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配方法
知识梳理
1.配方法的概念
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法.
2.二次三项式进行配方的两种类型
(1)二次项系数是1的类型：
(2)二次项系数不是1 的类型：
尤其当针对第(2)种类型配方时，一般需要先提取二次项系数(一元二次方程则通过除以二次项系数将方程化为二次项系数为(1)的类型)，然后再加上一次项系数一半的平方来配成完全平方，最后不要忘记减掉所增加的项.
3.配方法的重要性
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段.配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等式等方面有广泛的应用.
典型例题
例 1
将多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方.则添加单项式的方法共有多少种 请写出所有的式子及演示过程.
分析 因为整式包括单项式和多项式两种情况，所以根据4x 是平方项、是乘积二倍项的情况利用完全平方公式添加，以及完全平方式是单项式的平方的情况添加一个单项式消去其中的一项即可.
解 添加的方法有 5种，其演示的过程分别是：
添加 4x,得
添加-4x,得
添加4x ,得
添加 得
添加-1,得
例 2
对于二次三项式 小聪同学做出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不会小于2(最小值是2)，你是否同意他的说法，并说明你的理由.
分析 此题涉及二次三项式，它的基本形式是： :可以根据配方的方法，把它整理成一个完全平方加或减一个数字的形式.
解 由于原二次三项式的二次项系数不为1，所以化系数为1并配方：
原式
所以无论x取何值时，( 所以 因此，小聪的说法是正确的.
例 3
若 x 为任意实数，求 的最小值.
分析 求 的最小值，可以先将它化成( 根据 求得它的最小值为3.
解
因为 所以
因此,. 的最小值是3.
例4
已知 又知a，b，c 为三角形的三条边，求证：该三角形为等边三角形.
分析 利用配方法解题.先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质计算.
解 因为
所以两边都乘以 2得：
所以(a 0,
所以
根据非负数的性质得
可知a=b=c，这个三角形是等边三角形.
双基训练
1.用一些硬纸片拼成的图形面积可以解释一些代数恒等式.如图21-1所示，图21-1(a)可以用来解释 那么通过图21-1(b)面积的计算，验证了一个恒等式,此等式是( ).
2.下列二次三项式是完全平方式的是( ).
3.计算( 的结果为 ,则“□”中的数为( ).
A.-2 B.2 C. -4 D. 4
4.多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个二项整式的完全平方，则满足条件的单项式有( ).
A. 1 个 B.2个 C.3 个 D. 4 个
5.如果二次三项式 是一个完全平方式，那么 m 的值是( ).
A.3 或-5 B.1 C. -3 D.无法确定
6.若a,b,c 为△ABC的三边,且关于x 的二次三项式x +2(a+b+c)x+3(ab+bc+ca)为完全平方式,则△ABC 是 ( ).
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.只有两边相等的等腰三角形
7.填上适当的数，使等式成立：xx --4x+ =(x-- ) .
8.当整数k= 时,多项式. 恰好是另一个多项式的平方.
9.若 是一个完全平方式，则k 等于 .
10.多项式 的最小值为 .
11.已知a=2002,b=2003,c=2004,求 的值.
12.不管x取什么实数， 的值一定是个负数，请说明理由.
13.利用配方法证明代数式 的值恒小于0.由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是1，2，3
14.已知n为正整数，且 是一个完全平方数，求 n 的一个值.
15.不管x 取什么实数， 的值一定是正数，请说明理由.
16.若x 为任意实数，求 的最大值.
17.求证:a(a+1)(a+2)(a+3)+1是完全平方式.
18. 若 求 y*的值.
某学生在学习公式 时记得快，忘得也快，应用时始终容易出错，请帮助他解决这一难题.
(1)你猜测该学生在应用这个公式时会出现什么错误，列举出来；
(2)如图21-2所示，请运用图中所给的图片，解释这一公式；
(3) 如果a--b=3, ab=2,求 的值.
20.一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a 为完全平方数.如( 8 ，64就是一个完全平方数.若 求证：a 是一个完全平方数.
能力提升
21.若 则a,b的值分别为( ).
22.设x为正整数，若x+1 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是( ).
A. x
23. 如果((x--1)(x+3)(x-4)(x-8)+m是一个完全平方式,则m是( ).
A. -196 B.196 C.±196 D.以上都不对
24.已知 则 的值是( ).
A.0 B.3 C.22008
若 则
26.已知 求 的值是 ；二次三项式 是一个完全平方式，则k 的值是 .
27.如果多项式 是一个完全平方式，则常数 k= .
28.已知代数式
(1)用配方法证明：不论x 为何值，代数式的值总为负数.
(2)当x 为何值时，代数式的值最大 最大值是多少
29.用配方法证明，多项式 的值总大于 的值.
30.两个正整数的和与积的和恰好为2005，并且其中一个是完全平方数.求这两个数中较大数与较小数的差.
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31.一个四位数具有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数字是0，就只用个位数字去除)，且这个完全平方数正好是前两位数加1的平方，则具有上述性质的四位数共有( ).
A. 1个 B. 2 个 C.3 个 D.4个
32.设a,b,c 为实数,
(1)判断A+B+C的符号并说明理由;
(2)证明：A，B，C中至少有一个值大于零.
33.若100a+64和201a+64均为四位数,且均为完全平方数,则整数a 的值是 .
34.试求出所有整数n，使得代数式 的值是某两个连续自然数的平方和.
35.(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：
;
(2)观察上述三个多项式的系数，有( 于是小明猜测：若多项式 是完全平方式，那么系数a，b，c 之间一定存在某种关系.请你用数学式子表示小明的猜想： (说明：如果你没能猜出结果，就请你再写出一个与(1)中不同的完全平方式，并写出这个式中各系数之间的关系).
(3)若多项式 和 都是完全平方式，利用(2)中的规律求ac 的值.
1. C 2. B 3. D 4. C 5. A 6. B 7.4,2 8.±4 9.2 10.-18
11.因为 )
,
所以
12. .
因为 所以 所以不管x取什么实数， 的值一定是个负数
13. 因为 又
所以 即: 所以代数式 的值恒小于0.举例：
14. 先分情况讨论:(1
因为 是一个完全平方数.所以 即2n-8=1998.
所以当n=1003时, 是完全平方数；
(2 ) ,
因为 是一个完全平方数.所以 所以 n=3988.
综上得n=1003或n=3988.
因为 所以 所以不管x取什么实数。 的值一定是个正数.
16.-2x +4x+7=-2(x -2x)+7=-2(x -2x+1)+2+7=-2(x-1) +9,因为 所以
因此， 的最大值是9.
17. 因为a( -1
所以a(a+1)(a+2)(a+3)+1是完全平方式.
18. 因为 所以 即
所以 解得x=2,y=6.所以
19.(1)可能出现的错误有 等;
(2) 如答图21-1所示.
(3)由a-b=3得( 即 又ab=2,所以
20.令2992=m,则2993=m+1,于是
所以是 a 一个完全平方数.
21. A 22. D 23. B 24. B 25.33 26.-128,6
27.(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+k=(x+1)(x+4)[(x+2)(x+3)]+k= 要使上式是一个完全平方式，只要 即可,解得k=1.
28.(1) 原式:= - 10
(2)因为原式 所以当x=3时，原式取得最大值，最大值为-1.
29. 据题意得(2x -4x -1)-(x -2x -4)=2x -4x -1-x +2x +4=x -2x +3 所以多项式 的值总大于 的值.
30. 设这两个正整数为a,b,则a+b+ab=2005,即ab+a+b+1=2006,所以(a+1)(b+1)=2006=2×17×59.因为其中一个是完全平方数,有a+1=2和a+1=17成立.当a+1=2时,a=1,b=1003-1=1002,b-a=1001;当a+1=17时,a=16,b=118-1=117,b-a=101.
31. D.设这样的四位数为100a+b(10≤a≤99,1≤b≤99),由已知有( 则 可得:100=b(a+2),于是 而 10≤a≤99,可求得当a=18,23,48,98时,b=5,4,2,1.故这样的四位数有四个,分别是:1805,2304,4802,9801.
因为(
所以.
故A+B+C>0;
(2) 因为A+B+C>0,
所以A，B，C中至少有一个值大于零.
33.设 ，则m，n均为正整数，且. 由式②-①,得 因为 101 是质数,且 034.设两个连续自然数是x和x+1，则根据题意知
化简得 ①,
所以 ②,
因为x 是自然数，所以 必为某个整数的平方(完全平方数)，因此设 ,
所以 ④,
因为n 是整数，所以. 必为某个整数的平方(完全平方数)，设 ⑤,
则有 ,即(a+2k)(a-2k)=237,所以有
或
解之得 或
由式⑤得 或41 ,
代入式④得
所以符合条件的整数 n 是 10或-30.
) .
(2)观察得：若多项式 是完全平方式，那么系数a，b，c之间关系为
(3)因为多项式 和 都是完全平方式，所以 即 =0,分解因式得:((a-c)(a+c+4)=0,由a+c+4≠0,可得a-c=0,即a=c,可得 即a(a-4)=0,解得:a=0或a=4,即c=0或c=4,则ac=0或16.

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