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第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
要点探究
探究点1：二次函数与一元二次方程的关系
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：
h=20t－5t2，
考虑以下问题：
(1) 小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
(2) 小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
(3) 小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
(4) 小球从飞出到落地要用多少时间？
探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程
思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
(1) y=x2+x－2； (2) y=x2－6x+9； (3)y=x2－x+1.
要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2－4ac
有_______个公共点 有____个_______的实数根 b2－4ac＞0
有_______个公共点 有_______个_______的实数根 b2－4ac=0
_______公共点 _______实数根 b2－4ac＜0
根据抛物线与x轴的交点个数求字母系数的取值范围
例1若抛物线y＝x2－2x＋m－1与x轴有交点，求m的取值范围．
变式1(1)若抛物线y＝(m－1)x2－2x＋1与x轴有交点，则m 的取值范围为________________．
(2)已知抛物线y＝－4x2＋2x＋m与x轴没有交点，求m的取值范围．
二次函数与一元二次方程的解
例2 已知抛物线y＝x2－bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(－3，0)，则关于x的方程x2－bx＋c＝0的解是(　　)
A．x1＝－1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝3　　C．x1＝1，x2＝－3　　 D．x1＝1，x2＝3
变式2 (1)若方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝4，x2＝1，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为_______________．
(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为____________．
探究点3：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
例3 利用函数图象求方程x2+2x-1=0的实数根(结果保留小数点后一位).
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么：
方程ax2+bx+c=0的根是 ；
不等式ax2+bx+c>0的解集是 ；
不等式ax2+bx+c<0的解集是 .
拓广探索：
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么：
方程ax2+bx+c=2的根是 ______________；
不等式ax2+bx+c>2的解集是_________________；
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________________.
问题2 如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 个公共点，坐标是 ；方程ax2+bx+c=0的根是 .
问题3 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个公共点；不等式ax2+bx+c<0的解集是什么？
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式.
(1) ①－x2+x+2=0； ②－x2+x+2>0； ③－x2+x+2<0.
(2) ①x2－4x+4=0； ②x2－4x+4>0； ③x2－4x+4<0.
(3) ①－x2+x－2=0； ②－x2+x－2>0； ③－x2+x－2<0.
利用抛物线与x轴的交点解不等式
例5如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)．
(1)点B的坐标为________；
(2)当x＝________时，y＝0；
(3)当x满足___________时，y＞0；
(4)当x满足_______________时，y≤0.
例6如图，二次函数y1＝x2＋2x与一次函数y2＝x＋2的图象相交于(－2，0)，(1，3)两点，观察图象回答下列问题：
(1)当x＝________时，y1＝y2；
(2)当x满足______________时，y1＞y2.
当堂检测
1．抛物线y＝－x2＋6x－4与坐标轴的公共点个数为_____．
2．若函数y＝(m－1)x2－6x＋m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为(　　)
A．－2或3 B．－2或－3 C．1或－2或3 D．1或－2或－3
3．如图，二次函数y1＝mx2＋nx与一次函数y2＝ax＋b的图象相交于A，B两点，观察图象回答下列问题：
(1)当____________时，y1＝y2；
(2)当______________时，y1≥y2；
(3)y1＞0的解集为______________.
4．已知抛物线y＝x2－4x＋m.
(1)该抛物线的对称轴是__________；
(2)若该抛物线与x轴交于点A，B，已知A(－3，0)，则线段AB＝________．
5．求抛物线y＝－x2＋4x＋5和直线y＝x＋1的交点坐标．
6．已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋1(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴没有公共点；
(2)把该抛物线沿y轴向下平移a个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，求a的值．

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