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反证法
知识梳理
1.反证法的定义
先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确.这种证明方法叫作“反证法”.
2.反证法的步骤
(1)从命题的结论的否定面出发；
(2)根据正确的逻辑推理，推出矛盾则否定假设；
(3)肯定原命题的结论是正确的.
简记：否定结论——推出矛盾——肯定结论.
典型例题
例1
实数a,b,c 不全为0等价于( ).
A. a,b,c 均不为0 B. a,b,c 中至多有一个为0
C. a,b,c 中至少有一个为0 D. a,b,c 中至少有一个不为0
分析 须准确理解“不全为”的含义，即“至少有一个”.
解 C
例 2
若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设 .分析 “至少有一个”即“≥1”，其反面应为“一个都没有”.言下之意，不大于 45°的锐角一个都没有，即“每个锐角都大于45°”.
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解 每个锐角都大于45°.
例3
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
分析 关键在于理解结论的反面，并找出与公理或已证定理的矛盾处.
解 假设在一个三角形中，三个角都大于 60°，
则三个角之和大于180°，与“三角形的内角和为180°”矛盾.
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
例4
在△ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,且∠C≠90°.求证:
解 假设 则由勾股定理的逆定理可以得到∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°相矛盾，因此，假设是错误的.所以
双基训练
1.“aA. a≠b B. a>b C. a=b D. a=b或a>b
2.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设( ).
A. a 不垂直于c B. a,b 都不垂直于c C. a⊥b D. a 与b相交
3.用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设 .
4.用反证法证明“若|a|<2,则 时，应假设 .
5.请说出下列结论的反面：
(1)d 是正数;
(2)a≥0;
(3)a<5.
6. 如图15-1所示,直线AB,CD 相交,求证:AB,CD 只有一个交点.
证明：假设AB，CD 相交于两个交点O 与O'，那么过O，O'两点就有 条直线，这与“过两点 ”矛盾，所以假设不成立，则 .
7.完成下列证明.
如图15-2 所示,在 中，若 是直角，那么 一定是锐角.
证明：假设结论不成立，
则∠B 是 或 .
当∠B 是 时,
则 ，这与 矛盾；
当∠B 是 时,
则 ，这与 矛盾.
综上所述，假设不成立.所以∠B 一定是锐角.
8.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ).
A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于(
C. 有一个内角大于60° D.每一个内角都大于
9.用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设应该是 .
10.下列命题宜用反证法证明的是( ).
A.等腰三角形两腰上的高相等
B.有一个外角是 的等腰三角形是等边三角形
C.两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行
D.全等三角形的面积相等
11.求证：两条直线相交只有一个交点.
12.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.
13.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等.
14.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.
15.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分.
16.求证：一直线的垂线与斜线必相交.
17.求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于(
18.在 中, 于D,. 于 E,AD 与BE 相交于H,求证:AD 与 BE不能被点 H 互相平分.
19.求证：直线与圆最多只有两个交点.
20.已知: 中, 求证： 必为锐角.
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21.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ).
A.有一个解 B.有两个解
C.至少有三个解 D.至少有两个解
22.否定“自然数a，b，c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( ).
A. a,b,c 都是奇数
B.a，b，c 或都是奇数或至少有两个偶数
C. a,b,c 都是偶数
D. a,b,c 中至少有两个偶数
23.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时，反设正确的是( ).
A.假设三内角都不大于 60° B. 假设三内角都大于60°
C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60°
24.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是 .
25.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
，这与三角形内角和为 相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;
② 所以一个三角形中不能有两个直角；
③ 假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.
正确的证明顺序为 .
26.求用反证法证明命题“若 则 a,b 全为0(a,b 为实数)”,其反设为
27.求证:在△ABC的BC边上任取一点D,AC 边上任意取一点E,连接AD,BE,则AD和BE 必定不能互相平分.
28.已知 为不等边三角形， 于点 D,求证:点 D 到AB,AC 的距离必不相等.
29.方程 5 0至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.
30.求证：在平面上，不存在这样的凸四边形ABCD，使 都是锐角三角形.
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31.设x,y,z 都是正实数. 则a,b,c 三个数( ).
A.至少有一个不大于2 B. 都小于2
C.至少有一个不小于2 D.都大于2
32.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖了.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( ).
A. 甲 B.乙 C.丙 D.丁
33.设a,b,c均为小于1的正数,求证: 不能同时大于
34.已知: 求证：
在 中, ，P 是内部一点且， 求证：
1. D 2.D 3.在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角相等
4. |a|<2,则.
5.(1) d 是非正数;(2)a<0;(3)a≥5
6.两，确定一条直线，AB，CD 只有一个交点.
7.直角,钝角,直角,∠A+∠B+∠C>180°,三角形内角和为 180°,钝角, ，三角形内角和为180°
8.D 9.三角形有两个钝角 10. C
11.已知直线a，b，求证：直线a，b相交时只有一个交点 P.
证明：如答图15-1所示，假设a，b相交时不止一个交点P，不妨设其他交点中有一个为 P'，
则点 P 和点 P'在直线a上又在直线b上，
那么经过 P 和P'的直线就有两条，
这与“两点决定一条直线”相矛盾，
因此假设不成立，
所以两条直线相交只有一个交点.
12.由题意可知,如答图15-2 所示,AB∥EF,CD∥EF.
假设AB 与CD 不平行,则直线 AB 与CD 相交.
设它们的交点为P，于是经过点 P 就有两条直线(AB、CD)都和直线 EF 平行，
这就与经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行相矛盾，
所以假设不能成立，故AB∥CD，所以原题的说法是正确的.
13.证明：假设它们所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”知它们所对的角也相等，这就与题设两个角不等相矛盾，因此假设不成立，故原结论成立.
14.假设有4个角为锐角，则这四个内角的和小于 360°，
五边形内角和为540°
第 5个内角一定大于180°，
所以不可能有4个内角为锐角.
15. 如答图15-3所示,假设AB,CD 互相平分于点 P,连接OP,则OP⊥AB,OP⊥CD,这样过P 有两条直线AB，CD 同时垂直于OP，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，
所以AB，CD不能相互平分.
16.已知：设 m，n 分别为直线l的垂线和斜线(如答图15-4 所示)，垂足为A，斜足为 B.求证：m和n必相交.
证明：假设m 和n不相交，则m∥n
因为 m⊥l 所以n⊥l
这与“n 是l 的斜线”相矛盾，所以假设不能成立.
故 m 和n 必相交.
17.证明：不妨设三角形的三个内角为∠A，∠B，∠C 假设∠A，∠B，∠C 中没有一个大于或等于60°，则它们都小于 60°.
即∠A<60°,∠B<60°,∠C<60°.
所以∠A+∠B+∠C<180°，这与三角形内角和定理矛盾，这说明假设不成立.
故∠A,∠B,∠C 中至少有一个大于或等于60°.
18.证明:如答图15-5 所示,假设AD,BE 被交点 H 互相平分,则 ABDE 是平行四边形.
所以AE∥BD,即AC∥BC
这与AC,BC 相交于点C 矛盾,
故假设AD，BE 被交点 H 平分不能成立.
所以 AD 与BE 不能被点 H 互相平分.
19.证明：假设一直线 l 与⊙O有三个不同的交点A，B，C，
M,N 分别是弦AB,BC的中点.
因为OA=OB=OC
所以在等腰△OAB 和△OBC 中OM⊥AB,ON⊥BC
从而过点O 有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立.
因此直线与圆最多只有两个交点.
20.证明:假设∠B,∠C 不是锐角,
则可能有两种情况：
(1)∠B=∠C=90°
(2)∠B=∠C>90°
若∠B=∠C=90°,则∠A+∠B+∠C>180°,
这与三角形内角和定理矛盾.
若∠B=∠C>90°,则∠A+∠B+∠C>180°,
这与三角形内角和定理矛盾.
所以假设不能成立.
故∠B,∠C必为锐角.
21. C 22. B 23. B
24.没有一个是三角形或四边形或五边形.
25. ③①② 26. a,b不全为0.
27.证明:假设AD和BE 互相平分于点P,则ABDE 应是一个平行四边形.所以AE∥EB,即AC∥BC这与“AC 与BC 相交于点C”相矛盾,
故假设“AD 与BE 互相平分”不能成立.
所以 AD 和BE 必定不能互相平分.
28.证明:如答图15-6所示,作DE⊥AB 于E,DF⊥AC 于F
假设 DE=DF,则∠1=∠2
因为AD⊥BC
所以
所以∠B=∠C
所以AB=AC这与△ABC 为不等边三角形矛盾.
故假设不能成立，即点 D 到AB，AC边的距离必不相等.
29.假设没有一个方程有实数根，则：
解得：
故至少有一个方程有实根时a 的取值范围是a≥-1或
30. 证明:假设存在凸四边形ABCD,
使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形.
则∠A+∠B+∠C+∠D<360°.
这与四边形 ABCD 中
∠A+∠B+∠C+∠D=360°矛盾,所以不存在.
31. C 32. C
33. 假设 同时成立，则
三式相加得
又
三式相加得
②与①矛盾.
所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于
34.假设a，b，c 不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0,b<0,c>0,则由a+b+c>0,
可得c>-(a+b),
又a+b<0,所以c(a+b)<-(a+b)(a+b)
ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab
即
因为 所以 即ab+bc+ca<0,这与已知ab+bc+ca>0矛盾，所以假设不成立.
因此a>0,b>0,c>0成立.
35. 证明:假设 PB≮PC,即 PB>PC或PB=PC
(1) 当 PB>PC时 (如答图 15-7 所示)
在△PBC 中,可得∠PCB>∠PBC
因为AB=AC
所以∠ABC=∠ACB,从而∠ABP>∠ACP ①
在△BAP 与△CAP 中
因为AB=AC,AP=AP,PB>PC
所以∠BAP>∠CAP②
由①②和三角形内角和定理,可得∠APB<∠APC,
这与已知∠APB>∠APC 相矛盾.
(2) 当PB=PC时(如答图15-8所示),在△APB 与△APC中
因为AP=AP,BP=CP,AB=AC
所以△ABP≌△ACP,所以∠APB=∠APC
这与已知∠APB>∠APC 相矛盾

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