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2.3用公式法求解一元二次方程（培优版）
一、选择题
1．已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（　　）．
A．1可能是方程的根 B．可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
2．对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
3．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ；其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
4．已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（　　）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
5．设m是整数，关于x的方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（　　）。
A． B．x=-1
C． D．有无数个根
6．已知 的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（　　）。
A．有两相等实根 B．有两相异实根
C．无实根 D．不能确定
7．已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根 D．方程的根为，
8．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）.
A． B．且 C．k<2 D．且
9．从，，，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a.若数a使关于x的一元二次方程有实数解.且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的a的值的和是（　　）
A． B． C． D．2
10．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
二、填空题
11．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　 　.
12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
13．关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是　 　．
14．关于x的方程 ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为　 　.
15．若 是方程 的两个实数根，且 ，则 的值为　 　.
三、计算题
16．解方程：5x2+2x-1 =0.
17．解下列方程
（1）x2-6x-16=0（配方法）；
（2）（公式法）．
四、综合题
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根.
19．已知关于x的方程x2-4x+3a-1＝0有两个实数根.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若a为正整数，求方程的根.
20．
（1）解方程：（配方法）；
（2）解方程：；
（3）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时方程的根．
1．答案:D
解析：解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D.
分析：根据方程有两个相等的实数根可得△=(2q)2-4(p+1)2=0且p+1≠0，化简可得q=±(p+1)，当q=p+1时，有1+p-q=0，此时x=-1，据此判断A；当q=-(p+1)时，有1+p+q=0，此时x=1，据此判断B；根据p+1≠0可得p+1≠-(p+1)，据此判断D；当x=0时，p=0，q=±1，据此判断C.
2．答案:C
解析：解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2 4ac，
①将x＝ 1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2 4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2 4ac＝（2a＋3c）2 4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
分析：根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
3．答案:B
解析：解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝ 或x0＝
∴2ax0+b＝ 或2ax0+b＝
∴
故④正确.
故答案为：B.
分析：按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案.
4．答案:C
解析：解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．
∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
分析：根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
5．答案:C
解析：（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，
解得x1=-1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，
∵方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，
∴△=b2-4ac为完全平方数，即△=（m-1）2-4m=（m-3）2-8为完全平方数，
而m是整数，
∴设（m-3）2-8=n2，即（m-3）2=8+n2，
∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．
∴n2的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，
∴n=1，
∴m-3=3，即m=6，
所以方程为：6x2-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，
∴x1= ，x2= ，
综上所述方程的根为x1=-1，x2= ，x3=
故答案为：C．
分析：可分为m=0与m0两类，当方程为一元二次方程时，有理根可从判别式为完全平方数入手，进而求出m的值，再求出根.
6．答案:C
解析：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2≠0．
∴△=（c2-a2-b2）2-4a2 b2，
=（c2-a2-b2-2ab）（c2-a2-b2+2ab），
=[c2-（a+b）2][c2-（a-b）2]，
=（c-a-b）（c+a+b）（c+a-b）（c-a+b），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
所以△＜0，则原方程没有实数根．
答案为：C．
分析：算出判别式，进行分解因式，再根据两边之和大于第三边，得出答案△＜0，则原方程没有实数根．
7．答案:B
解析：解：∵ ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B
分析：利用一元二次方程根的判别式求解即可。
8．答案:D
解析：解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 且，
∴且.
故答案为：D.
分析：根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac>0且k-1≠0，联立求解可得k的范围.
9．答案:C
解析：解：方程有实数解，
∴△=4(a 4)2 4a2 0，
解得a 2
∴满足条件的a的值为 4， 2， 1，0，1，2
方程
解得y=+2
∵y有整数解
∴a= 4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a的值为 4，0，2，
符合条件的a的值的和是 2
故答案为：C.
分析：根据方程有实数根可得△=4(a 4)2 4a2≥0，求出a的范围，求解分式方程可得y=+2，根据y有整数解可得a的值，然后结合a的范围可得满足题意的a的值，然后求和即可.
10．答案:A
解析：∵由题意得：中：，，，
∴
，
，
方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A
分析：利用一元二次方程根的判别式求解即可。
11．答案:
解析：解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：.
分析：根据一元二次方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值.
12．答案:k＜5
解析：解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：k＜5．
分析：利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
13．答案:m≥-4
解析：∵关于a的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：m≥-4，
故答案为：m≥-4．
分析：利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
14．答案:
解析：解：原方程可化为 ，
当该方程总有两个不相等的实数根时，
则其根的判别式 ，
解得 ，
无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p取何值，不等式 恒成立，
小于 的最小值，
由偶次方的非负性得： ，
，
的最小值为1，
，
故答案为： .
分析： 由于无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，可得，从而得出，根据偶次方的非负性，可得，据此可得.
15．答案:1
解析：若 是方程 x 2 2 m x + m 2 m 1 的两个实数根；
∴x1+x2=2m；x1·x2= m 2 m 1
因为
∴2m=1-（m 2 m 1）
解得m1=-2；m2=1
又因为
∴得（2m）2-4(m 2 m 1)
解得m≥-1
因此m=1
故答案应为：1
分析：易由韦达定理得到两个关系，借助可得m的值，又因为由两个实数根，所以得到判别式大于等于零，从而得到m取值范围，最终得到答案。
16．答案:解：∵a=5，b=2，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=22-4×5×(-1)=24>0，
所以
解得：
解析：先求出b2-4ac的值，再代入一元二次方程的求根公式进行计算，可求出方程的解.
17．答案:（1）解：
，
，即，
∴，
∴；
（2）解：，
∵，
∴，
∴
解析：（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可。
18．答案:（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴.
（2）解：∵为正整数，又，
∴.
当时，原方程为，
解得.
因此，原方程的根为，.
解析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac>0，代入求解可得m的范围；
（2）根据m的范围结合m为正整数可得m=1，则原方程化为x2+2x-1=0，然后利用公式法求解即可.
19．答案:（1）解：∵方程x2-4x+3a-1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（-4）2-4×1×（3a-1）≥0，
a≤；
（2）解：∵a≤，且a为正整数，
∴a＝1，
∴x2-4x+2＝0，
x2-4x+4＝2，
（x-2）2＝2，
x-2＝±，
x＝2±.
解析：（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意，可列出关于字母a的不等式，求解即可；
（2）根据（1）中a的取值范围，结合a为正整数可得a的值，从而求出原方程，进而利用配方法求解即可.
20．答案:（1）解：
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：
整理得：，
∴，
∴，
即，
解得：；
（3）解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
取，
此时方程为，
解得：．
解析：（1）将常数项移到等号右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方，即可配方，再开方即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）由于方程有两个相等的实数根，可得△=0，即得，据此确定a、b值（答案不唯一），再代入并解出方程即可.

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