资源简介

新定义问题
知识梳理
新定义问题是一种新题型，指的是：给出新定义，提出新问题，要求学生认真地阅读，现学现用，通过实验、探究、猜想、分析来解决问题.解决本类型题目的关键是理解定义的内涵和外延.常见类型有：
(1)定义一种新数；
(2)定义一种新运算；
(3)定义一种新法则；
(4)定义一种新图形.
典型例题
例1
一个自然数a，若将其数字重新排列可得到一个新的自然数b，如果a恰好是b的3倍，我们称a 是一个“希望数”.
(1)请举例说明“希望数”一定存在.
(2) 请你证明：如果a，b都是希望数，则ab一定是729的倍数.
分析 (1) 根据希望数的定义可知,428571=3×142857,故此数即为希望数;
(2)由于a，b均为希望数，所以存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和，根据整除的判别法可知a 为3的倍数，p为9的倍数，再由a,b 都是“希望数”,可知a,b 都是27 的倍数,设 为正整数)代入ab 即可得出答案.
解 (1) 因为 428571=3×142857,
所以428571 是一个“希望数”.
(2)因为a 为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a 的数字重新排列而成的自然数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和.
因为a=3p和a为3的倍数，但a的数字和等于p的数字和，
所以由整除判别法，知p 为3 的倍数，
所以 p=3m,(m 为正整数),
所以a=3×p=3×3m=9m,
所以a 被9整除.
因为 a 的数字和等于 p 的数字和，
所以由被9整除的判别法可知p能被9整除，即 p=9k(k 为整数)，所以p=3a=3×9k=27k
所以 a 是 27的倍数.
所以“希望数”一定能被27整除.
因为a，b都是“希望数”，
所以a，b 都是27的倍数，即 为正整数).
所以
所以ab一定是729的倍数.
例 2
定义一种新运算“*”，其规则是 根据定义解方程：
分析 根据题中的新定义，把要求方程的左边变形为普通的方程，然后去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求出x的值.
解 由题意得：
去分母得:2(-1+x)=x,
去括号得:-2+2x=x,
移项合并得:x=2.
例 3
已知:(m-x)·(-x)-(x+m) · (-n)=5x+x -6对任意的有理数 x 都成立，求m(n-1)+n(m+1)的值.
分析 利用多项式乘以多项式法则将等式的左边展开并合并同类项，根据多项式相等的条件即可求出m，n 的值，再代入计算即可求解.
解(m-x) · (-x)-(x+m) · (-n)
因为(m-x)· (-x)-(x+m) · (-n)=5x+x -6对任意的有理数x 都成立，
所以-m+n=5及mn=-6,
原式=2mn+(-m+n)=-12+5=-7.
例4
对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：
中小学教育资源及组卷应用平台
(1)根据规则，计算
(2) 已知 则x= .
分析 本题需看清这种运算的规则，将题中的式子转化为计算题和一元一次方程，再通过计算求得值.
解 (1) 原式=3×1-2×5=-7;
(2) 转化为一元一次方程:2x-(-4)x=18,
可化为:2x+4x=18,6x=18;
即x=3.
例 5
(1) 证明:若四个有理数a,b,c,d 满足 则 的最大值为2.
(2)符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
①f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,…
利用以上规律计算：
(3) 代数式|x+2|+|x-2|+|x+3|+|x-1|的最小值为 .
分析 (1)由已知的等式得到abcd 为负值，由两数相乘积的去符号法则得到a，b，c，d 中有一个为负数或三个为负数，若四个字母中有一个为负数，利用负数的绝对值等于它的相反数、正数的绝对值等于它本身进行化简，求出所求式子的值；若有三个为负数，同理化简求出所求式子的值，比较即可得到所求式子的最大值；
(2)由已知的两列等式得到规律： 且n为正整数,取n=2008,分别代入相应的运算中计算，即可得到所求式子的值；
(3)分x≤-3,-3解 (1)依题意 得到|abcd|=-abcd,
所以abcd<0,即a,b,c,d 中有一个为负或三个为负.
(i)当有一个为负,假设a<0时,则有|a|=-a,
此时
若b<0或c<0或d<0时,同理得到
(ii) 当有三个为负时,假设a<0,b<0,c<0时,d>0,则有|a|=-a,|b|=-b,|c|=-c,|d|=d,
此时
若b<0,c<0,d<0或a<0,b<0,d<0时,同理得到
综上所述，原式的最大值是2.
(2)根据上述等式得到 (n 为正整数),则
(3) 当x≤-3,原式=-x-2-x+2-x-3-x+1=-4x-2;
最小值=-4×(-3)-2=10;
当--3最小值=-2×(-2)+4=8;
当--2当1≤x≤2,原式=x+2-x+2+x+3+x-1=2x+6;最小值=8;
当x≥2,原式=x+2+x-2+x+3+x-1=4x+2,最小值=10.
综上,代数式|x+2|+|x-2|+|x+3|+|x-1|6的最小值为8.
双基训练
1.记 令 称 Tn 为a ,a ,…,a 这列数的“理想数”.已知 a ,a ,…,a 的“理想数”为 2004,那么 8,a ,a ,…,a 的“理想数”为 .
2.[A]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1，2，4 三个约数，可以表示成[[4]=3.计算：([18]+[22])÷[7]= .
3.规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .
4.定义运算“△”如下：对于两个自然数a 和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .
5.任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解(p≤q)称为正整数的最佳分解，并定义一个新运算： 例如:12=1×12=2×6=3×4,这时就有 则 F(24)= .
6.“华”“杯”“赛”三个字的四角号码分别是“2440”“4199”和“3088”,将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于 9 的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是 .
7.已知: 根据这几个算式找规律，如果 那么x= .
8.餐厅里有两种餐桌，方桌可坐4人，圆桌可坐9人，若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌，餐厅经理就称此数为“发财数”，在1~100这100个数中，“发财数”有 个.
9.若定义一种新的运算为 计算
10.对于任意的两个自然数a 和b,规定新运算*:a*b=a(a+1)(a+2)…(a+b-1),其中a,b表示自然数. 如果(x﹡3)﹡2=3660,求x的值.
11.若“!”是一种运算符号,并且1!1=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1=24,…求
12.“▽”表示一种新运算，它表示 求 3▽5的值.
13. x,y表示两个数,规定新运算“□”及“△”如下:x□y=6x+5y,x△y=3xy.求(2□3)△4的值.
14.有一个数学运算符号“ ”，使下列算式成立： 求 的值.
规定 )(a,b 均为自然数, 如果x 10=65,那么x的值是多少
16.对于数a,b规定运算“▽”为a▽b=(a+1)×(1-b),若等式(a▽a)▽(a+1)=(a+1)▽(a▽a))成立，求a的值.
17. a 表示顺时针转90°,b 表示顺时针转180°,c 表示逆时针转90°,d 表示不转,定义运算“&”表示“接着转”.求a&b,b&c,c&a.
18.法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.如图24-1(a)(b)所示，是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例.
(1)用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少
(2)设a、b都是大于5且小于 10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性
19.用{a}表示a的小数部分,[a]表示不超过a的最大整数.例如:{0.3}=0.3,[0.3]=0;{4.5}=0.5,[4.5]=4.记 请计算 {f(1)},[f(1)]的值.
20.阅读下列材料，回答问题.
【材料1】乘积是1的两个数互为倒数，即 与、 互为倒数，也就是说，(,a÷b=x.则
【材料2】乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得的积相加,即(a+b)c=ac+bc.
利用上述材料，巧解下题：
能力提升
21.2010减去它的 ，再减去剩余数的 ，再减去剩余数的 ，…，依此类推，一直到减去剩余数的 ，则最后剩余的数是( ).
C.2 D. 1
22.在正整数范围内定义一种“F”运算，对于任意正整数n，这种运算满足：①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为π/2x(其中k 是使 x为奇数的正整数)，并且运算重复进行.例如，当n=26时，部分运算过程如下：
若n=449,则第 449 次“F 运算”的结果是 .
23.如有a#b新运算,a#b 表示a,b中较大的数除以较小数后的余数.例如;2#7=1,8#3=2,9#16=7,21#2=1.如(21#(21#x))=5,则x可以是 (x 小于50).
24.若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象，则称n为“可连数”,例如32是“可连数”,因为32+33+34 不产生进位现象;23不是“可连数”,因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为 .
25.已知x,y,z.为互不相等的正整数，且 则x+y+z= .
26.已知正整数 n 小于 100,且满足 其中[x]表示不超过x的最大整数，这样的正整数n 有 个.
27.我们规定：符号“⊙”表示选择两数中较大数的运算，例如：5⊙3=3⊙5=5，符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算 的结果是多少
28.国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用.核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得.如:某书的书号是 ISBN 7-107-17543-2,它的核检码的计算顺序是:
①7×10+1×9+0×8+7×7+1×6+7×5+5×4+4×3+3×2=207;
② 207÷11=18……9;
③ 11-9=2.这里的2就是该书号的核检码.
依照上面的顺序,求书号 ISBN 7-303-07618-□的核检码.
29.现定义一种新运算:a b=ab+a-b,如1 3=1×3+1-3=1.
(1) 求[(-2) 5] (6).
(2)新定义的运算满足交换律吗 试举例说明.
30.小乐发明了一个魔术盒，当任意有理数对(a，b)放入盒中时，会得到一个新的有理数： 例如把(3，-2)放入其中，就会得到
(1)现将有理数对(-2，3)放入盒中得到有理数m，再将有理数对(m，-7)放入盒中后，得到的有理数是多少
(2)小乐先放入有理数对(2009,—2010),如果再放入有理数对(—2010,2009),那么两次得到的有理数会相等吗 请你说明理由.
(3)在(2)中,你还能放入有理数对(-2009, ),( ,2009)使得得到的有理数也和得到的有理数相等.
(4)小乐先放入有理数对(m，n)，请你放入有理数对( ， )，让得到的有理数与小乐得到的有理数相等.
拓展资源
31.已知 则a—b+c—d+e—f 的值为( ).
A. -1 B.1 C. 243 D.-243
32. 在一列数 x ,x ,x ,…中,已 知 且当 k≥2 时,. (取整符号[a]表示不超过实数a 的最大整数，例如[[2,6]=2,[0.2]=0),则x2014等于( ).
A.1 B. 2 C.3 D.4
33.赵岩、徐婷婷、韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿地考入自己心仪已久的大学.后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解,英文中的a,b,c,…,z26个字母(不论大小写)依次用1,2,3,…,26 这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式 中x为不超过26的正奇数)(其中x 为不超过26的正偶数),已知对于任意的实数x，记号[x]表示不超过x 的最大整数；将英文字母转化成密码，如8→ 即h 变成q，再如 即 k 变成f.他们给出下列一组密码：etwcvcjw e j ncjw wcabqcv,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言.现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程.
34.阅读下列材料：
一般地,n个相同的因数a 相乘,即a·a·…·a记作a".如 此时，3叫作1个以2为底8的对数,记为log 8(即log 8=3).一般地,若 且a≠1,b>0),则n 叫作以a 为底b的对数,记为 log。b(即 log。b=n).如: ,则 4 叫作以 3 为底 81的对数,记为log 81(即log 81=4).
(1)计算以下各对数的值：
(2)观察(1) 中三个数4,16,64之间满足怎样的关系式,log 4,log 16,log 64之间又满足怎样的关系式
(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗
log。M+log N= (a>0且a≠1,M>0,N>0);
(4)根据幂的运算法则 以及对数的含义证明上述结论.
数学上，为了简便，把1到n的连续n个自然数的乘积记作：n！，即n!=1×2×3×…×(n-1)×n,，将上述n 个自然数的和记作 即 则
1.2008 2.5 3.9 4.42 5. 6.254948903981 7. 8.88 10.3
12. 0 13.324 14. 15.2
16.0 17. a&b=c,b&c=a,c&a=d.
18.(1) 按照图中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；
(2)按照图中示例可知:要计算a×b,左手应伸出(a-5)个手指,未伸出的手指数为5-(a-5)=10-a;右手应伸出(b-5)个手指,未伸出的手指数为5-(b-5)=10-b,故两手伸出的手指数的和为(a-5)+(b-5)=a+b-10,
未伸出的手指数的积为(10-a)×(10-b)=100-10a-10b+a×b,
根据题中的规则,a×b的结果为10×(a+b-10)+(100-10a-10b+a×b),
而10×(a+b-10)+(100-10a-10b+a×b)=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b,所以用题中给出的规则计算a×b是正确的.
19.0.4,1;0,1 20.— 21. D 22.8 23.13,29,37 24.24个 25.11 26.16
27. 28.2
29.(1)-125.(2)新定义的运算不满足交换律.例如:2 1=2+2--1=3,1 2=2+1-2=1,显然2 1≠1 2.
30.(1) -216.
(2)小乐先放入有理数对(2009,-2010),如果再放入有理数对(-2010,2009),那么两次得到的有理数会相等.理由如下：
因为当a=2009,b=-2010时,将有理数对(2009,-2010)代入
可得:2009 +3×2009 ×(-2010)+3×2009×(-2010) +(-2010) =-1;
当a=-2010,b=2009时,将有理数对(-2010,2009)代入 可得:(-2010) +3×(-2010) ×2009+3×(-2010)×2009 +2009 =-1.
所以小乐先放入有理数对(2009，-2010)，如果再放入有理数对(-2010，2009)，那么两次得到的有理数相等.
(3) 2008,-2010.
(4) n,m.
31. B
32. B. 由 且当k≥2时，根据 可得：
x =2,x =3,x =4,x =1,x =2,x =3,x =4,x =1,…
所以x 每4次一循环,因为2014÷4=503…2,所以
33. 由题意,得密码 etwcvcjw 对应的英语单词是 interest, ej 对应的英语单词是 is,ncjω 对应的英语单词是 best, wcabqcv 对应的英语单词是teacher.
所以,翻译出来的一句英语是 Interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老师”.
34.(1) log 4=2,log 16=4,log 64=6;
(2) 4×16=64,log 4+log 16=log 64;
(3) log。M+log。N=log。(MN);
(4) 设 log。M=b ,log。N=b ,则 所以 所以 log。(MN)即log。M+log。N=log。(MN).
35. -1

展开更多......

收起↑