等的等边三角形；
(3)分割成两对全等的直角三角形.
33.如图3-21所示，请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出：
(1)一个所有顶点均在格点上的等腰三角形；
(2)一个所有顶点均在格点上，且三条边为无理数的等腰三角形.
34.请你仔细观察图3-22中等边三角形图形的变化规律，写出你所发现的关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实.
35.小明利用两块等边三角形纸板( 与 进行拼图，如图3-23 所示，经过探索后，小明说. ，你同意他的说法吗 说出你的理由.
1. B 2. B 3. C 4. D 5. B 6.底角，等边对等角 7.50°
8. 36°或 90° 9. 17 10.2 厘米 11. 120° 12. 等边 13. 6厘米
14. 证明:因为AB=AD(已知)
所以∠ABD=∠ADB(等边对等角)
因为AD∥BC(已知)所以∠ADB=∠CBD(两直线平行,内错角相等)
所以∠ABD=∠CBD(等量代换)
所以 BD 平分∠ABC.(角平分线定义)
15.45°
16.△BDE 是等边三角形.理由如下:
因为△ABC 是等边三角形
所以∠A=∠B=∠C=60°
因为DE∥AC,
所以∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°
所以∠B=∠BED=∠BDE
所以△BDE 是等边三角形
17.∠B=77°,∠C=38.5°
18.证明:因为OC=OD
所以∠ODC=∠OCD
又因为AB∥DC
所以∠ODC=∠OBA,∠OCD=∠OAB
所以∠OBA=∠OAB
所以OA=OB
19.∠BAC=120°
20.因为AD∥BC
所以∠ADB=∠DBC
又因为BD 平分∠ABC
所以∠DBC=∠ABD
所以∠ADB=∠ABD
所以AB=AD
21. C 22.55°,55°,70°或70°,70°,40°23. 1724. 60°25.7或
26.∠A=36°,∠ABC=72°,∠ACB=72°
27. 延长CD 至点E,使得CD=DE,连接AE
因为CD=DE,AD=BD,∠CDB=∠EDA
所以△CDB≌△EDA(SAS)
所以∠DCB=∠DEA,∠EAD=∠ABC,AE=BC
因为∠ACB=90°
所以
所以△EAC≌△BCA
所以EC=BA
所以CD=BD
因为∠ACB=90°,∠CAB=30°
所以
所以△BDC 是等边三角形(有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形)
28. 因为 CE∥DA
所以∠A=∠CEB
又因为∠A=∠B
所以∠CEB=∠B
所以CE=CB
29.∠DBC=30°
30. 连接 BC
因为 E 是AC 的中点,BE⊥AC
所以BC=BA
同理,BC=AC
所以AC=AB
31.20×(11-8)=60(海里)
32. (1) 如答图3-1所示. (2) 如答图3-2所示. (3) 如答图3-3 所示.
33. 图略.
34.等边三角形内任意一点到三边的距离和等于该等边三角形的高.
35. 提示:证明△ADF≌△BED≌△CFE.

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